绝热不变量与绝热原理

当时的困境

1911 年秋天，布鲁塞尔第一届索尔维会议的总讨论快结束时，与会者还在争一个看似琐碎的问题：一个转动的双原子分子，它的能量该不该也按 $h\nu$ 一份一份地给？能斯特与林德曼各执一词。普朗克的量子只在一个地方算得清楚——固定频率的谐振子，能量是 $h\nu$ 的整数倍。换一个系统，量子该加在哪个量上，没有人说得出道理。

主持会议的洛伦兹这时想起不久前与爱因斯坦的一次谈话。据会议记录第 450 页，他提的是一个单摆：用两根手指夹住摆线往下滑，把摆慢慢缩短。假设开始时摆恰好有一个能量子，那么到最后，它的能量似乎会小于与新频率相应的那一份能量子——量子条件岂不是被手指「破坏」了？

爱因斯坦的回答只有两句：如果摆长改变得无限缓慢，原来等于 $h\nu$ 的能量就一直等于 $h\nu$，能量与频率同比例变化；无电阻的振荡电路、空腔里的自由辐射也是这样。洛伦兹说，这个结果很奇妙，困难消失了。紧接着瓦尔堡补了一句：像伽利略那样让摆线在经过最低点时撞上一颗钉子，频率可以一下子升上去而不做功——那是突变，不是缓慢变化。记录里再往下，就是庞加莱的总结发言了。

爱因斯坦说的其实是一条经典力学的老结论。瑞利 1902 年就算过：缓慢改变一个振动系统的参数，能量与频率之比 $E/\nu$ 保持不变。以一个 4 米长的单摆为例，周期约 4 秒；花上几分钟把摆长缩到 1 米，频率翻倍，能量也正好翻倍，角振幅则按摆长的 $-3/4$ 次方放大约 2.8 倍，2° 的小摆动会变成约 5.7°。能量是外面那只手做功送进去的，$E/\nu$ 却一点没变。

问题在于：谐振子有这个巧合，别的系统呢？到 1913 年玻尔给氢原子定出量子条件时，他量子化的是角动量；1915—1916 年索末菲等人把条件推广成对每个自由度的相积分。这些规则都能算对谱线，却没人能说清，为什么偏偏是这些量。

洞见时刻

埃伦费斯特不在这届会议的受邀名单上，但同一个事实他早就用过：1911 年他追问普朗克理论里哪些部分离不开量子时，借的正是维恩推位移定律的办法——把空腔缓慢压缩，每个辐射模式的 $E/\nu$ 都不变。他从中看到的是一条普遍原则。经典力学里，参数变化比系统自身的周期慢得多时（借热力学的说法叫「绝热」变化），总有一些量守得住，叫绝热不变量。对一维周期运动，它就是相平面上一个周期围出的面积：

$$J = \oint p\,dq$$

对谐振子，这个面积恰好是 $E/\nu$——爱因斯坦的回答只是它的一个特例。

埃伦费斯特从 1913 年起写了几篇文章，1916 年在《物理学年鉴》上发表《绝热不变量与量子论》，把论证系统化。道理很朴素：外界总可以缓慢地调动一个原子所处的环境——慢慢加电场、慢慢加磁场——而原子不会因此从「允许的状态」掉进「不允许的状态」。所以，一个量子态经过绝热变化之后，必须仍是量子态；能被量子化的，只能是绝热不变量。他称之为绝热假说。它立刻给出一个操作办法：从一个已知怎么量子化的系统出发（比如谐振子），把它绝热地变形成新系统，量子条件就跟着 $J$ 一起搬过去：

$$J = \oint p\,dq = nh$$

这正是索末菲条件的形式，而现在它有了理由：索末菲选的那些相积分，恰恰是在缓慢变化中守得住的量。第二年，埃伦费斯特的学生伯格斯证明，对能分离变量的多周期系统，每个自由度上的相积分各自都是绝热不变量。

埃伦费斯特起初对玻尔的原子模型颇有疑虑，玻尔却很快接住了这个想法。1918 年的长文《论线光谱的量子论》里，玻尔把它称作「力学可变换性原理」，与自己的对应原理并列为旧量子论的两根支柱：前者决定哪些定态是允许的，后者估计定态之间跃迁的强度。

绝热原理还有一层统计意义。埃伦费斯特是玻尔兹曼的学生，他注意到，只有当被量子化的是绝热不变量时，每个量子态的统计权重才能在缓慢变化中保持不变，玻尔兹曼的熵公式才能原封不动地搬进量子论。这条原理也有缺口：若系统在变化途中经过某个奇异的运动（比如某个频率降到零，摆从来回摆动变成整圈转动），不变性就会失效，量子数怎样对应要另作处理。

涟漪效应

1925 年以后，旧量子论被量子力学取代，$J = nh$ 退成了一个近似。但绝热原理在新理论里换了一个更干净的形式活了下来。新量子力学刚出现，玻恩就着手把它翻译过去；1928 年玻恩与福克给出证明：哈密顿量缓慢变化时，处在第 $n$ 个本征态的系统，会一直待在「瞬时」哈密顿量的第 $n$ 个本征态上，只要这条能级不与别的能级相碰。旧量子论里守住的是 $J$，量子力学里守住的是量子数本身。1950 年加藤敏夫把证明推广到一般情形，这就是今天教科书里的量子绝热定理。

经典的绝热不变量则在等离子体物理里找到了用武之地。带电粒子在磁场中绕磁力线打转，回旋运动的作用量正比于它的磁矩

$$\mu = \frac{m v_\perp^2}{2B}$$

磁场在一圈回旋的尺度上变化很慢时，$\mu$ 几乎不变。于是粒子向强磁场区域钻去时，垂直速度被迫增大、沿磁力线的速度相应减小，最后被弹回来——这就是磁镜。两头磁场强、中间弱的磁场能把粒子来回关住；磁镜比为 4 时，只有速度方向与磁力线夹角小于 30° 的粒子会从两端漏走，各向同性分布下约占 13%。1950 年代苏联的布德克尔与美国利弗莫尔的 Post 各自把它设计成聚变约束装置；地球磁场本身也是一对天然磁镜，1958 年发现的范艾伦辐射带里，高能粒子就在南北两半球之间来回弹跳。

1984 年，布里斯托大学的贝里重新审视量子绝热定理，发现前人漏掉了一样东西。系统沿着参数空间里的一条闭合路径缓慢走一圈、回到原来的哈密顿量时，量子态确实回到原来那个本征态，却多带了一个相位：除了能量随时间积累的「动力学相位」，还有一项只取决于路径几何形状的几何相位

$$\gamma_n = i\oint \langle n(\mathbf{R})|\nabla_{\mathbf{R}}\, n(\mathbf{R})\rangle \cdot d\mathbf{R}$$

对磁场中的自旋，它等于磁场方向扫过的立体角乘上自旋分量。这个相位此前一直被当作可以随手去掉的规范自由度而忽略。同年 Simon 指出它是一种数学上的「和乐」，并与 1982 年量子霍尔效应里的整数联系了起来；1986 年 Tomita 与 Chiao 把光在螺旋盘绕的光纤里传播，测到偏振面转过的角度正好等于光纤方向扫过的立体角。今天说石墨烯的贝里相位是 $\pi$、说拓扑绝缘体的陈数是贝里曲率的积分，用的都是这个概念。

最后一个转身发生在计算里。1998 年，东京工业大学的西森秀稔与 Kadowaki 提出量子退火；2000—2001 年，麻省理工学院的 Farhi 等人提出绝热量子计算：先把量子比特制备在一个简单哈密顿量的基态上，再把哈密顿量缓慢地变成一个「答案就编码在基态里」的哈密顿量——按绝热定理，只要变得足够慢，系统一直待在基态，终点就是答案。「足够慢」的代价由途中最小的能隙决定，大致与能隙的平方成反比。2007 年 Aharonov 等人证明，这种计算方式与标准的量子线路模型在效率上等价；2011 年加拿大的 D-Wave 公司发表了用超导人造自旋做量子退火的实验，此后造出了上千比特的退火机，用于组合优化问题。它们是否真的比经典算法快，至今仍有争论。

如果没有它

旧量子论在 1913—1925 年间是一套靠直觉拼起来的规则。没有绝热原理，「为什么量子化角动量而不是别的量」就只能回答「因为算得对」；有了它，量子条件第一次有了一条可以检验的选择标准，也让玻尔兹曼的统计力学能搬进量子论。伯格斯的证明又让多周期系统、斯塔克效应这些复杂情形里的量子条件有了同一个依据，一直用到海森堡与薛定谔的新理论接手。

更长远地看，「慢变化里什么守得住」这个问题贯穿了之后一百年的物理。它让聚变工程师知道磁场怎样关住等离子体，让固体物理学家在能带里找到了拓扑的整数，也给了量子计算一条不需要逐个操纵逻辑门的路。一个在 1911 年会议记录里只占半页纸的单摆问题，埃伦费斯特把它读成了一条原理。