v ∝ W ρ v \propto \frac{W}{\rho} v ∝ ρ W 原文没有公式，也没有「速度」这个量，只有时间之比。《论天》第一卷第 6 章：重一倍的东西走同一段路，用时减半。《物理学》第四卷第 8 章：同一个物体，介质稀一倍，用时也减半。W W W ρ \rho ρ
ρ → 0 ⟹ v → ∞ \rho \to 0 \quad\Longrightarrow\quad v \to \infty ρ → 0 ⟹ v → ∞ 《物理学》第四卷第 8 章：零与任何数之间都没有比例，所以穿过虚空的运动会快到「超出任何比例」，这不可能。他还补了一刀：在虚空里，重物没有理由比轻物快，「一切都将具有相等的速度。但这是不可能的」——这正是两千年后被当真的那个结论。
v ∝ F W v \propto \frac{F}{W} v ∝ W F 《物理学》第七卷第 5 章：同一个推动者，在同样时间里能把一半重的东西推动两倍远。他随即加了限制：一半的力未必能推动整个东西，否则一个人就能拖动一群纤夫才拖得动的船。比例只在「推得动」的范围里成立。
v 终 = ( m − ρ 液 V ) g 6 π η r v_{\text{终}} = \frac{(m - \rho_{\text{液}} V)\, g}{6\pi \eta r} v 终 = 6 π η r ( m − ρ 液 V ) g 斯托克斯 1851 年的结果：小球在蜂蜜、油、水这类黏滞流体里很快就不再加速，匀速下沉。速度正比于它的有效重量、反比于流体的黏度 η \eta η
W A W B = d B d A \frac{W_A}{W_B} = \frac{d_B}{d_A} W B W A = d A d B 《论平面的平衡》第一卷命题 6、7：两个量在与它们成反比的距离上平衡。可公度的情形（命题 6）与不可公度的情形（命题 7）分开证明。原文没有代数式，也没有「力矩」这个词，这是今天的写法。
W 液中 = W − ρ 液 g V 排 W_{\text{液中}} = W - \rho_{\text{液}}\, g\, V_{\text{排}} W 液中 = W − ρ 液 g V 排 《论浮体》第一卷命题 7：比液体重的固体会沉到底，在液体里称，比真实重量轻，轻掉的恰好是它排开的那部分液体的重量。命题 5 说的是另一半：比液体轻的固体只沉到排开的液体与它自身一样重为止。
S 弓形 = 4 3 S △ S_{\text{弓形}} = \frac{4}{3}\, S_{\triangle} S 弓形 = 3 4 S △ 弓形面积是同底同高三角形的 4 3 \tfrac43 3 4
V 球 = 2 3 V 柱 V_{\text{球}} = \frac{2}{3}\, V_{\text{柱}} V 球 = 3 2 V 柱 《论球与圆柱》第一卷命题 34 的推论：外切圆柱的体积与表面积（连同两个底面）都是球的 3 2 \tfrac32 2 3
θ i = θ r \theta_i = \theta_r θ i = θ r 入射角等于反射角，而且入射线、反射线与镜面在那一点的法线落在同一个平面里。古人早就知道前半句；海什木在《光学之书》第四卷用一台可换镜片的带刻度仪器对平面镜、球面镜、柱面镜和锥面镜逐一检验，把这条规律做成了可以反复复核的实验结论。
h ′ h = d ′ d \frac{h'}{h} = \frac{d'}{d} h h ′ = d d ′ 物体高 h h h d d d d ′ d' d ′ h ′ h' h ′
∠ A P O = ∠ O P B \angle APO = \angle OPB ∠ A P O = ∠ O P B 给定光源 A A A B B B O O O P P P
∑ k = 1 n k 4 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ( 3 n 2 + 3 n − 1 ) 30 \sum_{k=1}^{n} k^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} k = 1 ∑ n k 4 = 30 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ( 3 n 2 + 3 n − 1 ) 前 n n n
T 2 ∝ a 3 （哥白尼给出了 a 的次序） T^2 \propto a^3\ \text{（哥白尼给出了 } a \text{ 的次序）} T 2 ∝ a 3 （哥白尼给出了 a 的次序） 日心模型第一次让行星的相对轨道半径可以从观测直接算出来——地心说做不到这一点。开普勒后来正是在这些距离上发现了周期与距离的三次方关系。
地心说需要 ∼ 80 个圆 \text{地心说需要} \sim 80 \text{个圆} 地心说需要 ∼ 80 个圆 托勒密体系为了拟合观测，给每颗行星层层叠加本轮与偏心圆。哥白尼的模型并没有简单多少，但它把一件事解释掉了——行星为什么会逆行。
tan I = 2 tan λ \tan I = 2\tan\lambda tan I = 2 tan λ 均匀磁化的球体表面，小磁针向下倾斜的角度 I I I λ \lambda λ I = 0 I = 0 I = 0
B = μ 0 m 4 π r 3 1 + 3 sin 2 λ B = \frac{\mu_0\, m}{4\pi r^3}\sqrt{1 + 3\sin^2\lambda} B = 4 π r 3 μ 0 m 1 + 3 sin 2 λ 磁偶极子在距离 r r r λ \lambda λ λ = 90 ∘ \lambda = 90^\circ λ = 9 0 ∘
∮ S B ⋅ d A = 0 \oint_S \mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = 0 ∮ S B ⋅ d A = 0 穿出任何闭合曲面的磁力线条数等于穿入的条数。吉尔伯特把一块长磁石从中间锯开，放在水面浮着：两半各自又有了南北两极，原先相连的两个断面互相吸引，「想要回到原来的一体」。两百六十多年后这被写进麦克斯韦方程组。
1 G b = 10 4 π A ≈ 0.796 A 1\ \mathrm{Gb} = \frac{10}{4\pi}\ \mathrm{A} \approx 0.796\ \mathrm{A} 1 Gb = 4 π 10 A ≈ 0.796 A 吉伯（gilbert）是厘米-克-秒制里磁动势的单位，换成国际单位制约为 0.796 安匝。今天工程上已改用安匝，这个名字留在旧教科书和单位换算表里。
d = R ⊕ sin p d = \frac{R_\oplus}{\sin p} d = sin p R ⊕ 同一天体从地面不同位置看，方向会差一个角度 p p p p p p
r ⃗ 行星/地 = r ⃗ 日/地 + r ⃗ 行星/日 \vec r_{\text{行星/地}} = \vec r_{\text{日/地}} + \vec r_{\text{行星/日}} r 行星 / 地 = r 日 / 地 + r 行星 / 日 地球不动、太阳绕地、行星绕日，与太阳不动、地球和行星绕日，只是把同一组相对位置换了个参照点。单凭行星的方位，两套体系分不出高下；要分出来，得等恒星视差与动力学。
Δ λ 月 ≈ 39.5 ′ sin 2 D \Delta\lambda_{\text{月}} \approx 39.5' \sin 2D Δ λ 月 ≈ 39. 5 ′ sin 2 D 月亮的黄经除了已知的不均匀，还随它与太阳的角距 D D D
σ 基准星 ≈ 25 ′ ′ σ 星表 ≈ 2 ′ \sigma_{\text{基准星}} \approx 25'' \qquad \sigma_{\text{星表}} \approx 2' σ 基准星 ≈ 2 5 ′′ σ 星表 ≈ 2 ′ 据德雷尔的归算，第谷基准恒星的赤经、赤纬概然误差约 25 角秒；而 1004 颗星的星表整体误差约 2 角分。前人托勒密、乌鲁格别克的星表误差是这的十倍左右。
s = 1 2 g t 2 s = \frac{1}{2}gt^2 s = 2 1 g t 2 自由下落的距离只与时间的平方成正比，与物体的轻重无关——重球和轻球会同时落地。
T 2 ∝ a 3 T^2 \propto a^3 T 2 ∝ a 3 行星绕太阳一圈所需时间的平方，与轨道半长轴的立方成正比——离太阳越远，走得越慢，而且慢得有严格的规律。
n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2 n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 光从折射率 n 1 n_1 n 1 n 2 n_2 n 2 θ 1 \theta_1 θ 1 θ 2 \theta_2 θ 2
S L S R = k ( 对所有入射方向 ) \frac{SL}{SR} = k \quad (\text{对所有入射方向}) S R S L = k ( 对所有入射方向 ) 眼睛在空气里看水中的一点 R R R S S S R R R R R R L L L S L SL S L S R SR S R
sin θ c = 1 n ⇒ θ c ≈ 48.6 ∘ ( 水 ) \sin\theta_c = \frac{1}{n} \quad\Rightarrow\quad \theta_c \approx 48.6^\circ \ (\text{水}) sin θ c = n 1 ⇒ θ c ≈ 48. 6 ∘ ( 水 ) 从水下往上看，只有与竖直方向夹角小于临界角 θ c \theta_c θ c
3 sin θ 2 + cos θ < θ < 2 sin θ + tan θ 3 \frac{3\sin\theta}{2+\cos\theta} < \theta < \frac{2\sin\theta + \tan\theta}{3} 2 + cos θ 3 sin θ < θ < 3 2 sin θ + tan θ 古典方法用圆内接、外切正多边形夹住 π \pi π π \pi π
sin i sin r = n Descartes: v 2 v 1 = n Fermat: v 1 v 2 = n \begin{aligned} \frac{\sin i}{\sin r} &= n \\ \text{Descartes:}\ \frac{v_2}{v_1} = n \qquad &\text{Fermat:}\ \frac{v_1}{v_2} = n \end{aligned} sin r sin i Descartes: v 1 v 2 = n = n Fermat: v 2 v 1 = n 入射角与折射角的正弦之比是一个只由两种介质决定的常数 n n n v 2 / v 1 v_2/v_1 v 2 / v 1 n n n
Descartes: ∑ i m i ∣ v i ∣ = const Huygens 1669: ∑ i m i v i = const \begin{aligned} \text{Descartes:}&\quad \sum_i m_i\,|v_i| = \text{const} \\ \text{Huygens 1669:}&\quad \sum_i m_i\,v_i = \text{const} \end{aligned} Descartes: Huygens 1669: i ∑ m i ∣ v i ∣ = const i ∑ m i v i = const 笛卡尔认为上帝创世时给了宇宙一份「运动的量」，此后总量不增不减，量的大小是物体的大小乘速率——只算快慢，不管方向。这是第一个写成宇宙守恒律的力学量，但少了方向，由它推出的七条碰撞规则大多与实验不符。1668–1669 年沃利斯、雷恩、惠更斯分别给出正确的碰撞定律，惠更斯明确指出守恒的是「朝同一方向的运动的量」——带正负号的 m v mv m v
D ( i ) = 180 ∘ + 2 i − 4 r , sin i = n sin r cos 2 i 0 = n 2 − 1 3 ⇒ 180 ∘ − D ( i 0 ) ≈ 42 ∘ \begin{aligned} D(i) &= 180^\circ + 2i - 4r, \qquad \sin i = n\sin r \\ \cos^2 i_0 &= \frac{n^2-1}{3} \ \Rightarrow\ 180^\circ - D(i_0) \approx 42^\circ \end{aligned} D ( i ) cos 2 i 0 = 18 0 ∘ + 2 i − 4 r , sin i = n sin r = 3 n 2 − 1 ⇒ 18 0 ∘ − D ( i 0 ) ≈ 4 2 ∘ 阳光射进球形水滴，折射一次、在背面反射一次、再折射出来，偏转角 D D D i i i i 0 i_0 i 0 n n n
r 1 + n r 2 = const r_1 + n\, r_2 = \text{const} r 1 + n r 2 = const 平面上到两个定点距离 r 1 r_1 r 1 r 2 r_2 r 2
F 1 A 1 = F 2 A 2 \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2} A 1 F 1 = A 2 F 2 《论液体平衡》第二章：一个装满水、四面封闭的容器开两个孔，一个是另一个的一百倍大，各配一个严丝合缝的活塞，那么「一个人推小活塞，抵得上一百个人推大活塞，还能胜过其中九十九个」。他管这叫「一种放大力量的新机器」，要多大的倍数就开多大的孔。
F 1 d 1 = F 2 d 2 F_1\,d_1 = F_2\,d_2 F 1 d 1 = F 2 d 2 同一章紧接着说：小活塞推进一寸，大活塞只退百分之一寸。他特意指出这台新机器守着杠杆、轮轴、螺旋这些旧机械共有的规矩——力放大多少倍，走的路就缩小多少倍。今天的说法是两边做的功相等。
F = ρ g h A F = \rho g h A F = ρ g h A 第一章把五个形状各异的容器灌水到同一高度，底上开同样大的孔用塞子堵住：堵住每个塞子所需的力都相同，等于以孔为底、以水深 h h h
h ≈ H ln p 0 p h \approx H \ln\frac{p_0}{p} h ≈ H ln p p 0 这是今天的等温大气近似，标高 H H H
p 1 V 1 = p 2 V 2 p_1 V_1 = p_2 V_2 p 1 V 1 = p 2 V 2 同一团空气，温度不变时，压强与体积成反比——压到一半体积，压强翻倍；压到四分之一，压强变四倍。玻意耳在 1662 年用表格验证的正是这条「压强与膨胀成反比」的假说，他明说这个假说是汤利先提出的。
p = p 0 + ρ g h p = p_0 + \rho g h p = p 0 + ρ g h 玻意耳表格里的 D 列：封在短腿里的空气承受的压强，等于大气压（C 列，约 29 2 16 29\tfrac{2}{16} 29 16 2
117 9 16 29 2 16 ≈ 4.04 \frac{117\tfrac{9}{16}}{29\tfrac{2}{16}} \approx 4.04 29 16 2 117 16 9 ≈ 4.04 空气柱从 48 格压到 12 格时，实测压强是 117 9 16 117\tfrac{9}{16} 117 16 9 116 4 8 116\tfrac{4}{8} 116 8 4
T = 2 π L g T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} T = 2 π g L 摆动一个来回要多久，只取决于摆长和当地重力，与摆锤多重、摆幅多大都无关。惠更斯把这条规律变成了钟——人类第一次拥有了精确的时间。
弹簧拉长多少，回拉的力就有多大，两者成正比。这条看似简单的话是整个材料力学的起点——今天的桥梁、机翼和电子秤都建在它上面。
F = G m 1 m 2 r 2 F = G\frac{m_1 m_2}{r^2} F = G r 2 m 1 m 2 宇宙中任意两个物体都在互相吸引：质量越大、离得越近，引力越强——苹果落地与月亮绕地，遵循的是同一条定律。
F ⃗ = m a ⃗ \vec{F} = m\vec{a} F = m a 力不是维持运动的原因，而是改变运动的原因：受力越大，运动状态改变得越快；物体越重，改变它就越费劲。
p + 1 2 ρ v 2 + ρ g h = const p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{const} p + 2 1 ρ v 2 + ρ g h = const 沿着一条流线，压强、动能密度、重力势能密度三项之和不变——流得快的地方压强低。这是今天教科书上的写法，但他 1738 年写下的既不是这个式子，也不是这个压强：他算的是管壁受到的压强，自变量取的是管截面与出水孔截面之比，而不是速度 v v v
p ∝ v 2 ‾ ∝ T p ( V − b ) = const ( 等温 ) \begin{aligned} p &\propto \overline{v^2} \propto T \\ p\,(V - b) &= \text{const} \quad (\text{等温}) \end{aligned} p p ( V − b ) ∝ v 2 ∝ T = const ( 等温 ) 《流体动力学》第十章里，他把空气当成一大群高速乱撞的微粒，压强就是它们打在活塞上的效果。由此压强正比于微粒速度的平方，加热让微粒跑得更快，所以压强随温度上升——这是气体动理论最早的定量表述之一。他还注意到微粒本身占体积，给玻意耳定律配了一项体积修正，也就是范德瓦尔斯方程里那个 b b b
Δ q A + Δ q B = 0 \Delta q_{\mathrm{A}} + \Delta q_{\mathrm{B}} = 0 Δ q A + Δ q B = 0 A 站在蜡上摩擦玻璃管，B 站在蜡上从管上取火花。富兰克林说摩擦并不「制造」电，只是把 A 身上的一份搬给 B：A 少了多少（他叫 minus，负），B 就多了多少（plus，正），两人一碰，火花过后谁都不带电了。这是电荷守恒最早的清楚表述之一。
q top = 20 + n q bottom = 20 − n \begin{aligned} q_{\text{top}} &= 20 + n \\ q_{\text{bottom}} &= 20 - n \end{aligned} q top q bottom = 20 + n = 20 − n 富兰克林 1747 年信里的原例：设瓶内外各有 20 份电，玻璃管每擦一下往里送 1 份，外壁就同时被挤出 1 份。擦到第 20 下，里面 40、外面 0，再也充不进去。整只瓶子的总量始终是 40——充电不是往瓶里「装电」，而是把电从一面挪到另一面。
C = ε r ε 0 A d , Q = C V C = \frac{\varepsilon_r\,\varepsilon_0\,A}{d}, \qquad Q = C\,V C = d ε r ε 0 A , Q = C V 富兰克林发现莱顿瓶的本领在玻璃本身，于是干脆把瓶子换成一片窗玻璃、两面贴铅板——这就是平板电容器。今天的写法里，正对面积 A A A d d d ε r \varepsilon_r ε r Q Q Q
E surface = σ ε 0 ≈ V R E_{\text{surface}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \approx \frac{V}{R} E surface = ε 0 σ ≈ R V 导体表面的电场正比于那里的面电荷密度 σ \sigma σ R R R
e i θ = cos θ + i sin θ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta e i θ = cos θ + i sin θ 把指数函数接到三角函数上的那一步。物理里凡是转圈的东西——单摆、交流电、光波、量子态的相位——写成 e i θ e^{i\theta} e i θ θ = π \theta = \pi θ = π e e e i i i π \pi π
∂ v ∂ t + ( v ⋅ ∇ ) v = − 1 ρ ∇ p + g ∇ ⋅ v = 0 \begin{aligned} \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} &= -\frac{1}{\rho}\nabla p + \mathbf{g} \\ \nabla\cdot\mathbf{v} &= 0 \end{aligned} ∂ t ∂ v + ( v ⋅ ∇ ) v ∇ ⋅ v = − ρ 1 ∇ p + g = 0 1757 年他把牛顿定律写给了流体：左边是一小团流体的加速度（第二项是它自己被自己搬运造成的，方程的非线性就出在这里），右边是压强梯度与重力。第二行说不可压缩流体不能凭空多出来。加上黏性就是纳维-斯托克斯方程，它的光滑解是否总存在，至今是七个千禧年难题之一。
ρ ⊕ = 5.48 ρ 水 \rho_{\oplus} = 5.48\ \rho_{\text{水}} ρ ⊕ = 5.48 ρ 水 他测的不是引力常数，而是地球的平均密度——比水重五点四八倍。今天的公认值是 5.51，两百多年来只修正了不到百分之一。
G = 6.674 × 10 − 11 N m 2 / k g 2 G = 6.674\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2} G = 6.674 × 1 0 − 11 N m 2 /k g 2 有了地球密度，牛顿引力定律里那个此前无法定值的比例常数 G 就能算出来。牛顿写下引力定律一百一十一年后，它才第一次有了数字。
F = k q 1 q 2 r 2 F = k\frac{q_1 q_2}{r^2} F = k r 2 q 1 q 2 两个电荷之间的作用力，与电量的乘积成正比，与距离的平方成反比。它和万有引力定律长得几乎一样——只是电力有正负，引力只有吸引。
d d t ( ∂ L ∂ q ˙ ) − ∂ L ∂ q = 0 \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0 d t d ( ∂ q ˙ ∂ L ) − ∂ q ∂ L = 0 只要写出拉格朗日量 L（动能减势能），力学问题就变成机械的求导。用什么坐标都行——角度、弧长、任何方便的量，方程形式不变。牛顿力学里最麻烦的约束力，在这里根本不出现。
S = ∫ t 1 t 2 L d t , δ S = 0 S = \int_{t_1}^{t_2} L\,dt,\qquad \delta S = 0 S = ∫ t 1 t 2 L d t , δ S = 0 真实的运动路径使作用量取极值。这个说法后来一路通到量子力学——费曼的路径积分正是让所有路径按相位因子 e i S / ℏ e^{iS/\hbar} e i S /ℏ
「张力」（今天叫电势）、「电容」、「电量」这三个词是伏打引进电学的，三者的关系也是他理清的。同样多的电荷，装在电容大的导体上张力就低，装在电容小的导体上张力就高。他 1782 年做的冷凝验电器正是这么工作的：先让微弱的电荷聚在一块大电容的板上，再抽走对板让电容骤减，张力随之被放大到草秆能张开的程度。「伏特」这个单位量的就是这里的 V V V
E 电堆 = n ε \mathcal{E}_{\text{电堆}} = n\,\varepsilon E 电堆 = n ε 一对锌-银只给出零点几伏，手摸上去毫无感觉。伏打的全部聪明之处在于发现这些电势差可以逐对相加：叠 n n n n n n
锌片一侧： Z n → Z n 2 + + 2 e − 银片一侧： 2 H + + 2 e − → H 2 ↑ \begin{aligned} \text{锌片一侧：}&\quad \mathrm{Zn} \rightarrow \mathrm{Zn}^{2+} + 2e^{-} \\ \text{银片一侧：}&\quad 2\mathrm{H}^{+} + 2e^{-} \rightarrow \mathrm{H}_2 \uparrow \end{aligned} 锌片一侧： 银片一侧： Zn → Zn 2 + + 2 e − 2 H + + 2 e − → H 2 ↑ 伏打认为电来自两种金属的接触面，中间那层湿纸「只是导体」。真相相反：锌原子丢掉两个电子变成离子溶进盐水，电子经外电路跑到银片一侧，把溶液里的氢离子还原成氢气。能量来自锌被氧化这桩化学反应——所以锌片会烂，而且电流抽得越大烂得越快。这个「越用越烂」正是十九世纪化学说压倒接触说的关键证据，而伏打本人到死都不接受。
e Δ V A B = Φ B − Φ A e\,\Delta V_{AB} = \Phi_B - \Phi_A e Δ V A B = Φ B − Φ A 两块不同金属一碰，电子从逸出功小的一侧流向大的一侧，直到费米能级拉平；两者表面之间于是留下一个电势差，大小就是逸出功之差除以电子电荷。伏打当年用冷凝验电器测到的「接触张力」是真的，今天它仍然叫伏打电势差，是表面物理与开尔文探针的日常量。错的只是他把它当成了电堆的能量来源。
∇ 2 ϕ = 0 \nabla^2 \phi = 0 ∇ 2 ϕ = 0 在没有质量或电荷的地方，引力势与静电势满足这条方程。它是物理学中出现次数最多的方程之一——引力、静电、稳态热传导、无旋流体，形式完全一样。
c = γ P / ρ c = \sqrt{\gamma P / \rho} c = γ P / ρ 牛顿算出的声速比实测低了约 16%，一百多年无人能解释。拉普拉斯 1816 年指出，声波压缩得太快，热来不及散开，该用绝热而非等温关系——补上系数后与实测相符。
c 金属 = m 水 ( T − T 水 ) m 金属 ( T 金属 − T ) c_{\text{金属}} = \frac{m_{\text{水}}\,(T - T_{\text{水}})}{m_{\text{金属}}\,(T_{\text{金属}} - T)} c 金属 = m 金属 ( T 金属 − T ) m 水 ( T − T 水 ) 把 210°F 的金属投进冷水，搅匀后读出共同温度 T T T
Q = ∑ i m i c i Δ T i Q = \sum_i m_i\, c_i\, \Delta T_i Q = i ∑ m i c i Δ T i 第三号实验两个半小时里，水、炮筒金属、伸进水箱的铁杆各自升了多少温，按比热折算后加总，等于把 26.58 磅冰水烧到沸腾所需的热。他特意注明：木箱吸走的和散失到空气里的热都没算进去。
J ≈ 33 000 × 150 26.58 × 180 ≈ 1034 英尺⋅磅 \begin{aligned} J &\approx \frac{33\,000 \times 150}{26.58 \times 180} \\ &\approx 1034\ \text{英尺·磅} \end{aligned} J ≈ 26.58 × 180 33 000 × 150 ≈ 1034 英尺 ⋅ 磅 伦福德只说机器「一匹马就拉得动」，没有自己算功热换算。1850 年焦耳补上了这一步：瓦特的一马力是每分钟 33000 英尺·磅，拉两个半小时共 495 万英尺·磅，除以 26.58 磅水升温 180 华氏度，得每磅水升高 1 华氏度需约 1034 英尺·磅；焦耳自己测得 772。他指出伦福德的数偏大，正是那部分没计入的热造成的。
I 1 I 2 = r 1 2 r 2 2 \frac{I_1}{I_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} I 2 I 1 = r 2 2 r 1 2 两盏灯在屏前各投一道影子，挪动灯的距离直到两道影子一样深，此时两灯照到屏上的亮度相等，发光强度之比就等于距离平方之比。他用这办法比较蜡烛、油灯的亮度与燃料花费。
∂ T ∂ t = α ∇ 2 T \frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \nabla^2 T ∂ t ∂ T = α ∇ 2 T 温度随时间的变化正比于温度的空间曲率。这是物理学第一个偏微分方程形式的场方程，后来的扩散、薛定谔方程、乃至期权定价公式都是同一个形状。
f ( x ) = ∑ n ( a n cos n π x L + b n sin n π x L ) f(x) = \sum_{n} \left( a_n\cos\frac{n\pi x}{L} + b_n\sin\frac{n\pi x}{L} \right) f ( x ) = n ∑ ( a n cos L nπ x + b n sin L nπ x ) 任何形状的温度分布都能拆成一堆正弦与余弦的叠加。他提出这一点时数学界不接受——「任何函数」当时听起来太狂妄。
d sin θ = m λ d\sin\theta = m\lambda d sin θ = mλ 两条路径的长度差恰好是波长的整数倍时，波峰对波峰，亮纹出现。杨用这条关系第一次测出了光的波长——约五十万分之一米。
E = σ ε E = \frac{\sigma}{\varepsilon} E = ε σ 材料被拉伸时，应力与应变之比。它衡量一种材料「有多难被拉长」，是今天所有结构工程计算的起点之一。
F L = μ 0 I 1 I 2 2 π d \frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} L F = 2 π d μ 0 I 1 I 2 两根通电导线会互相吸引或排斥，力的大小取决于两边的电流和它们的间距。电流的单位「安培」，长期就是用这条式子来定义的。
m O m H = ρ O ρ H = 1.10359 0.07321 ≈ 15.07 \frac{m_{\mathrm{O}}}{m_{\mathrm{H}}} = \frac{\rho_{\mathrm{O}}}{\rho_{\mathrm{H}}} = \frac{1.10359}{0.07321} \approx 15.07 m H m O = ρ H ρ O = 0.07321 1.10359 ≈ 15.07 1811 年论文的核心推论：如果同温同压下同体积气体含有同样多的分子，那么两种气体的密度之比就是它们单个分子的质量之比。他用以空气为 1 的氧、氢密度，算出氧分子约是氢分子的 15.074 倍，氮约 13.238 倍。今天的值约 15.87，差距来自当时的密度测量。
2 H 2 + O 2 ⟶ 2 H 2 O 2\,\mathrm{H_2} + \mathrm{O_2} \longrightarrow 2\,\mathrm{H_2O} 2 H 2 + O 2 ⟶ 2 H 2 O 盖-吕萨克测得两体积氢与一体积氧生成两体积水蒸气。若每个氧分子不可分，水汽只能有一体积；阿伏伽德罗的解释是氧分子在化合时一分为二，每个水分子含半个氧分子、一个氢分子。换成今天的写法，就是 H 2 O \mathrm{H_2O} H 2 O O 2 \mathrm{O_2} O 2 H 2 \mathrm{H_2} H 2
p V = N N A R T pV = \frac{N}{N_A}\,RT p V = N A N R T 同样的压强、体积与温度对应同样多的分子 N N N N A N_A N A R R R
N A = 6.022 140 76 × 10 23 m o l − 1 N_A = 6.022\,140\,76 \times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}} N A = 6.022 140 76 × 1 0 23 mo l − 1 2018 年第 26 届国际计量大会决定，自 2019 年 5 月 20 日起以这个数值精确定义阿伏伽德罗常数，摩尔从此不再依赖「12 克碳-12」。这个数以他命名，却不是他算的：名称来自 1909 年的佩兰，第一个数量级估计要追溯到 1865 年洛施密特对空气分子大小的估算。
∮ E ⋅ d A = Q ε 0 \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0} ∮ E ⋅ d A = ε 0 Q 穿过任意闭合曲面的电通量只取决于面内包住的总电荷，与电荷怎么分布、曲面什么形状都无关。库仑定律的平方反比性质在这里变成了一条几何陈述——电磁学的第一课就在用它。
[ B ] = M 1 / 2 L − 1 / 2 T − 1 [B] = \mathrm{M}^{1/2}\mathrm{L}^{-1/2}\mathrm{T}^{-1} [ B ] = M 1/2 L − 1/2 T − 1 1832 年他第一次用毫米、毫克、秒这三个力学单位把地磁场强度表示出来。此前磁力只能与另一块磁铁相比，从此它有了独立于任何参照物的数值——国际单位制的思想由此开始。
B ∝ I r , B ⊥ I \mathbf{B} \propto \frac{I}{r},\quad \mathbf{B} \perp \mathbf{I} B ∝ r I , B ⊥ I 磁针不指向导线，也不背离导线，而是垂直于两者构成的平面。这种「横着的」作用力在当时闻所未闻——已知的力全都沿着两个物体的连线。
A l C l 3 + 3 K → A l + 3 K C l \mathrm{AlCl_3} + 3\mathrm{K} \rightarrow \mathrm{Al} + 3\mathrm{KCl} AlC l 3 + 3 K → Al + 3 KCl 1825 年奥斯特第一次分离出金属铝。当时它比黄金还贵，拿破仑三世用铝餐具招待最尊贵的客人。
∇ 2 φ = − ρ ε 0 \nabla^2 \varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0} ∇ 2 φ = − ε 0 ρ 把「电荷产生电场」这句话写成一个可解的偏微分方程：势的二阶导数由电荷密度决定。静电、引力、稳态热传导、不可压缩流体，形式全都一样——所以解一次，几门学科一起受益。
P − d p d x = ρ ( d u d t + u d u d x + v d u d y + w d u d z ) − ε ( d 2 u d x 2 + d 2 u d y 2 + d 2 u d z 2 ) \begin{aligned} P - \frac{dp}{dx} = &\ \rho\left(\frac{du}{dt} + u\frac{du}{dx} + v\frac{du}{dy} + w\frac{du}{dz}\right) \\ &- \varepsilon\left(\frac{d^{2}u}{dx^{2}} + \frac{d^{2}u}{dy^{2}} + \frac{d^{2}u}{dz^{2}}\right) \end{aligned} P − d x d p = ρ ( d t d u + u d x d u + v d y d u + w d z d u ) − ε ( d x 2 d 2 u + d y 2 d 2 u + d z 2 d 2 u ) 这是纳维自己写在 1822 年那篇论文里的样子——他用笛卡尔分量写法，三个方向各一条，上面是 x 方向那条。左边是外力减去压强梯度，右边第一项是流体微团的质量乘加速度，第二项是新来的那一块：系数 ε \varepsilon ε μ ∇ 2 v \mu\nabla^{2}\mathbf{v} μ ∇ 2 v ε \varepsilon ε ε \varepsilon ε
E v ∥ + ε ∂ v ∥ ∂ n = 0 E\,\mathbf{v}_{\parallel} + \varepsilon\,\frac{\partial \mathbf{v}_{\parallel}}{\partial n} = 0 E v ∥ + ε ∂ n ∂ v ∥ = 0 今天算流体，壁面上一律取「无滑移」——贴着壁的那层流体速度为零。纳维不是。1822 年 12 月 16 日宣读的第二篇里，他把边界条件改成了这一条：壁面上的切向应力正比于流体相对壁面滑动的速度，系数 E E E ε / E \varepsilon/E ε / E
f + k N 2 [ Δ u + 2 ∇ ( ∇ ⋅ u ) ] = 0 \mathbf{f} + kN^{2}\left[\Delta\mathbf{u} + 2\nabla(\nabla\cdot\mathbf{u})\right] = 0 f + k N 2 [ Δ u + 2∇ ( ∇ ⋅ u ) ] = 0 比流体那篇早一年。1821 年 5 月 14 日他向科学院宣读《论弹性体的平衡与运动定律》，用同一套分子求和给出了各向同性弹性体的普遍平衡方程——全式只有一个弹性常数 k N 2 kN^{2} k N 2 N N N Δ u \Delta\mathbf{u} Δ u ∇ ( ∇ ⋅ u ) \nabla(\nabla\cdot\mathbf{u}) ∇ ( ∇ ⋅ u ) 1 : 2 1:2 1 : 2 1 / 4 1/4 1/4
σ = M y I \sigma = \frac{M y}{I} σ = I M y 1826 年《路桥学校讲义摘要》里的东西，也是今天每个土木学生学的第一条公式：梁截面上某点的正应力，等于该截面的弯矩 M M M y y y I I I
v 波动说 = c n < c v 微粒说 = n c > c v_{\text{波动说}} = \frac{c}{n} < c \qquad\qquad v_{\text{微粒说}} = n\,c > c v 波动说 = n c < c v 微粒说 = n c > c 光进入水里是变快还是变慢？牛顿的微粒说要求水面把光微粒往里「吸」，速度变成 n n n c / n c/n c / n n ≈ 1.33 n \approx 1.33 n ≈ 1.33
I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 ( e ^ 1 ⋅ e ^ 2 ) cos δ I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\,(\hat{e}_1 \cdot \hat{e}_2)\cos\delta I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 ( e ^ 1 ⋅ e ^ 2 ) cos δ 两束光叠在一起，交叉项前面多出一个因子——两束光偏振方向的点积。方向一致时 e ^ 1 ⋅ e ^ 2 = 1 \hat e_1 \cdot \hat e_2 = 1 e ^ 1 ⋅ e ^ 2 = 1
n = sin A + δ min 2 sin A 2 n = \frac{\sin\dfrac{A + \delta_{\min}}{2}}{\sin\dfrac{A}{2}} n = sin 2 A sin 2 A + δ m i n 把玻璃磨成顶角为 A A A δ min \delta_{\min} δ m i n
d sin θ = m λ d \sin\theta = m\lambda d sin θ = mλ 1821 年他把约 260 根金属丝按 0.159 毫米的间距绷在框上做成光栅，让日光穿过去。某个颜色在第 m m m θ \theta θ d d d λ \lambda λ d d d
V = n D − 1 n F − n C φ 1 V 1 + φ 2 V 2 = 0 V = \frac{n_D - 1}{n_F - n_C} \qquad \frac{\varphi_1}{V_1} + \frac{\varphi_2}{V_2} = 0 V = n F − n C n D − 1 V 1 φ 1 + V 2 φ 2 = 0 下标 D D D F F F C C C V V V d d d F F F C C C
I ( θ ) ∝ ∣ ∫ 孔径 e i k r d S ∣ 2 I(\theta) \propto \left| \int_{\text{孔径}} e^{ik r}\, dS \right|^{2} I ( θ ) ∝ ∫ 孔径 e ik r d S 2 把波前上每一点当作新的子波源，让所有子波带着各自的相位叠加。菲涅耳给这个图像配上了积分与相位，衍射花样第一次可以算出来而不只是描述。
r s = n 1 cos θ i − n 2 cos θ t n 1 cos θ i + n 2 cos θ t r_s = \frac{n_1\cos\theta_i - n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i + n_2\cos\theta_t} r s = n 1 cos θ i + n 2 cos θ t n 1 cos θ i − n 2 cos θ t 光射到界面上有多少被反射、多少透射，随入射角和偏振而变。相机镀膜、偏光太阳镜、光纤的全反射、电脑图形学里水面的反光，算的都是它。
电流等于电压除以电阻。三个量、一条式子，是每一份电路图的第一句话——从台灯到手机充电器，没有一处不在用它。
ε = − d Φ B d t \varepsilon = -\frac{d\Phi_B}{dt} ε = − d t d Φ B 穿过线圈的磁场变化得越快，感应出的电压就越高。法拉第用实验和力线图景发现了这条规律，今天的数学形式是麦克斯韦等后人整理出来的。
∇ 2 G ( r , r ′ ) = δ ( r − r ′ ) \nabla^2 G(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}') ∇ 2 G ( r , r ′ ) = δ ( r − r ′ ) 先解一个点源产生的场，再把任意源看成点源的叠加。这个「先解最简单的情形，然后叠加」的策略，今天从天线设计到量子场论都在用。
∫ V ( ϕ ∇ 2 ψ − ψ ∇ 2 ϕ ) d V = ∮ S ( ϕ ∇ ψ − ψ ∇ ϕ ) ⋅ d S \begin{aligned} &\int_V (\phi \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \phi)\, dV \\ &\quad = \oint_S (\phi \nabla\psi - \psi \nabla\phi) \cdot d\mathbf{S} \end{aligned} ∫ V ( ϕ ∇ 2 ψ − ψ ∇ 2 ϕ ) d V = ∮ S ( ϕ ∇ ψ − ψ ∇ ϕ ) ⋅ d S 把体积内的积分换成边界面上的积分。物理上的意思是：要知道一个区域内部的场，只需要知道边界上发生了什么。
η = 1 − T C T H \eta = 1 - \frac{T_C}{T_H} η = 1 − T H T C 哪怕造出一台绝对无摩擦、绝对不漏气的完美发动机，能拿走的功也被冷热两端的温度锁死——这是自然法则划的线，不是工程水平不够。
E L = − L d I d t \mathcal{E}_L = -L\,\frac{dI}{dt} E L = − L d t d I 电流变化时，线圈自己的磁场也跟着变，于是在自己身上感应出一个反抗这种变化的电压。L L L
W = 1 2 L I 2 W = \tfrac{1}{2}\,L I^2 W = 2 1 L I 2 通着电流的线圈把能量存在磁场里。一刀切断电路，电流要在极短时间里归零，d I / d t dI/dt d I / d t
I = n ε n r + R I = \frac{n\,\varepsilon}{n\,r + R} I = n r + R n ε n n n ε \varepsilon ε r r r R R R R R R n n n R R R
1 H = 1 V ⋅ s A = 1 W b A 1\ \mathrm{H} = 1\ \frac{\mathrm{V\cdot s}}{\mathrm{A}} = 1\ \frac{\mathrm{Wb}}{\mathrm{A}} 1 H = 1 A V ⋅ s = 1 A Wb 电流每秒变化 1 安培时感应出 1 伏特电压，这样的线圈电感就是 1 亨利。1893 年芝加哥国际电学大会以他的名字命名。
观者动： f ′ = ( 1 + v o v ) f 源动： f ′ = f 1 − v s / v \begin{aligned} \text{观者动：}\quad f' &= \left(1 + \frac{v_o}{v}\right) f \\ \text{源动：}\quad f' &= \frac{f}{1 - v_s/v} \end{aligned} 观者动： f ′ 源动： f ′ = ( 1 + v v o ) f = 1 − v s / v f v v v v o v_o v o v s v_s v s v v v v v v
z ≡ λ 观 − λ 0 λ 0 ≈ v r c ( v r ≪ c ) z \equiv \frac{\lambda_{\text{观}} - \lambda_0}{\lambda_0} \approx \frac{v_r}{c} \qquad (v_r \ll c) z ≡ λ 0 λ 观 − λ 0 ≈ c v r ( v r ≪ c ) λ 0 \lambda_0 λ 0 v r v_r v r
E = − d Φ d t \mathcal{E} = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} E = − d t d Φ 感应电动势等于磁通 Φ \Phi Φ
Q = I 2 R t Q = I^2 R\, t Q = I 2 R t 导线放出的热量与电流的平方、电阻、通电时间成正比。楞次 1844 年把结论写成两句：发热与导线电阻成正比，与电流的平方成正比。焦耳在 1840–41 年先发表了同一规律，楞次在论文开头说明自己的实验开始得更早，之所以继续做，是认为焦耳的实验还有可推敲之处。
γ n = γ 0 − a n + b n 2 \gamma_n = \gamma_0 - a\,n + b\,n^2 γ n = γ 0 − a n + b n 2 1833 年楞次把银、铜、黄铜、铁、铂的导线加热，测出导电本领 γ \gamma γ n n n a = 0.31368 a = 0.31368 a = 0.31368 b = 0.00043679 b = 0.00043679 b = 0.00043679
楞次与雅可比 1838–39 年测得：同一根铁芯上，激起的磁性与电流 I I I N N N
F = e e ′ r 2 [ 1 − 1 c 2 ( d r d t ) 2 + 2 r c 2 d 2 r d t 2 ] F = \frac{e e'}{r^2}\left[1 - \frac{1}{c^2}\left(\frac{dr}{dt}\right)^2 + \frac{2r}{c^2}\,\frac{d^2 r}{dt^2}\right] F = r 2 e e ′ [ 1 − c 2 1 ( d t d r ) 2 + c 2 2 r d t 2 d 2 r ] 两份电荷之间的力，除了库仑的平方反比，还取决于它们相互靠近或远离的速度与加速度。静止时退回库仑定律，用在电流上又能推出安培力与法拉第的感应。式中的 c c c 2 \sqrt{2} 2
c = 439 450 × 10 6 m m / s c = 439\,450 \times 10^{6}\ \mathrm{mm/s} c = 439 450 × 1 0 6 mm/s 用莱顿瓶放电，把同一份电荷分别按静电的办法与按电磁的办法各量一次，两个读数之比就是这个常数。它的量纲是速度，数值约为每秒 44 万公里。
V = c 2 ≈ 310 740 k m / s V = \frac{c}{\sqrt{2}} \approx 310\,740\ \mathrm{km/s} V = 2 c ≈ 310 740 km/s 1862 年麦克斯韦把韦伯的数换成自己的记号，算出他假想的介质里横波的速度是每秒约 31.07 万公里；菲佐测得的光速是每秒约 31.49 万公里。
E = − d Φ d t , 1 W b = 1 V ⋅ s \mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt}, \qquad 1\ \mathrm{Wb} = 1\ \mathrm{V \cdot s} E = − d t d Φ , 1 Wb = 1 V ⋅ s 穿过一匝线圈的磁通量若在 1 秒内均匀降到零、在线圈里感应出 1 伏电动势，这份磁通量就是 1 韦伯。
H = ∑ i p i q ˙ i − L H = \sum_i p_i \dot{q}_i - L H = i ∑ p i q ˙ i − L 把拉格朗日量作一次勒让德变换，得到的这个量在多数情形下就是体系的总能量。量子力学里薛定谔方程左边的那个 H，正是它。
q ˙ = ∂ H ∂ p , p ˙ = − ∂ H ∂ q \dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p},\qquad \dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q} q ˙ = ∂ p ∂ H , p ˙ = − ∂ q ∂ H 位置与动量地位对等，运动变成相空间里的一条流线。这种对称的写法后来直接翻译成了量子力学的对易关系。
i 2 = j 2 = k 2 = i j k = − 1 i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 i 2 = j 2 = k 2 = ij k = − 1 1843 年他在桥上想通的那一行。代价是乘法不再可交换——历史上第一个被认真接受的非交换代数。今天电脑图形学与航天器姿态控制都在用它。
c = e = f = ⋯ = c c = e = f = \cdots = c c = e = f = ⋯ = c 1842 年那篇论文的第一步不是实验，是一条推理：原因 c c c e e e e e e f f f
J = P Δ h m ( c p − c V ) ≈ 1033 g × 1 274 cm 0.000347 − 0.000244 ≈ 367 m \begin{aligned} J &= \frac{P\,\Delta h}{m\,(c_p - c_V)} \\ &\approx \frac{1033\ \text{g} \times \tfrac{1}{274}\ \text{cm}}{0.000347 - 0.000244} \\ &\approx 367\ \text{m} \end{aligned} J = m ( c p − c V ) P Δ h ≈ 0.000347 − 0.000244 1033 g × 274 1 cm ≈ 367 m 1 立方厘米空气重 0.0013 克。在定压下加热 1 度，它要推开压在上面的 1033 克（一平方厘米的大气压）走 1/274 厘米；在定容下加热同样 1 度，它不推任何东西，所需的热少一截。他把这多出的热 0.000103 个「克水·度」全部算作推开大气做的功，得出：同重的物体从约 367 米（1842 年论文写「约 365 米」）落下所做的功，等于把同重的水升温 1 度。今天的值约 427 米，差出来的主要是当时空气比热数据的误差，他 1874 年再版时已按新数据改用 425。
C p − C V = R C_p - C_V = R C p − C V = R 今天的教科书把他那一步的原理写成这条式子：一摩尔理想气体的定压热容比定容热容多出一个气体常数 R R R
电流通过导体放出的热量，与电流的平方、电阻和时间成正比。电炉、电热水壶、以及所有芯片发的热，算的都是它。
T = 23 h 56 min sin φ T = \frac{23\text{h}56\text{min}}{\sin\varphi} T = sin φ 23 h 56 min 摆动平面相对地面的旋转速率只取决于纬度。在北极二十四小时转一整圈，在赤道完全不转，在巴黎（北纬 48.9 度）约需 31.8 小时。
c = 298 000 k m / s c = 298\,000\ \mathrm{km/s} c = 298 000 km/s 他用旋转镜法在实验室里量出光速，误差约 0.6%。同一装置还证明了光在水中比在空气中慢——这一条直接否定了牛顿的光微粒说。
ρ ( ∂ v ∂ t + v ⋅ ∇ v ) = − ∇ p + μ ∇ 2 v + f ∇ ⋅ v = 0 \begin{aligned} \rho\left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\mathbf{v}\right) &= -\nabla p + \mu \nabla^{2}\mathbf{v} + \mathbf{f} \\ \nabla\cdot\mathbf{v} &= 0 \end{aligned} ρ ( ∂ t ∂ v + v ⋅ ∇ v ) ∇ ⋅ v = − ∇ p + μ ∇ 2 v + f = 0 左边是一小团流体的质量乘加速度，右边三项分别是压强把它推着走、黏性摩擦把它拖住、外力（重力之类）拽它。第二行说这团流体不会被压缩。黏性项 μ ∇ 2 v \mu \nabla^{2}\mathbf{v} μ ∇ 2 v
F = 6 π μ a U v t = 2 9 ( ρ p − ρ f ) g a 2 μ \begin{aligned} F &= 6\pi\mu a U \\ v_{t} &= \frac{2}{9}\,\frac{(\rho_{p}-\rho_{f})\,g\,a^{2}}{\mu} \end{aligned} F v t = 6 π μ a U = 9 2 μ ( ρ p − ρ f ) g a 2 半径 a a a μ \mu μ
∮ ∂ S F ⋅ d ℓ = ∬ S ( ∇ × F ) ⋅ d S \oint_{\partial S} \mathbf{F}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \iint_{S} (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} ∮ ∂ S F ⋅ d ℓ = ∬ S ( ∇ × F ) ⋅ d S 沿一条闭曲线绕一圈累加出来的环量，等于这条曲线张开的任意一张曲面上「旋度」的总通量。它把「绕着转」和「局部在打旋」这两件事划了等号，麦克斯韦正是靠它把安培环路定律改写成微分形式。有趣的是，这条公式最早是威廉·汤姆森写给斯托克斯的。
h ν em < h ν abs ⟺ λ em > λ abs h\nu_{\text{em}} < h\nu_{\text{abs}} \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda_{\text{em}} > \lambda_{\text{abs}} h ν em < h ν abs ⟺ λ em > λ abs 荧光发出的光，能量总比吸收的光低一点、波长总比它长一点，差额留在分子的振动里变成热。这是斯托克斯 1852 年从奎宁溶液上看出来的规律：拿紫外光照，它发蓝，从不反过来。后人把这个差额叫「斯托克斯位移」——名字是别人给的。
∑ E = const \sum E = \text{const} ∑ E = const 能量可以从一种形式变成另一种形式，但总量永远不变。这条定律封死了永动机，也让「热、光、电、运动」第一次被看作同一件东西的不同面孔。
d S = δ Q T dS = \frac{\delta Q}{T} d S = T δ Q 同样一份热量，加给冷的东西比加给热的东西「更值钱」——除以温度得到的这个量，就是熵的增量。
Δ S 孤立系统 ≥ 0 \Delta S_{\text{孤立系统}} \geq 0 Δ S 孤立系统 ≥ 0 与外界完全隔绝的系统，熵只增不减。这就是为什么热不会自己从冷处流回热处，杯子碎了不会自己复原。
T / K = t / ∘ C + 273.15 T/\mathrm{K} = t/^{\circ}\mathrm{C} + 273.15 T / K = t / ∘ C + 273.15 摄氏度的零点是水结冰，纯属人为约定；开尔文把零点挪到了「分子运动完全停下」的地方。从此温度不再是一把随便刻的尺，而有了绝对的原点。
η max = 1 − T c T h \eta_{\max} = 1 - \frac{T_{\mathrm{c}}}{T_{\mathrm{h}}} η m a x = 1 − T h T c 一台热机最多能把多少热变成功，只取决于高温源与低温源的绝对温度之比。这个式子之所以能写得这么干净，正是因为温度用的是开尔文。
∑ k I k = 0 ∑ k V k = 0 \sum_{k} I_k = 0 \qquad\qquad \sum_{k} V_k = 0 k ∑ I k = 0 k ∑ V k = 0 左边：任一节点上流进的电流等于流出的，因为电荷不会在导线里堆积。右边：沿任一回路走一圈，电压的升与降必须抵消，因为回到原点电势不能变。两句话都朴素得像废话，合起来却把「任意复杂的电路」变成了一个线性方程组——未知数是各支路电流，方程由节点和回路提供，解出来就是答案。电气工程之所以能先在纸上算完再去施工，起点就是这两条。写下它们的人当年二十一岁，还是个学生。
E λ ( T ) A λ ( T ) = J ( λ , T ) \frac{E_{\lambda}(T)}{A_{\lambda}(T)} = J(\lambda, T) A λ ( T ) E λ ( T ) = J ( λ , T ) E λ E_\lambda E λ A λ A_\lambda A λ J J J J J J
d s 2 = ∑ i , j g i j ( x ) d x i d x j ds^2 = \sum_{i,j} g_{ij}(x)\, dx^i dx^j d s 2 = i , j ∑ g ij ( x ) d x i d x j 1854 年演讲的核心主张。两个邻近点之间的距离，不再由一条先验的勾股定理给出，而由一组随位置变化的系数 g i j ( x ) g_{ij}(x) g ij ( x ) g i j g_{ij} g ij g i j g_{ij} g ij
d s = ∑ d x 2 1 + α 4 ∑ x 2 ds = \frac{\sqrt{\sum dx^2}}{1 + \frac{\alpha}{4}\sum x^2} d s = 1 + 4 α ∑ x 2 ∑ d x 2 整篇演讲里唯一写出来的公式。α \alpha α
R ρ σ μ ν = ∂ μ Γ ν σ ρ − ∂ ν Γ μ σ ρ + Γ μ λ ρ Γ ν σ λ − Γ ν λ ρ Γ μ σ λ \begin{aligned} R^{\rho}{}_{\sigma\mu\nu} = {} & \partial_\mu \Gamma^{\rho}_{\nu\sigma} - \partial_\nu \Gamma^{\rho}_{\mu\sigma} \\ & + \Gamma^{\rho}_{\mu\lambda}\Gamma^{\lambda}_{\nu\sigma} - \Gamma^{\rho}_{\nu\lambda}\Gamma^{\lambda}_{\mu\sigma} \end{aligned} R ρ σ μν = ∂ μ Γ ν σ ρ − ∂ ν Γ μ σ ρ + Γ μ λ ρ Γ ν σ λ − Γ ν λ ρ Γ μ σ λ 把一个矢量沿着闭合回路平移一圈，回到原处时它转了多少——转了，就说明空间是弯的。黎曼 1861 年在那篇没得奖的巴黎征文里第一次写出这个四指标的对象；现代记号里的 Γ \Gamma Γ
[ ∂ ∂ t + ( u ± c ) ∂ ∂ x ] J ± = 0 \left[ \frac{\partial}{\partial t} + (u \pm c)\frac{\partial}{\partial x} \right] J_{\pm} = 0 [ ∂ t ∂ + ( u ± c ) ∂ x ∂ ] J ± = 0 出自 1860 年那篇讲有限振幅声波的论文。J ± J_{\pm} J ± u ± c u \pm c u ± c
∇ ⋅ E ⃗ = 0 ∇ ⋅ B ⃗ = 0 ∇ × E ⃗ = − ∂ B ⃗ ∂ t ∇ × B ⃗ = μ 0 ε 0 ∂ E ⃗ ∂ t \begin{aligned} \nabla \cdot \vec{E} &= 0 \\ \nabla \cdot \vec{B} &= 0 \\ \nabla \times \vec{E} &= -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \vec{B} &= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{aligned} ∇ ⋅ E ∇ ⋅ B ∇ × E ∇ × B = 0 = 0 = − ∂ t ∂ B = μ 0 ε 0 ∂ t ∂ E 四行方程讲了一个循环的故事：变化的磁场生出电场，变化的电场又生出磁场——两者互相催生、在空间中自行传播，这就是电磁波。
c = 1 μ 0 ε 0 c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} c = μ 0 ε 0 1 用两个纯粹来自电学与磁学实验的常数，算出的波速恰好等于光速——光的真实身份由此揭晓。
j = σ T 4 j = \sigma T^{4} j = σ T 4 物体单位面积辐射出的总功率，与绝对温度 T T T σ ≈ 5.67 × 10 − 8 W m − 2 K − 4 \sigma \approx 5.67 \times 10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}} σ ≈ 5.67 × 1 0 − 8 W m − 2 K − 4
v ∝ ( 273 + t ) 4 − 273 4 v \propto (273 + t)^{4} - 273^{4} v ∝ ( 273 + t ) 4 − 27 3 4 杜隆与珀蒂 1817 年测过温度计在 0 °C 外壳里冷却的速度 v v v m ( a t − 1 ) m\,(a^{t}-1) m ( a t − 1 ) ( 273 + t ) 4 − 273 4 (273+t)^{4} - 273^{4} ( 273 + t ) 4 − 27 3 4
T ⊙ = 43.5 4 T 锆片 ≈ 2.57 T 锆片 T_{\odot} = \sqrt[4]{43.5}\ T_{\text{锆片}} \approx 2.57\,T_{\text{锆片}} T ⊙ = 4 43.5 T 锆片 ≈ 2.57 T 锆片 Soret 让同一个温度计分别对着太阳和一块在氢氧焰里烧红、视大小与太阳相同的锆片，扣掉大气吸收后，接收到的热约为 43.5 比 1。按四次方律，太阳的绝对温度就是锆片的 43.5 4 ≈ 2.57 \sqrt[4]{43.5} \approx 2.57 4 43.5 ≈ 2.57
h 2 = 2 K a t λ ρ h^{2} = \frac{2 K a t}{\lambda \rho} h 2 = λ ρ 2 K a t 水面上方气温比冰点低 a a a h h h t t t K K K λ \lambda λ ρ \rho ρ a a a
( p + a V 2 ) ( V − b ) = R T \left(p + \frac{a}{V^{2}}\right)(V - b) = RT ( p + V 2 a ) ( V − b ) = R T 理想气体定律 p V = R T pV = RT p V = R T b b b V − b V-b V − b a / V 2 a/V^{2} a / V 2
V c = 3 b , p c = a 27 b 2 , T c = 8 a 27 R b p c V c R T c = 3 8 \begin{gathered} V_{c} = 3b, \quad p_{c} = \frac{a}{27b^{2}}, \quad T_{c} = \frac{8a}{27Rb} \\ \frac{p_{c}V_{c}}{RT_{c}} = \frac{3}{8} \end{gathered} V c = 3 b , p c = 27 b 2 a , T c = 27 R b 8 a R T c p c V c = 8 3 把方程的等温线画出来：高于某个温度，气体无论怎么压都不会液化；低于它，物质会分成共存的两相。分界处那一点就是临界点，三个临界常数全部由 a a a b b b 3 / 8 3/8 3/8 1 / 3.77 1/3.77 1/3.77
( p r + 3 V r 2 ) ( 3 V r − 1 ) = 8 T r \left(p_{r} + \frac{3}{V_{r}^{2}}\right)(3V_{r} - 1) = 8T_{r} ( p r + V r 2 3 ) ( 3 V r − 1 ) = 8 T r 把压强、体积、温度各自用它们的临界值去量，a a a b b b R R R
U ( r ) ∝ − 1 r 6 U(r) \propto -\frac{1}{r^{6}} U ( r ) ∝ − r 6 1 方程里的 a a a 1 / r 6 1/r^{6} 1/ r 6
M = v c sin μ = c v = 1 M \begin{aligned} M &= \frac{v}{c} \\ \sin\mu &= \frac{c}{v} = \frac{1}{M} \end{aligned} M sin μ = c v = v c = M 1 上一行是马赫数：物体速度 v v v c c c μ \mu μ sin μ = 1 / M \sin\mu = 1/M sin μ = 1/ M M M M M = 1 M=1 M = 1 μ = 90 ∘ \mu = 90^\circ μ = 9 0 ∘
m 1 m 2 = − a 2 a 1 \frac{m_1}{m_2} = -\frac{a_2}{a_1} m 2 m 1 = − a 1 a 2 牛顿把质量定义为「物质的量」，马赫认为这是循环论证——「物质的量」除了用质量还能怎么量？他干脆把定义倒过来：让两个物体只彼此作用，量出各自的加速度，质量之比就定义为相互加速度之比的负倒数。质量从此不再是物体自带的神秘属性，而是一个关系——要有第二个物体才谈得上。这套改写今天写进了几乎所有力学教科书的开头
S ∝ L − k ∇ 2 L S \propto L - k\,\nabla^{2} L S ∝ L − k ∇ 2 L 一张灰度均匀渐变的纸，在亮暗交界处会看见并不存在的一道亮边和一道暗边。马赫 1865 年的结论可以写成这样一条正比关系：视网膜报给大脑的不是亮度 L L L ∇ 2 L \nabla^{2}L ∇ 2 L
I = I 0 cos 2 Δ φ 2 Δ φ = 2 π λ ( n − 1 ) d \begin{aligned} I &= I_0\cos^{2}\frac{\Delta\varphi}{2} \\ \Delta\varphi &= \frac{2\pi}{\lambda}(n-1)d \end{aligned} I Δ φ = I 0 cos 2 2 Δ φ = λ 2 π ( n − 1 ) d 一束光被分成两路、走不同的路径、再合到一起，相位差 Δ φ \Delta\varphi Δ φ n n n d d d
Δ N = 2 D λ ⋅ v 2 c 2 ≈ 0.4 \Delta N = \frac{2D}{\lambda} \cdot \frac{v^2}{c^2} \approx 0.4 Δ N = λ 2 D ⋅ c 2 v 2 ≈ 0.4 光路经反复反射折叠到约 11 米，合黄光 2 × 10 7 2 \times 10^7 2 × 1 0 7 10 − 4 10^{-4} 1 0 − 4 10 − 8 10^{-8} 1 0 − 8
v rel v orb < 1 40 ≈ 1 6 \frac{v_{\text{rel}}}{v_{\text{orb}}} < \sqrt{\frac{1}{40}} \approx \frac{1}{6} v orb v rel < 40 1 ≈ 6 1 条纹移动与速度的平方成正比。实测移动「肯定小于预期的 1 / 20 1/20 1/20 1 / 40 1/40 1/40
x = 1 − 1 n 2 x = 1 - \frac{1}{n^2} x = 1 − n 2 1 1886 年重做斐索的流水实验，测得流水带动光的比例是 0.434 ± 0.02 0.434 \pm 0.02 0.434 ± 0.02
O H = 15.879 \frac{\mathrm{O}}{\mathrm{H}} = 15.879 H O = 15.879 以氢为 1。称量法（把氢、氧和生成的水全部称出来）与密度法（两种气体的密度比）得出同一个数。今天的对应值是 15.873；别拿它和以碳 12 为标的氧原子量 15.999 去比，两者不是一回事。
一个反应会不会自发进行，不看放不放热，看这个量减不减小。电池能放出多少电、蛋白质会折叠成什么形状、矿石要多高温度才还原得出金属，算的都是它。
F = C − P + 2 F = C - P + 2 F = C − P + 2 一个体系里有几种成分、几个相，就决定了你还能自由调节几个变量。水在三相点上一个都不能调——温度压强稍变，冰、水、汽三者必去其一。
I ∝ 1 λ 4 I \propto \frac{1}{\lambda^{4}} I ∝ λ 4 1 空气分子散射光的强度与波长的四次方成反比。蓝光波长短，被散得到处都是——所以白天的天空是蓝的，而夕阳穿过更厚的大气后只剩下红。
R e = ρ U D μ = U D ν Re = \frac{\rho U D}{\mu} = \frac{U D}{\nu} R e = μ ρ U D = ν U D 流速 U U U D D D ν \nu ν R e Re R e
i ∝ { U R e ≲ 2000 U 1.72 R e ≳ 2000 i \propto \begin{cases} U & Re \lesssim 2000 \\ U^{1.72} & Re \gtrsim 2000 \end{cases} i ∝ { U U 1.72 R e ≲ 2000 R e ≳ 2000 i i i
u i = u ˉ i + u i ′ ρ D u ˉ i D t = − ∂ p ˉ ∂ x i + ∂ ∂ x j ( μ ∂ u ˉ i ∂ x j − ρ u i ′ u j ′ ‾ ) \begin{aligned} u_i &= \bar{u}_i + u_i' \\ \rho \frac{D\bar{u}_i}{Dt} &= -\frac{\partial \bar{p}}{\partial x_i} + \frac{\partial}{\partial x_j}\left(\mu \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial x_j} - \rho\,\overline{u_i' u_j'}\right) \end{aligned} u i ρ D t D u ˉ i = u ˉ i + u i ′ = − ∂ x i ∂ p ˉ + ∂ x j ∂ ( μ ∂ x j ∂ u ˉ i − ρ u i ′ u j ′ ) 1895 年雷诺把湍流的速度拆成「平均」加「涨落」，再对纳维-斯托克斯方程取平均。平均流满足的方程和原来几乎一样，只多出一项 − ρ u i ′ u j ′ ‾ -\rho\,\overline{u_i' u_j'} − ρ u i ′ u j ′
d d x ( h 3 d p d x ) = 6 μ U d h d x \frac{d}{dx}\left(h^{3}\frac{dp}{dx}\right) = 6\mu U \frac{dh}{dx} d x d ( h 3 d x d p ) = 6 μU d x d h 轴在轴承里转，中间隔着一层厚度 h h h U U U
S = k B ln W S = k_B \ln W S = k B ln W 熵就是「微观可能性的多少」——一个宏观状态对应的微观排列方式越多，熵越大；世界走向高熵，只因高熵的走法压倒性地多。
λ ≈ 10 − 10 m \lambda \approx 10^{-10}\ \mathrm{m} λ ≈ 1 0 − 10 m 约为可见光的万分之一，恰好与原子间距同量级。正因如此，它既能穿过软组织，又能被晶体衍射——医学影像与晶体结构分析都从这个数量级来。
I = I 0 e − μ x I = I_0\,e^{-\mu x} I = I 0 e − μx 射线穿过物质时按指数衰减，衰减系数 μ 随原子序数急剧上升。骨头里的钙比软组织重得多，所以在底片上留下白影——X 光片的全部原理就是这一条。
∇ ⋅ D = ρ , ∇ × H = J + ∂ t D \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho, \quad \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \partial_t \mathbf{D} ∇ ⋅ D = ρ , ∇ × H = J + ∂ t D 麦克斯韦本人写的是二十个标量方程、带着一个今天已经不用的「矢势」为主角的表述。亥维赛用自己发展的矢量分析把它压成四条，并把电场与磁场推到台前——今天全世界课本上的「麦克斯韦方程组」，是他的排版。
N ( t ) = N 0 e − λ t N(t) = N_0\,e^{-\lambda t} N ( t ) = N 0 e − λ t 每个原子核何时衰变完全随机，但一大群核的数目按指数减少。这条式子后来变成了考古学的碳定年、地质学的岩石测年，也是核医学给药剂量的依据。
1 B q = 1 次衰变/秒 1\ \mathrm{Bq} = 1\ \text{次衰变/秒} 1 Bq = 1 次衰变 / 秒 国际单位制中放射性活度的单位以他命名。一份食物、一块岩石、一个人体内钾-40 的活度，都用它来标。
Δ t = L v 2 c 3 \Delta t = \frac{L v^2}{c^3} Δ t = c 3 L v 2 若地球在以太中以速度 v 运动，两条互相垂直的光路往返时间应有微小差别，表现为干涉条纹的移动。迈克尔逊的装置足以看到预期值的四十分之一。
观测到的条纹移动 ≈ 0 \text{观测到的条纹移动} \approx 0 观测到的条纹移动 ≈ 0 论文给的是上限：位移肯定不到预期的二十分之一，很可能不到四十分之一。对一个本该迎着每秒三十公里「以太风」的实验，这等于什么也没有——这个「失败」的实验成了物理学史上最重要的零结果。
γ = 1 1 − v 2 / c 2 \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} γ = 1 − v 2 / c 2 1 速度越接近光速它就越大——时间变慢多少、尺子缩短多少、能量涨到多少，全由这个数字说了算。
F ⃗ = q ( E ⃗ + v ⃗ × B ⃗ ) \vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}) F = q ( E + v × B ) 带电粒子在电场与磁场中受到的合力——从极光的舞动到加速器里粒子的转弯，都由它掌舵。
p p c = f ( T T c , V V c ) \frac{p}{p_c} = f\left(\frac{T}{T_c}, \frac{V}{V_c}\right) p c p = f ( T c T , V c V ) 用临界点把压强、温度、体积都换成「相对值」后，不同气体的行为会落到同一条曲线上。昂内斯在莱顿用精密等温线为这套图像提供数据，也由此一路走向极低温。
x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 − c 2 t ′ 2 = x 2 + y 2 + z 2 − c 2 t 2 x'^2 + y'^2 + z'^2 - c^2t'^2 = x^2+y^2+z^2-c^2t^2 x ′2 + y ′2 + z ′2 − c 2 t ′2 = x 2 + y 2 + z 2 − c 2 t 2 庞加莱 1905 年指出洛伦兹变换构成一个群，并找出了它保持不变的那个量。他给这个群起名「洛伦兹群」——闵可夫斯基三年后把这个不变量解释成四维时空中的「距离」。
E = m c 2 （作为电磁场动量的推论） E = mc^2\ \text{（作为电磁场动量的推论）} E = m c 2 （作为电磁场动量的推论） 1900 年他指出电磁辐射携带动量，因此可以赋予它等效质量 E/c²。这不是完整的质能关系，但已经是那个方向上的一步。
e m ≈ 1.76 × 10 11 C / k g \frac{e}{m} \approx 1.76\times10^{11}\ \mathrm{C/kg} m e ≈ 1.76 × 1 0 11 C/kg 汤姆孙测出阴极射线粒子的电荷与质量之比，发现它比氢离子大了一千多倍——要么电荷极大，要么质量极小。他赌了后者，赌对了。
c = λ ν c = \lambda\,\nu c = λ ν 赫兹在实验室里量出了驻波的波长，又从振荡回路算出了频率，两者一乘就是波速。结果是每秒约三十万公里——正是光速。于是光和无线电波成了同一种东西，只是「音高」不同：可见光每秒振动几百万亿次，手机信号每秒振动几十亿次，如此而已。
∇ 2 E ⃗ = μ 0 ε 0 ∂ 2 E ⃗ ∂ t 2 \nabla^2 \vec{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} ∇ 2 E = μ 0 ε 0 ∂ t 2 ∂ 2 E 麦克斯韦方程组整理之后剩下的这一行，形状和绳子上抖出的波、水面的涟漪一模一样——它宣告电场可以脱离电荷，自己在空无一物的空间里跑起来。赫兹做的，就是把这行数学变成实验台上真实跳动的火花。
能量不能无限细分——振动的电荷吸收或放出能量时，只能一份一份地来，每份的大小等于频率乘以一个极小的新常数 h。
u ( ν , T ) = 8 π h ν 3 c 3 1 e h ν / k B T − 1 u(\nu, T) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\,\frac{1}{e^{h\nu/k_B T} - 1} u ( ν , T ) = c 3 8 π h ν 3 e h ν / k B T − 1 1 一个发热物体在每种频率上辐射多少能量，这条公式一网打尽——从炼钢炉的橙红到宇宙微波背景，全都严丝合缝。
χ = C T \chi = \frac{C}{T} χ = T C 顺磁物质的磁化率 χ \chi χ T T T C C C
没有对称中心的晶体受到应力 σ \sigma σ P P P d d d
S = 1 2 κ ∫ R − g d 4 x S = \frac{1}{2\kappa}\int R\sqrt{-g}\,\mathrm{d}^4x S = 2 κ 1 ∫ R − g d 4 x 广义相对论的场方程可以从这一个积分变分出来：被积的只是时空的标量曲率 R R R
⟨ ψ ∣ ψ ⟩ = ∫ ∣ ψ ( x ) ∣ 2 d x = 1 \langle \psi | \psi \rangle = \int |\psi(x)|^2 \,\mathrm{d}x = 1 ⟨ ψ ∣ ψ ⟩ = ∫ ∣ ψ ( x ) ∣ 2 d x = 1 希尔伯特研究积分方程时，把「无穷多个分量的向量」和它们之间的内积整理成了一套自洽的几何。二十多年后，量子力学发现自己需要的正是这套东西：一个量子态就是这个空间里的一个单位向量，两个态的内积给出跃迁振幅，模长的平方是概率。这个空间的名字是冯·诺伊曼取的。
R 1 R 2 ≈ ρ 2 ρ 1 A 1 A 2 \frac{R_1}{R_2} \approx \frac{\rho_2}{\rho_1}\sqrt{\frac{A_1}{A_2}} R 2 R 1 ≈ ρ 1 ρ 2 A 2 A 1 1905 年他与学生 Kleeman 发现，一种物质每个原子对 α 粒子的「阻止本领」大致与原子量 A A A R R R ρ \rho ρ
n λ = 2 d sin θ n\lambda = 2d\sin\theta nλ = 2 d sin θ 这条式子是儿子劳伦斯 1912 年写下的。父亲造的分光计把它变成了一台仪器：晶体装在可以精确转动的台子上，掠射角 θ \theta θ d d d λ \lambda λ
d = ( M 2 ρ N A ) 1 / 3 ≈ 2.8 × 10 − 10 m d = \left(\frac{M}{2\rho N_A}\right)^{1/3} \approx 2.8\times 10^{-10}\ \mathrm{m} d = ( 2 ρ N A M ) 1/3 ≈ 2.8 × 1 0 − 10 m 一旦知道氯化钠是钠离子与氯离子交替排成的立方格子，每个离子占一个小立方体，相邻晶面的间距就能从摩尔质量 M M M ρ \rho ρ N A N_A N A
μ a ∝ Z 4 λ 5 / 2 \mu_a \propto Z^4 \lambda^{5/2} μ a ∝ Z 4 λ 5/2 1914 年他与 Peirce 测得：在吸收边以下，每个原子对 X 射线的吸收系数 μ a \mu_a μ a Z Z Z λ \lambda λ
d s 2 = c 2 d t 2 − d x 2 − d y 2 − d z 2 ds^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 d s 2 = c 2 d t 2 − d x 2 − d y 2 − d z 2 四维时空中两个事件之间的「距离」。不同观察者测得的时间与空间分量各不相同，但这个组合对所有人一样。狭义相对论的全部内容，可以压缩成「这个量不变」。
x ′ μ = Λ ν μ x ν x'^\mu = \Lambda^{\mu}_{\ \nu}\,x^{\nu} x ′ μ = Λ ν μ x ν 把时间与空间放进同一个四分量对象后，洛伦兹变换就成了这个空间里的一次「转动」。爱因斯坦原本繁复的推导，在这套记号里变成几行。
E = E ∘ − R T z F ln Q E = E^{\circ} - \frac{RT}{zF}\ln Q E = E ∘ − z F R T ln Q 一节电池的电动势 E E E E ∘ E^{\circ} E ∘ Q Q Q z z z F F F R T / F RT/F R T / F
lim T → 0 ∂ Δ G ∂ T = lim T → 0 ∂ Δ H ∂ T = 0 lim T → 0 Δ S = 0 \begin{aligned} \lim_{T\to 0}\frac{\partial \Delta G}{\partial T} &= \lim_{T\to 0}\frac{\partial \Delta H}{\partial T} = 0 \\ \lim_{T\to 0}\Delta S &= 0 \end{aligned} T → 0 lim ∂ T ∂ Δ G T → 0 lim Δ S = T → 0 lim ∂ T ∂ Δ H = 0 = 0 化学家一直想只凭反应热 Δ H \Delta H Δ H Δ G \Delta G Δ G T Δ S T\Delta S T Δ S Δ G \Delta G Δ G Δ H \Delta H Δ H
C V = 3 R 2 [ E ( β ν T ) + E ( β ν 2 T ) ] E ( x ) = x 2 e x ( e x − 1 ) 2 \begin{gathered} C_{V} = \frac{3R}{2}\left[E\left(\frac{\beta\nu}{T}\right) + E\left(\frac{\beta\nu}{2T}\right)\right] \\ E(x) = \frac{x^{2}e^{x}}{(e^{x}-1)^{2}} \end{gathered} C V = 2 3 R [ E ( T β ν ) + E ( 2 T β ν ) ] E ( x ) = ( e x − 1 ) 2 x 2 e x 爱因斯坦 1907 年只用一个振动频率 ν \nu ν ν \nu ν ν / 2 \nu/2 ν /2 E E E β = h / k \beta = h/k β = h / k
λ max T = b ≈ 2.898 × 10 − 3 m ⋅ K \lambda_{\max} \, T = b \approx 2.898 \times 10^{-3}\ \mathrm{m \cdot K} λ m a x T = b ≈ 2.898 × 1 0 − 3 m ⋅ K 一个黑体最亮的那条波长乘以它的绝对温度，等于一个与材料无关的常数。1893 年他证出的其实比这更强：不只是峰值，整条曲线上的每一条波长都随温度按 λ T = \lambda T = λ T = b b b
φ λ = C λ 5 e − c / λ ϑ ( 1896 ) u ( ν , T ) = 2 h ν 3 c 2 e − h ν / k B T \begin{aligned} \varphi_\lambda &= \frac{C}{\lambda^{5}} \, e^{-c/\lambda\vartheta} \quad (1896) \\[2pt] u(\nu,T) &= \frac{2h\nu^{3}}{c^{2}} \, e^{-h\nu/k_{\mathrm{B}}T} \end{aligned} φ λ u ( ν , T ) = λ 5 C e − c / λ ϑ ( 1896 ) = c 2 2 h ν 3 e − h ν / k B T 上行是他 1896 年的原式，下行是今天的写法。推导不是凑曲线：他假设每个分子发出的波长只由它的速度决定，套上麦克斯韦速率分布，再用位移定律定死指数里 λ \lambda λ ϑ \vartheta ϑ λ − 5 \lambda^{-5} λ − 5 h ν ≫ k B T h\nu \gg k_{\mathrm B}T h ν ≫ k B T
q E = q v B ⟹ v = E B qE = qvB \quad \Longrightarrow \quad v = \frac{E}{B} q E = q v B ⟹ v = B E 1898 年他给戈尔德施泰因发现的「极隧射线」同时加上电场与磁场，测出它们带正电、荷质比比阴极射线小约四个数量级，最轻的一档质量与氢原子相当。后来以他命名的滤速器把两个场正交架设：只有速度恰好等于 E / B E/B E / B
Δ ν = e H 4 π m c \Delta \nu = \frac{eH}{4\pi mc} Δ ν = 4 π m c eH 磁场 H H H Δ ν \Delta\nu Δ ν e e e m m m
e m = 4 π c Δ ν H ≈ 10 7 emu/g \frac{e}{m} = \frac{4\pi c \, \Delta \nu}{H} \approx 10^{7}\ \text{emu/g} m e = H 4 π c Δ ν ≈ 1 0 7 emu/g 把量到的展宽当作 Δ ν \Delta\nu Δ ν 10 4 10^4 1 0 4 H H H 10 7 10^7 1 0 7
Δ E = g J m J μ B B \Delta E = g_J m_J \mu_B B Δ E = g J m J μ B B 洛伦兹的经典理论只允许三条线，可实验很快裂出四条、六条、九条，这些「反常」的分裂困了物理学家近三十年。答案藏在 g J g_J g J
N = N 0 e − λ t N = N_0 e^{-\lambda t} N = N 0 e − λ t 放射性原子并非一起消亡，而是每个原子都按固定概率随机衰变——于是剩下的数量像退潮一样按指数规律减少，「半衰期」由此而来。
M = − 2.81 log 10 P − 1.43 M = -2.81\log_{10} P - 1.43 M = − 2.81 log 10 P − 1.43 一颗造父变星的真实亮度只由它的脉动周期决定。测出周期就知道它本该多亮，与看上去多亮一比，距离就出来了——这是人类第一把能伸出银河系的尺子。
m − M = 5 log 10 d 10 p c m - M = 5\log_{10}\frac{d}{10\,\mathrm{pc}} m − M = 5 log 10 10 pc d 视亮度与真实亮度之差换算成距离。有了周光关系提供的「真实亮度」，这个式子才第一次能用在遥远天体上。
q E = 4 3 π a 3 ( ρ − ρ 0 ) g v f = 2 a 2 ( ρ − ρ 0 ) g 9 η \begin{aligned} qE &= \tfrac{4}{3}\pi a^{3}(\rho-\rho_{0})g \\ v_{f} &= \frac{2a^{2}(\rho-\rho_{0})g}{9\eta} \end{aligned} q E v f = 3 4 π a 3 ( ρ − ρ 0 ) g = 9 η 2 a 2 ( ρ − ρ 0 ) g 上式是油滴悬停不动时的条件——电场把它托住，抵消掉扣除浮力后的重力；下式是撤掉电场后它匀速下落的终端速度，由斯托克斯定律给出。油滴太小，没有秤能称它，但下落的快慢出卖了它的半径 a a a q q q
q = n e , n = 1 , 2 , 3 , … q = n e, \quad n = 1, 2, 3, \ldots q = n e , n = 1 , 2 , 3 , … 密立根量出的从来不是一个连续的谱。同一滴油在几小时里不断捕获或丢掉空气中的离子，每一次电荷都跳一格，而所有测得的 q q q
e V 0 = h ν − W e V_{0} = h\nu - W e V 0 = h ν − W 爱因斯坦 1905 年断言：打出的电子最大动能随光的频率线性增长，截止电压 V 0 V_0 V 0 ν \nu ν h / e h/e h / e h h h
α = e 2 4 π ε 0 ℏ c ≈ 1 137 \alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar c} \approx \frac{1}{137} α = 4 π ε 0 ℏ c e 2 ≈ 137 1 把电荷、普朗克常数与光速搭在一起，单位竟然全部约掉，只剩下一个赤裸裸的数字。它衡量电磁力有多强——大一点，化学键会散架；小一点，恒星烧不起来。至今没有人知道它为什么偏偏是这个值。
E n , k = − R y n 2 [ 1 + α 2 n ( 1 k − 3 4 n ) ] E_{n,k} = -\frac{R_y}{n^2}\left[1 + \frac{\alpha^2}{n}\left(\frac{1}{k} - \frac{3}{4n}\right)\right] E n , k = − n 2 R y [ 1 + n α 2 ( k 1 − 4 n 3 ) ] 玻尔的能级只由一个量子数 n 决定，索末菲添上了描述轨道形状的第二个量子数 k。方括号里那一小项正比于 α 的平方，小得几乎看不见——却正好是光谱线裂成几条细线的宽度。
n ( h ) n 0 = exp ( − N A V ( ρ − ρ ′ ) g h R T ) \frac{n(h)}{n_0} = \exp\left(-\frac{N_A\, V (\rho-\rho')\, g\, h}{RT}\right) n 0 n ( h ) = exp ( − R T N A V ( ρ − ρ ′ ) g h ) 大气越高越稀薄，是因为分子的热运动与重力在较劲；佩兰假定悬浮在水里的藤黄颗粒也是「大号分子」，那么它们在几十微米高的液柱里也该这样按指数变稀。V V V ρ − ρ ′ \rho-\rho' ρ − ρ ′ N A N_A N A
⟨ x 2 ⟩ = R T N A t 3 π η a \langle x^2 \rangle = \frac{RT}{N_A}\,\frac{t}{3\pi\eta a} ⟨ x 2 ⟩ = N A R T 3 π η a t 爱因斯坦 1905 年的预言：半径为 a a a η \eta η t t t N A N_A N A
e V = 1 2 m v 2 eV = \tfrac{1}{2}mv^2 e V = 2 1 m v 2 1895 年证明阴极射线带负电之后，佩兰加一个逆向电场让射线停下来，量出所需电压 V V V e / m e/m e / m
Δ E = ( 4 × 1.008 − 4.000 ) g × c 2 ≈ 3 × 10 19 e r g \Delta E = (4 \times 1.008 - 4.000)\,\mathrm{g} \times c^2 \approx 3 \times 10^{19}\ \mathrm{erg} Δ E = ( 4 × 1.008 − 4.000 ) g × c 2 ≈ 3 × 1 0 19 erg 1919 年他指出：按当时的原子量，4 克原子的氢（4.032 克）比 1 克原子的氦（4.000 克）重 32 毫克，按爱因斯坦的质能关系，这部分质量对应约 3 × 10 19 3\times10^{19} 3 × 1 0 19
d σ d Ω = ( Z 1 Z 2 e 2 4 E ) 2 1 sin 4 ( θ / 2 ) \frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{Z_1 Z_2 e^2}{4E}\right)^{2} \frac{1}{\sin^{4}(\theta/2)} d Ω d σ = ( 4 E Z 1 Z 2 e 2 ) 2 sin 4 ( θ /2 ) 1 α 粒子被原子弹开的角度分布有严格规律——角度越大越罕见，恰好按这个比例递减。实验点点吻合，只能有一个解释：原子的正电荷全部挤在一个极小的核里。
m d 2 x d t 2 = − 6 π η a d x d t + F ( t ) m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -6\pi\eta a\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + F(t) m d t 2 d 2 x = − 6 π η a d t d x + F ( t ) 牛顿第二定律的右边多了一项 F ( t ) F(t) F ( t ) ⟨ x 2 ⟩ = 2 D t \langle x^2\rangle = 2Dt ⟨ x 2 ⟩ = 2 D t
M M 0 = L ( x ) = coth x − 1 x , x = μ B k B T \frac{M}{M_0} = L(x) = \coth x - \frac{1}{x}, \qquad x = \frac{\mu B}{k_B T} M 0 M = L ( x ) = coth x − x 1 , x = k B T μ B 1905 年他把顺磁性算成了一场拔河：磁场想把每个原子磁矩拽到同一方向，热运动把它们打乱，两者之比就是 x x x M ∝ B / T M \propto B/T M ∝ B / T
d s 2 = − ( 1 − r s r ) c 2 d t 2 + d r 2 1 − r s r + r 2 d Ω 2 ds^2 = -\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^2dt^2 + \frac{dr^2}{1-\frac{r_s}{r}} + r^2 d\Omega^2 d s 2 = − ( 1 − r r s ) c 2 d t 2 + 1 − r r s d r 2 + r 2 d Ω 2 一个球对称质量周围的时空长什么样。这是爱因斯坦场方程的第一个精确解——爱因斯坦本人当时以为这套方程只能近似求解。
r s = 2 G M c 2 r_s = \frac{2GM}{c^2} r s = c 2 2 GM 度规在这个半径处出问题。太阳的是三公里，地球的是九毫米。若一个天体真的塌到这个尺度以内，就没有任何信号能出来——那是黑洞的边界。
u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y = − 1 ρ d p d x + ν ∂ 2 u ∂ y 2 ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0 \begin{aligned} u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} &= -\frac{1}{\rho}\frac{dp}{dx} + \nu\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} \\ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} &= 0 \end{aligned} u ∂ x ∂ u + v ∂ y ∂ u ∂ x ∂ u + ∂ y ∂ v = − ρ 1 d x d p + ν ∂ y 2 ∂ 2 u = 0 这是把纳维-斯托克斯方程「按薄层」砍过一刀的样子。x x x y y y y y y
δ L ∼ 1 R e , R e = U L ν \frac{\delta}{L} \sim \frac{1}{\sqrt{Re}}, \qquad Re = \frac{UL}{\nu} L δ ∼ R e 1 , R e = ν U L 边界层的厚度 δ \delta δ L L L
C D , i = C L 2 π Λ C_{D,i} = \frac{C_{L}^{2}}{\pi \Lambda} C D , i = π Λ C L 2 有限长的机翼在翼尖甩出一对尾涡，把身后的空气往下压，升力方向随之向后偏一点，多出来的那一小分量就是诱导阻力。普朗特 1918—1919 年的升力线理论证明：升力沿翼展呈椭圆分布时诱导阻力最小，等于升力系数 C L C_L C L π \pi π Λ \Lambda Λ
τ t = ρ l 2 ∣ d u ˉ d y ∣ d u ˉ d y \tau_{t} = \rho\, l^{2} \left|\frac{d\bar{u}}{dy}\right| \frac{d\bar{u}}{dy} τ t = ρ l 2 d y d u ˉ d y d u ˉ 1925 年他给湍流造的第一个能算的模型。湍流里一团流体会带着自己的速度窜出一段距离 l l l τ t \tau_t τ t l l l
P r = ν α = c p μ k Pr = \frac{\nu}{\alpha} = \frac{c_{p}\,\mu}{k} P r = α ν = k c p μ 动量扩散得快还是热量扩散得快，比一比运动黏度 ν \nu ν α \alpha α
E = Δ m c 2 E = \Delta m\,c^2 E = Δ m c 2 铀核裂成两半后，碎片的总质量比原来少了约五分之一个质子那么多。1938 年圣诞，迈特纳在雪地里用这条公式把「少掉的质量」换算成能量，得到约 2 亿电子伏特——比任何化学反应大上千万倍。这就是核能的全部秘密。
235 U + n → 141 B a + 92 K r + 3 n {}^{235}\mathrm{U} + n \rightarrow {}^{141}\mathrm{Ba} + {}^{92}\mathrm{Kr} + 3n 235 U + n → 141 Ba + 92 Kr + 3 n 一个中子撞进铀核，铀核裂成钡和氪两块，同时甩出两三个新中子。哈恩在实验室里找到的正是式子右边那个「钡」——化学证据摆在眼前，却要靠迈特纳才说得清它意味着什么。而多出来的那几个中子，正是链式反应的火种。
质量本身就是被封存的巨大能量——一克物质里蕴含的能量足以让一座城市明亮一晚。
G μ ν + Λ g μ ν = 8 π G c 4 T μ ν G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} G μν + Λ g μν = c 4 8 π G T μν 物质告诉时空如何弯曲，弯曲的时空告诉物质如何运动。
E k = h ν − W E_k = h\nu - W E k = h ν − W 光是一份一份的能量包，每一份的能量只由频率决定——量子革命由此打开大门。
92 235 U + 0 1 n → 56 141 B a + 36 92 K r + 3 0 1 n ^{235}_{92}\mathrm{U} + ^{1}_{0}\mathrm{n} \rightarrow ^{141}_{56}\mathrm{Ba} + ^{92}_{36}\mathrm{Kr} + 3\,^{1}_{0}\mathrm{n} 92 235 U + 0 1 n → 56 141 Ba + 36 92 Kr + 3 0 1 n 哈恩与斯特拉斯曼在铀被中子轰击后的产物里，用化学方法确认了钡——一种只有铀一半重的元素。核不是被削掉一角，是被劈成了两半。
Δ E ≈ 200 M e V \Delta E \approx 200\ \mathrm{MeV} Δ E ≈ 200 MeV 一次普通化学反应放出的能量以电子伏计，一次铀核裂变放出两亿电子伏——差了将近一亿倍。这个数字是迈特纳和弗里施在雪地里算出来的。
a ⋅ ( s − s 0 ) = h λ b ⋅ ( s − s 0 ) = k λ c ⋅ ( s − s 0 ) = l λ \begin{aligned} \mathbf{a}\cdot(\mathbf{s}-\mathbf{s}_0) &= h\lambda \\ \mathbf{b}\cdot(\mathbf{s}-\mathbf{s}_0) &= k\lambda \\ \mathbf{c}\cdot(\mathbf{s}-\mathbf{s}_0) &= l\lambda \end{aligned} a ⋅ ( s − s 0 ) b ⋅ ( s − s 0 ) c ⋅ ( s − s 0 ) = hλ = k λ = l λ s 0 \mathbf{s}_0 s 0 s \mathbf{s} s a \mathbf{a} a b \mathbf{b} b c \mathbf{c} c ( h , k , l ) (h,k,l) ( h , k , l )
v = c / n + u 1 + u / ( n c ) ≈ c n + u ( 1 − 1 n 2 ) v = \frac{c/n + u}{1 + u/(nc)} \approx \frac{c}{n} + u\left(1 - \frac{1}{n^{2}}\right) v = 1 + u / ( n c ) c / n + u ≈ n c + u ( 1 − n 2 1 ) 1851 年斐佐测出流动的水会「带着」光走，但只带走一部分，系数恰好是 1 − 1 / n 2 1 - 1/n^2 1 − 1/ n 2
d ⟨ x ⟩ d t = ⟨ p ⟩ m d ⟨ p ⟩ d t = − ⟨ ∂ V ∂ x ⟩ \begin{aligned} \frac{d\langle x\rangle}{dt} &= \frac{\langle p\rangle}{m} \\ \frac{d\langle p\rangle}{dt} &= -\left\langle \frac{\partial V}{\partial x}\right\rangle \end{aligned} d t d ⟨ x ⟩ d t d ⟨ p ⟩ = m ⟨ p ⟩ = − ⟨ ∂ x ∂ V ⟩ 量子力学里位置与动量的期望值，随时间的变化与牛顿力学的形式一模一样。当波包足够窄、力在波包尺度上几乎不变时，右边可以换成 − ∂ V / ∂ x -\partial V/\partial x − ∂ V / ∂ x ⟨ x ⟩ \langle x\rangle ⟨ x ⟩
J = ∮ p d q = n h J = \oint p\,dq = nh J = ∮ p d q = nh 把一个周期系统的参数缓慢改变（如慢慢缩短单摆的摆线），能量会变，但作用量 J J J E / ν E/\nu E / ν
⟨ T n ⟩ = 2 2 N ( 2 N n ) \langle T_n \rangle = \frac{2^{2N}}{\binom{2N}{n}} ⟨ T n ⟩ = ( n 2 N ) 2 2 N 2 N 2N 2 N n n n ⟨ T n ⟩ \langle T_n\rangle ⟨ T n ⟩ 1.3 × 10 30 1.3\times10^{30} 1.3 × 1 0 30 4 × 10 22 4\times10^{22} 4 × 1 0 22
d p d T = Δ c p T v Δ α = Δ α Δ κ T \frac{dp}{dT} = \frac{\Delta c_p}{T v\,\Delta\alpha} = \frac{\Delta\alpha}{\Delta\kappa_T} d T d p = T v Δ α Δ c p = Δ κ T Δ α 冰化成水时体积和熵都跳变，这是一级相变；有些相变体积与熵连续，跳变的是比热 c p c_p c p α \alpha α κ T \kappa_T κ T
波函数本身不是可以摸到的实在，它的模平方才有意义——那是你在此处找到粒子的概率。量子力学不预言结果，只预言几率，而这几率准得惊人。
p q − q p = h 2 π i pq - qp = \frac{h}{2\pi i} pq − q p = 2 π i h 在量子世界里，先测位置再测动量，与先测动量再测位置，结果不一样——差值恰好由普朗克常数决定。这行公式刻在玻恩的墓碑上。
θ = 4 G M c 2 R = 1.75 ′ ′ \theta = \frac{4GM}{c^2 R} = 1.75'' θ = c 2 R 4 GM = 1.7 5 ′′ 广义相对论预言的偏折角是牛顿引力预言值的两倍。1919 年日食观测测到的正是这个两倍值，牛顿理论由此第一次被观测直接否定。
L E d d = 4 π G M m p c σ T L_{\mathrm{Edd}} = \frac{4\pi G M m_p c}{\sigma_T} L Edd = σ T 4 π GM m p c 一个天体的辐射压不能超过自身引力，否则外层会被吹散。这条上限决定了黑洞吞噬物质的最快速率，也是判断类星体质量的基本工具。
e Δ U = h ν , Δ U ≈ 4.9 V e\,\Delta U = h\nu, \qquad \Delta U \approx 4.9\ \mathrm{V} e Δ U = h ν , Δ U ≈ 4.9 V 电子穿过汞蒸气，加速电压每升高约 4.9 伏，收集到的电流就骤降一次。电子能量不够 4.9 电子伏时只做弹性碰撞，几乎不丢能量；一够，就一次交出整整一份。弗兰克与赫兹 1914 年把这个数当成汞的电离电压，后来才认出它是把原子从基态抬到第一激发态的能量。
λ = h c e Δ U ≈ 253.7 n m \lambda = \frac{hc}{e\,\Delta U} \approx 253.7\ \mathrm{nm} λ = e Δ U h c ≈ 253.7 nm 如果电子交出的那份能量又以光的形式放回来，波长就该由这个式子算出。1914 年 5 月的第二篇论文里，用 4.9 电子伏的电子轰击汞蒸气，光谱里果然只出现 2537 埃这一条紫外线。
I v ′ ← v ′ ′ ∝ ∣ ∫ χ v ′ ∗ ( R ) χ v ′ ′ ( R ) d R ∣ 2 I_{v' \leftarrow v''} \propto \left| \int \chi_{v'}^{*}(R)\,\chi_{v''}(R)\,\mathrm{d}R \right|^{2} I v ′ ← v ′′ ∝ ∫ χ v ′ ∗ ( R ) χ v ′′ ( R ) d R 2 电子跃迁快得原子核来不及挪动，所以分子在跃迁前后核间距 R R R χ \chi χ
log λ = A log R + B \log \lambda = A \log R + B log λ = A log R + B λ \lambda λ R R R A A A B B B
N 偶然 = 2 τ N 1 N 2 N_{\text{偶然}} = 2\,\tau\, N_1 N_2 N 偶然 = 2 τ N 1 N 2 两台计数器，各自的计数率是 N 1 N_1 N 1 N 2 N_2 N 2 τ \tau τ
连续对称性 ⟹ 守恒量 \text{连续对称性} \;\Longrightarrow\; \text{守恒量} 连续对称性 ⟹ 守恒量 定律在某种连续变换下保持不变，就必然有一个量永远不变。时间平移对称给出能量守恒，空间平移对称给出动量守恒，旋转对称给出角动量守恒——三条中学就在背的守恒律，原来是同一条定理的三个侧面。
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ q ˙ i δ q i − L δ t ) = 0 \frac{d}{dt}\left(\sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\,\delta q_i - L\,\delta t\right) = 0 d t d ( i ∑ ∂ q ˙ i ∂ L δ q i − L δ t ) = 0 括号里那一坨，就是对称性「兑换」出来的守恒量；d/dt 等于零，意思是它随时间纹丝不动。把 δq 取成平移，括号里出现的正是动量；把 δt 取成时间平移，出现的正是能量。
∂ μ j μ = 0 \partial_{\mu} j^{\mu} = 0 ∂ μ j μ = 0 场论里的写法：对称性给出一股「流」，它既不凭空产生也不凭空消失，于是流出去多少就必然从别处流回来多少——电荷守恒就是这么来的。
C V → 12 π 4 5 N k ( T Θ D ) 3 C_{V} \to \frac{12\pi^{4}}{5}Nk\left(\frac{T}{\Theta_{D}}\right)^{3} C V → 5 12 π 4 N k ( Θ D T ) 3 爱因斯坦 1907 年假定晶体里每个原子以同一频率独立振动，低温下比热按指数衰减——掉得比实验快得多。德拜 1912 年改成整块晶体的弹性波，并在某个频率上截断（因为 N N N 3 N 3N 3 N T 3 T^{3} T 3 Θ D \Theta_D Θ D
ϕ ( r ) = q 4 π ε r e − r / λ D λ D = ε k B T ∑ i n i q i 2 \begin{gathered} \phi(r) = \frac{q}{4\pi\varepsilon r}\,e^{-r/\lambda_{D}} \\ \lambda_{D} = \sqrt{\frac{\varepsilon k_{B}T}{\sum_{i} n_{i}q_{i}^{2}}} \end{gathered} ϕ ( r ) = 4 π ε r q e − r / λ D λ D = ∑ i n i q i 2 ε k B T 把一个离子放进电解质溶液，异号离子会聚到它周围形成一层云，把它的电场遮住。库仑势原本按 1 / r 1/r 1/ r λ D \lambda_D λ D
ε ( ω ) = ε ∞ + ε s − ε ∞ 1 + i ω τ \varepsilon(\omega) = \varepsilon_{\infty} + \frac{\varepsilon_{s} - \varepsilon_{\infty}}{1 + i\omega\tau} ε ( ω ) = ε ∞ + 1 + iω τ ε s − ε ∞ 极性分子在交变电场里要不停地转身。场变得慢时它跟得上，介电常数是静态值 ε s \varepsilon_s ε s τ \tau τ
D = K λ β cos θ D = \frac{K\lambda}{\beta\cos\theta} D = β cos θ K λ 劳厄与布拉格的方法要先长出一块像样的单晶，而大多数材料只能弄到粉末。德拜与谢乐 1916 年证明粉末照样可以做：无数随机取向的小晶粒里总有一部分恰好满足衍射条件，底片上出现的不是斑点而是同心圆环。更进一步，环的宽度 β \beta β
E n = − 13.6 e V n 2 E_n = -\frac{13.6\,\mathrm{eV}}{n^2} E n = − n 2 13.6 eV 氢原子里的电子只能待在一串编了号的「楼层」上，每层能量由整数 n 决定——光谱线就是电子在楼层之间跳上跳下时开出的收据。
h ν = E m − E n h\nu = E_m - E_n h ν = E m − E n 电子从高能级跳到低能级时，把能量差一次性打包成一份光——光的频率不由轨道运动决定，只由两层之间的落差决定。
ψ → e i α ( x ) ψ , A μ → A μ − 1 e ∂ μ α \psi \to e^{i\alpha(x)}\psi, \qquad A_\mu \to A_\mu - \frac{1}{e}\partial_\mu\alpha ψ → e i α ( x ) ψ , A μ → A μ − e 1 ∂ μ α 电子波函数的相位在时空每一点可以独立地重新选取，物理不受影响——前提是电磁势按第二式同步改一下。1929 年外尔证明，反过来说也成立：只要求这种自由，电磁场就必须存在，而且必须满足麦克斯韦方程。相互作用不再是加进理论里的，而是被对称性逼出来的。
i σ μ ∂ μ ψ = 0 i\,\sigma^\mu \partial_\mu \psi = 0 i σ μ ∂ μ ψ = 0 狄拉克方程描述有质量的电子，需要四个分量。外尔发现，如果质量为零，方程会裂成两个互不相干的两分量方程，分别描述左旋和右旋的粒子——手性成了一个绝对的标签。当年没有已知粒子符合它；1998 年中微子被证实有质量，最后一个候选也出局了。八十六年后它在晶体里以准粒子的形式出现。
e U 1 = h ν = E 1 − E 0 e\,U_1 = h\nu = E_1 - E_0 e U 1 = h ν = E 1 − E 0 电子要把原子从基态 E 0 E_0 E 0 E 1 E_1 E 1 U 1 U_1 U 1 U 1 U_1 U 1
e U i = h c T 0 e\,U_{\mathrm{i}} = h c\,T_0 e U i = h c T 0 按玻尔理论，各条谱线系最终收敛到同一个极限，那对应电子被完全剥离的状态。于是电离所需的能量就等于基态的光谱项 T 0 T_0 T 0 h c hc h c
v ˉ 20 v ˉ 22 = 22 20 ≈ 1.049 \frac{\bar v_{20}}{\bar v_{22}} = \sqrt{\frac{22}{20}} \approx 1.049 v ˉ 22 v ˉ 20 = 20 22 ≈ 1.049 同温下气体分子的平均速率与质量的平方根成反比，所以氖-20 比氖-22 快不到 5%，扩散过多孔壁时略占先。一级只能富集一点点；1932 年赫兹把许多级扩散单元串成级联，一级的产物送进下一级，首次把氖的两种同位素分开到可观的程度。
ν K α = 3 4 ν 0 ( N − 1 ) 2 \nu_{K\alpha} = \frac{3}{4}\,\nu_0\,(N-1)^2 ν K α = 4 3 ν 0 ( N − 1 ) 2 元素最强那条 K 系 X 射线的频率 ν \nu ν ν 0 \nu_0 ν 0
ν = A ( N − b ) \sqrt{\nu} = \sqrt{A}\,(N - b) ν = A ( N − b ) 把每种元素某条谱线频率的平方根对 N N N A A A b b b b b b
3 4 = 1 1 2 − 1 2 2 \frac{3}{4} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} 4 3 = 1 2 1 − 2 2 1 玻尔模型里，电子从第 2 定态落到第 1 定态放出的频率正比于这个差。莫塞莱实测出来的系数恰好就是它——他在 1913 年的论文里称这一吻合「值得注意」，因为 X 射线与氢的可见光谱波长相差约两千倍
n λ = 2 d sin θ n\lambda = 2d\sin\theta nλ = 2 d sin θ 他用一块亚铁氰化钾晶体当光栅，按布拉格父子的反射条件由掠射角 θ \theta θ λ \lambda λ d d d 8.454 × 10 − 8 8.454\times10^{-8} 8.454 × 1 0 − 8
i ℏ ∂ ∂ t Ψ = H ^ Ψ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi = \hat{H}\Psi i ℏ ∂ t ∂ Ψ = H ^ Ψ 波函数是一张关于「可能性」的地图，这条方程规定了地图如何随时间流动——微观世界的牛顿第二定律。
( a ˙ a ) 2 = 8 π G 3 ρ − k c 2 a 2 + Λ c 2 3 \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^{2} = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{kc^{2}}{a^{2}} + \frac{\Lambda c^{2}}{3} ( a a ˙ ) 2 = 3 8 π G ρ − a 2 k c 2 + 3 Λ c 2 宇宙的尺度因子 a 怎样随时间变化，由物质密度、空间曲率与宇宙常数三项决定。今天全部宇宙学模型都从这一条出发。
k = + 1 , 0 , − 1 k = +1,\ 0,\ -1 k = + 1 , 0 , − 1 空间曲率为正、零或负，对应宇宙最终收缩、恰好停在临界、或永远膨胀。弗里德曼 1922 年算了正曲率，1924 年补上负曲率。
ν ~ 散射 = ν ~ 0 ± ν ~ 振动 \tilde{\nu}_{\text{散射}} = \tilde{\nu}_0 \pm \tilde{\nu}_{\text{振动}} ν ~ 散射 = ν ~ 0 ± ν ~ 振动 散射光的波数不再等于入射光，而是差出分子自己的一个振动波数。减的那一支叫斯托克斯线，加的那一支叫反斯托克斯线。关键在于这个差值与照进去的是什么光完全无关，只由分子决定——换一盏灯，谱线跟着挪，间距纹丝不动。分子由此有了指纹。
p = α E 0 cos ω 0 t , α = α 0 + ( ∂ α ∂ q ) 0 q 0 cos ω v t ⇒ ω 0 , ω 0 − ω v , ω 0 + ω v \begin{aligned} p &= \alpha E_0\cos\omega_0 t, \qquad \alpha = \alpha_0 + \left(\frac{\partial \alpha}{\partial q}\right)_0 q_0\cos\omega_v t \\ \Rightarrow\ & \quad \omega_0, \qquad \omega_0 - \omega_v, \qquad \omega_0 + \omega_v \end{aligned} p ⇒ = α E 0 cos ω 0 t , α = α 0 + ( ∂ q ∂ α ) 0 q 0 cos ω v t ω 0 , ω 0 − ω v , ω 0 + ω v 光的电场把分子的电子云拉成一个来回振荡的偶极子；而分子自己还在以频率 ω v \omega_v ω v ∂ α / ∂ q \partial \alpha/\partial q ∂ α / ∂ q
I 反斯托克斯 I 斯托克斯 ≈ ( ν ~ 0 + ν ~ v ν ~ 0 − ν ~ v ) 4 e − h c ν ~ v / k B T \frac{I_{\text{反斯托克斯}}}{I_{\text{斯托克斯}}} \approx \left(\frac{\tilde{\nu}_0 + \tilde{\nu}_v}{\tilde{\nu}_0 - \tilde{\nu}_v}\right)^{4} e^{-hc\tilde{\nu}_v / k_{\mathrm{B}} T} I 斯托克斯 I 反斯托克斯 ≈ ( ν ~ 0 − ν ~ v ν ~ 0 + ν ~ v ) 4 e − h c ν ~ v / k B T 反斯托克斯线要求分子事先就待在振动激发态上，而常温下这样的分子只占一个玻尔兹曼因子那么少，所以这一支总是暗得多。反过来读，这个比值只由温度决定——今天隔着几十米测火焰温度、测发动机燃烧室里的温度分布，用的就是这一条。
sin θ m = m λ Λ , m = 0 , ± 1 , ± 2 , … \sin\theta_m = m\,\frac{\lambda}{\Lambda}, \qquad m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots sin θ m = m Λ λ , m = 0 , ± 1 , ± 2 , … 超声波在液体里压出一排疏密相间的条纹，等于给光现做了一张以声速行进的光栅。光穿过去被分成一级级衍射斑，第 m m m m m m
F z = μ z ∂ B z ∂ z F_z = \mu_z \frac{\partial B_z}{\partial z} F z = μ z ∂ z ∂ B z 均匀磁场只会让磁矩转动，不产生位移；有梯度的磁场才会把它推开，推力正比于磁矩在梯度方向上的投影。所以屏上的落点直接读出了这个投影是连续的还是分立的。
一个星系离我们越远，退行得越快，而且是严格成正比。这不是星系在空间里四散奔逃，而是空间本身在被拉长。
t H = 1 H 0 t_H = \frac{1}{H_0} t H = H 0 1 把膨胀倒放回去，所有星系汇聚到一点所需的时间——这是宇宙年龄的第一个粗略估计，也是「宇宙有开端」这个念头的第一个数字。
n λ = 2 d sin θ n\lambda = 2d\sin\theta nλ = 2 d sin θ 把晶体看成一叠原子平面，X 射线在相邻两层上反射，光程差是 2d·sinθ。只有当它等于波长的整数倍时反射才互相加强。于是从斑点的角度可以直接反推出原子平面之间的距离。
4 9 B e + 2 4 H e → 6 12 C + 0 1 n ^{9}_{4}\mathrm{Be} + ^{4}_{2}\mathrm{He} \rightarrow ^{12}_{6}\mathrm{C} + ^{1}_{0}\mathrm{n} 4 9 Be + 2 4 He → 6 12 C + 0 1 n 查德威克用钋放出的 α 粒子打铍，打出一种不带电、穿透力极强的东西。它不是伽马射线，是一颗质量与质子相当的中性粒子。
m n ≈ 1.0087 u m_{\mathrm{n}} \approx 1.0087\ \mathrm{u} m n ≈ 1.0087 u 略重于质子。正因为它不带电，飞进原子核时不会被正电荷推开——这一点后来决定了核裂变与核反应堆是否可能。
λ ′ − λ = h m e c ( 1 − cos θ ) \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta) λ ′ − λ = m e c h ( 1 − cos θ ) 散射后 X 射线的波长变长，变长多少只取决于散射角度，与入射波长和靶材料都无关。波动说完全解释不了波长为什么会变——只有把光当成带动量的粒子去撞电子，才算得出来。
λ C = h m e c = 2.43 × 10 − 12 m \lambda_C = \frac{h}{m_e c} = 2.43\times10^{-12}\ \mathrm{m} λ C = m e c h = 2.43 × 1 0 − 12 m 公式里那个常数组合，是电子的一个基本长度尺度。它后来在量子场论里反复出现——在比它更小的尺度上谈论「单个电子的位置」已不再有意义。
λ = h p \lambda = \frac{h}{p} λ = p h 一切运动的物质都伴随一列波，波长等于普朗克常数除以动量——棒球的波长小到无从察觉，而电子的波长恰与原子间距相当，于是晶体成了它的天然光栅。
n i = 1 e ( ε i − μ ) / k B T − 1 n_i = \frac{1}{e^{(\varepsilon_i - \mu)/k_B T} - 1} n i = e ( ε i − μ ) / k B T − 1 1 与费米子不同，同一量子态里可以同时容纳任意多个玻色子。光子、原子等整数自旋粒子都按这条分布排队——它是玻色-爱因斯坦凝聚与激光理论共同的统计学底座。
η → 0 ( T < T λ = 2.17 K ) \eta \to 0 \quad (T < T_\lambda = 2.17\,\mathrm{K}) η → 0 ( T < T λ = 2.17 K ) 液氦降到 2.17 K 以下，粘滞突然趋向于零：它能钻过比头发丝还细得多的缝隙，甚至沿杯壁自己爬出去。卡皮察用一系列巧妙的实验把这一条写成了铁一般的事实。
α ( ν ) ∝ ∑ a f a ν a 2 − ν 2 − ∑ e f e ν e 2 − ν 2 \alpha(\nu) \propto \sum_{a} \frac{f_a}{\nu_a^2 - \nu^2} - \sum_{e} \frac{f_e}{\nu_e^2 - \nu^2} α ( ν ) ∝ a ∑ ν a 2 − ν 2 f a − e ∑ ν e 2 − ν 2 f e 原子对频率为 ν \nu ν a a a e e e
∮ p d q = ( n + 1 2 ) h \oint p\,dq = \left(n + \tfrac{1}{2}\right) h ∮ p d q = ( n + 2 1 ) h 旧量子论要求作用量是 h h h 1 2 \tfrac12 2 1
χ ′ ( ω ) = 1 π P ∫ − ∞ ∞ χ ′ ′ ( ω ′ ) ω ′ − ω d ω ′ \chi'(\omega) = \frac{1}{\pi}\,\mathcal{P}\!\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\chi''(\omega')}{\omega' - \omega}\,d\omega' χ ′ ( ω ) = π 1 P ∫ − ∞ ∞ ω ′ − ω χ ′′ ( ω ′ ) d ω ′ 介质的折射（实部 χ ′ \chi' χ ′ χ ′ ′ \chi'' χ ′′
sinh 2 J k B T c = 1 \sinh\frac{2J}{k_B T_c} = 1 sinh k B T c 2 J = 1 二维伊辛模型的高温展开与低温展开可以一一对上；若相变只有一个，它就只能落在两者重合的「自对偶点」，由此在精确解出现之前三年就定出了居里温度。
勒梅特 1927 年就从广义相对论推出了这条关系，并用当时的观测数据估出了系数，比哈勃 1929 年的论文早两年。2018 年国际天文联合会把它更名为「哈勃-勒梅特定律」。
( a ˙ a ) 2 = 8 π G 3 ρ − k c 2 a 2 + Λ c 2 3 \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^{2} = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{k c^{2}}{a^{2}} + \frac{\Lambda c^{2}}{3} ( a a ˙ ) 2 = 3 8 π G ρ − a 2 k c 2 + 3 Λ c 2 描述宇宙尺度因子怎样随时间变化。爱因斯坦当初加进宇宙常数 Λ 是为了让宇宙静止；勒梅特指出这个静止解不稳定，宇宙只能膨胀或收缩。
H = ∑ q ℏ ω q ( b q † b q + 1 2 ) H = \sum_{\mathbf q} \hbar\omega_{\mathbf q}\left(b^\dagger_{\mathbf q} b_{\mathbf q} + \frac{1}{2}\right) H = q ∑ ℏ ω q ( b q † b q + 2 1 ) 1930 年塔姆仿照海森堡与泡利量子化电磁场的办法，把晶体里所有原子的集体振动量子化：每一种振动模式 q \mathbf q q ℏ ω q \hbar\omega_{\mathbf q} ℏ ω q
d W d x = e 2 c 2 ∫ β n ( ω ) > 1 ω ( 1 − 1 β 2 n 2 ( ω ) ) d ω \frac{dW}{dx} = \frac{e^2}{c^2}\int_{\beta n(\omega) > 1} \omega \left(1 - \frac{1}{\beta^2 n^2(\omega)}\right) d\omega d x d W = c 2 e 2 ∫ β n ( ω ) > 1 ω ( 1 − β 2 n 2 ( ω ) 1 ) d ω 带电粒子以 v = β c v = \beta c v = β c n ( ω ) n(\omega) n ( ω ) β n > 1 \beta n > 1 β n > 1 ω \omega ω n n n
V ( r ) = − a r 5 , a ∝ g 2 V(r) = -\frac{a}{r^5}, \qquad a \propto g^2 V ( r ) = − r 5 a , a ∝ g 2 1934 年费米的 β 衰变理论刚发表，塔姆就设想质子与中子靠交换一对电子-中微子而互相吸引，算出的势随距离的五次方衰减，系数正比于 β 衰变耦合常数 g g g
Δ E Δ t A ≥ ℏ 2 , Δ t A = Δ A ∣ d ⟨ A ⟩ / d t ∣ \Delta E \, \Delta t_A \geq \frac{\hbar}{2}, \qquad \Delta t_A = \frac{\Delta A}{\left| d\langle A\rangle / dt \right|} Δ E Δ t A ≥ 2 ℏ , Δ t A = ∣ d ⟨ A ⟩ / d t ∣ Δ A 位置与动量的不确定关系出自对易子，能量与时间的却一直只靠思想实验。1945 年塔姆与曼德尔施塔姆给了它一个严格的含义：Δ t A \Delta t_A Δ t A A A A
3 7 L i + 1 1 H → 2 4 H e + 2 4 H e {}^{7}_{3}\mathrm{Li} + {}^{1}_{1}\mathrm{H} \to {}^{4}_{2}\mathrm{He} + {}^{4}_{2}\mathrm{He} 3 7 Li + 1 1 H → 2 4 He + 2 4 He 1932 年他们看到的反应：锂 7 吞下一个质子，碎成两个 α 粒子，背对背飞出。两块硫化锌屏、两个人各按一个键，就能看出闪烁成对出现。每个 α 粒子约 8.6 MeV，一次反应共放出约 17.2 MeV，而打进去的质子只有十几万电子伏。
Δ m = ( 7.0104 + 1.0072 ) − 8.0022 = 0.0154 u \begin{aligned} \Delta m &= (7.0104 + 1.0072) - 8.0022 \\ &= 0.0154\ \mathrm{u} \end{aligned} Δ m = ( 7.0104 + 1.0072 ) − 8.0022 = 0.0154 u 反应前锂与氢的质量和，减去两个氦核的质量，少了一点点。按 Δ E = Δ m c 2 \Delta E = \Delta m\, c^2 Δ E = Δ m c 2
P ∼ exp ( − 2 π Z 1 Z 2 e 2 4 π ε 0 ℏ v ) P \sim \exp\left(-\frac{2\pi Z_1 Z_2 e^2}{4\pi\varepsilon_0\, \hbar v}\right) P ∼ exp ( − 4 π ε 0 ℏ v 2 π Z 1 Z 2 e 2 ) 带电粒子穿过库仑势垒的概率。它随速度 v v v Z Z Z Z = 3 Z=3 Z = 3 Z = 5 Z=5 Z = 5
13 27 A l + 2 4 H e → 15 30 P + 0 1 n \begin{aligned} &{}^{27}_{13}\mathrm{Al} + {}^{4}_{2}\mathrm{He} \\ &\quad \to {}^{30}_{15}\mathrm{P} + {}^{1}_{0}\mathrm{n} \end{aligned} 13 27 Al + 2 4 He → 15 30 P + 0 1 n 钋放出的 α 粒子钻进铝核，放出一个中子，留下一颗自然界没有的磷-30。这是 1934 年那篇论文的核心反应——反应本身一瞬间就完成，新鲜的是留下来的东西。
15 30 P → 14 30 S i + e + {}^{30}_{15}\mathrm{P} \to {}^{30}_{14}\mathrm{Si} + e^{+} 15 30 P → 14 30 Si + e + 磷-30 不稳定，会放出一个正电子变成硅。源撤走以后计数器还在响，响的就是这一步。今天的写法还要在右边补一个中微子，1934 年的原文里没有它。
N ( t ) = N 0 e − t ln 2 / T 1 / 2 N(t) = N_0\, e^{-t\ln 2 / T_{1/2}} N ( t ) = N 0 e − t l n 2/ T 1/2 他们在铝上量到的计数每约三分钟减半（原文先写 3 分 15 秒、后改 3 分 30 秒）。周期不随 α 粒子能量改变——这说明它是一种真正的放射性，而不是轰击时的瞬间反应。
γ → e − + e + , E γ ≥ 2 m e c 2 \gamma \to e^{-} + e^{+}, \quad E_\gamma \geq 2m_e c^2 γ → e − + e + , E γ ≥ 2 m e c 2 1933 年他们在云室里看到，硬 γ 光子在铅核附近变成一对电子和正电子，两条径迹从同一点出发。光子能量至少要有两个电子的静能，约 1.02 1.02 1.02
P ( t ) = ω 1 2 ω 1 2 + Δ 2 sin 2 ( ω 1 2 + Δ 2 2 t ) P(t) = \frac{\omega_1^{2}}{\omega_1^{2} + \Delta^{2}}\, \sin^{2}\!\left( \frac{\sqrt{\omega_1^{2} + \Delta^{2}}}{2}\, t \right) P ( t ) = ω 1 2 + Δ 2 ω 1 2 sin 2 ( 2 ω 1 2 + Δ 2 t ) 给一个两能级系统加上射频场，它不会「跳一次就完」，而是在两个态之间来回翻，翻转频率由射频强度 ω 1 \omega_1 ω 1 Δ \Delta Δ Δ = 0 \Delta = 0 Δ = 0
h ν res = Δ E = g I μ N B h\nu_{\text{res}} = \Delta E = g_I\, \mu_N B h ν res = Δ E = g I μ N B 分子束穿过不均匀磁场会被偏转，拉比在中途加了一段射频场：当 h ν h\nu h ν g I g_I g I
W = k T ln 2 W = kT\ln 2 W = k T ln 2 温度为 T T T k T ln 2 kT\ln 2 k T ln 2
e − S 1 / k + e − S 2 / k ≤ 1 e^{-S_1/k} + e^{-S_2/k} \le 1 e − S 1 / k + e − S 2 / k ≤ 1 测量有两种结果，分别伴随熵产生 S 1 S_1 S 1 S 2 S_2 S 2 S = k ln 2 S = k\ln 2 S = k ln 2
N n = N 0 k n N_n = N_0\,k^{\,n} N n = N 0 k n 每个中子引发一次反应、平均放出 k k k n n n N 0 k n N_0 k^n N 0 k n k > 1 k>1 k > 1 k < 1 k<1 k < 1 k = 1 k=1 k = 1
μ = D = F V \mu = D = \frac{F}{V} μ = D = V F 以流量 F F F V V V μ \mu μ D D D
⟨ v 2 ⟩ = G M R ⇒ M ≫ M 可见 \langle v^2 \rangle = \frac{GM}{R} \Rightarrow M \gg M_{\text{可见}} ⟨ v 2 ⟩ = R GM ⇒ M ≫ M 可见 后发座星系团里成员星系跑得太快，靠看得见的物质根本拉不住。兹威基 1933 年由此算出团里必须有大量不发光的物质，并给它起名「暗物质」。
E 超新星 ∼ 10 44 J E_{\text{超新星}} \sim 10^{44}\ \mathrm{J} E 超新星 ∼ 1 0 44 J 一次爆发放出的能量相当于太阳一生辐射的总和。兹威基与巴德 1934 年提出，这是普通恒星塌缩成中子星时释放的引力能——那时中子被发现才两年。
30 P + 3 H → 30 P H 3 ↑ \mathrm{{}^{30}P} + 3\,\mathrm{H} \to \mathrm{{}^{30}PH_3} \uparrow 30 P + 3 H → 30 P H 3 ↑ 把照过的铝箔丢进盐酸，初生的氢把新生成的磷变成气态的磷化氢，放射性就随气体跑进收集管，铝却留在溶液里。一次只造出约十万个原子，称不出来，只能让化学替它作证。全套操作要在六分钟左右做完，因为三分钟就衰掉一半。
0 1 n + 92 235 U → X + Y + ν 0 1 n \begin{aligned} &{}^{1}_{0}\mathrm{n} + {}^{235}_{92}\mathrm{U} \\ &\quad \to \mathrm{X} + \mathrm{Y} + \nu\, {}^{1}_{0}\mathrm{n} \end{aligned} 0 1 n + 92 235 U → X + Y + ν 0 1 n 铀核被中子击碎成两块碎片 X、Y，同时再放出 ν \nu ν ν ≈ 3.5 \nu \approx 3.5 ν ≈ 3.5
N g = N 0 k g N_g = N_0\, k^{g} N g = N 0 k g k k k g g g k > 1 k>1 k > 1 k k k
ψ ( 1 , 2 ) = − ψ ( 2 , 1 ) \psi(1,2) = -\psi(2,1) ψ ( 1 , 2 ) = − ψ ( 2 , 1 ) 把两个一模一样的费米子互换位置，波函数就要变一次号。若它们硬要挤进同一个量子态，波函数便等于自己的负值——只能是零。「不相容」的禁令，就藏在这个负号里。
n i + 1 n e n i = 2 Z i + 1 Z i ( 2 π m e k T h 2 ) 3 / 2 e − χ / k T \frac{n_{i+1}n_e}{n_i} = \frac{2Z_{i+1}}{Z_i}\left(\frac{2\pi m_e kT}{h^2}\right)^{3/2} e^{-\chi/kT} n i n i + 1 n e = Z i 2 Z i + 1 ( h 2 2 π m e k T ) 3/2 e − χ / k T 一种元素有多少比例被电离，取决于温度与密度。佩恩第一个把它系统用到恒星光谱上——谱线的强弱主要反映的是温度，而不是元素的含量。
X ≈ 0.74 , Y ≈ 0.24 , Z ≈ 0.02 X \approx 0.74,\quad Y \approx 0.24,\quad Z \approx 0.02 X ≈ 0.74 , Y ≈ 0.24 , Z ≈ 0.02 按质量算，恒星约四分之三是氢、四分之一是氦，其余全部元素加起来只占百分之二。这个在 1925 年被认为荒谬的结论，今天是天体物理的基本常识。
f ( E ) = 1 e ( E − μ ) / k B T + 1 f(E) = \frac{1}{e^{(E-\mu)/k_B T} + 1} f ( E ) = e ( E − μ ) / k B T + 1 1 同一个量子态里，费米子最多只能待一个——这条分布律决定了电子如何填满原子、金属为何导电、白矮星为何撑住不再坍缩。
Δ x Δ p ≥ ℏ / 2 \Delta x \, \Delta p \geq \hbar/2 Δ x Δ p ≥ ℏ/2 把粒子的位置测得越准，它的动量就必然越模糊——这不是仪器不够好，而是自然允许我们知道的极限。
f = q B 2 π m f = \frac{qB}{2\pi m} f = 2 π m q B 带电粒子在磁场里转一圈所需的时间，与它的速度和轨道半径都无关。这个巧合是回旋加速器成立的全部理由——交变电压的频率一次调定，粒子越转越快、圈子越来越大，却始终踩在同一个节拍上。
α = ∂ I C ∂ I E ∣ V C ≳ 1 \alpha = \left.\frac{\partial I_C}{\partial I_E}\right|_{V_C} \ \gtrsim\ 1 α = ∂ I E ∂ I C V C ≳ 1 发射极触点往锗片表面下注入少数载流子，它们扩散过不到零点一毫米的距离，被另一根触点（集电极）收走。收走的电流与注入的电流之比就是 α \alpha α α \alpha α α \alpha α
V 表面 → 光照 Δ V ⇒ 表面态存在且带电 V_{\text{表面}} \ \xrightarrow{\ \text{光照}\ }\ \Delta V \ \Rightarrow\ \text{表面态存在且带电} V 表面 光照 Δ V ⇒ 表面态存在且带电 1947 年他与巴丁做的关键实验：往锗表面照一束光，激发出的载流子会改变表面上的电位差。测这个「表面光电势」随光强、温度怎么变，就能反推表面态的密度与能级位置——这是当时唯一能把「看不见的表面层」变成数字的办法。诊断清楚了，才知道该怎么绕过它。
I = I 0 e − μ x I = I_0\, e^{-\mu x} I = I 0 e − μx 伽马射线穿过厚度为 x x x μ \mu μ μ \mu μ
E γ ≥ 2 m e c 2 ≈ 1.02 MeV E_\gamma \ge 2m_ec^2 \approx 1.02\ \text{MeV} E γ ≥ 2 m e c 2 ≈ 1.02 MeV 光子能量超过两个电子的静能，就可能在原子核的电场旁变成一对正负电子。他用的钍 C″ 伽马射线约 2.6 MeV，远在阈值之上；核电荷越大这个过程越强，这正是铅「多吃掉」的那一块。1930 年还没人知道有这回事
e + + e − → 2 γ , E γ = m e c 2 ≈ 0.511 MeV e^+ + e^- \to 2\gamma,\qquad E_\gamma = m_ec^2 \approx 0.511\ \text{MeV} e + + e − → 2 γ , E γ = m e c 2 ≈ 0.511 MeV 产生出来的正电子很快在铅里遇上电子、一同湮灭，放出两个各 0.511 MeV 的光子，方向与入射射线无关。他从吸收曲线推出额外辐射的波长为 22.5 X 单位，折合约 0.55 MeV，而且各个方向强度几乎相同
λ ′ − λ = h m e c ( 1 − cos θ ) \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_ec}\,(1-\cos\theta) λ ′ − λ = m e c h ( 1 − cos θ ) 被核外电子散射的光子会变「软」，角度越大越软。4.7 X 单位的入射线在 135° 散射后应变成约 46 X 单位（约 0.27 MeV）；他在那里测到的额外辐射却只有 22.5 X 单位、强度是正常散射的三倍——所以他断定它不可能来自核外电子
( i γ μ ∂ μ − m ) ψ = 0 (i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi = 0 ( i γ μ ∂ μ − m ) ψ = 0 让量子力学与狭义相对论握手言和的方程——电子的自旋从中自动跳出，还预言了一整个由反物质构成的镜像世界。
p q − q p = h 2 π i 1 pq - qp = \frac{h}{2\pi i}\,\mathbf{1} pq − q p = 2 π i h 1 1925 年 9 月玻恩与约尔当合写的论文里第一次出现的式子：位置矩阵与动量矩阵交换顺序相乘，差的不是零，而是普朗克常数乘一个单位矩阵。玻恩猜出了它，约尔当证明它与运动方程自洽。
⟨ Δ E 2 ⟩ = h ν ⟨ E ⟩ + c 3 8 π ν 2 V d ν ⟨ E ⟩ 2 \begin{aligned}\langle \Delta E^2 \rangle &= h\nu\,\langle E \rangle \\ &\quad + \frac{c^3}{8\pi\nu^2 V\,d\nu}\,\langle E \rangle^2\end{aligned} ⟨ Δ E 2 ⟩ = h ν ⟨ E ⟩ + 8 π ν 2 V d ν c 3 ⟨ E ⟩ 2 空腔里一小块体积内辐射能量的涨落，一项像粒子、一项像波——这是爱因斯坦 1909 年摆出的「波粒二象性」难题。约尔当在「三人论文」里把电磁场当作一组量子化的振子，两项一起算了出来：这是量子场论的第一次亮相。
a i a j † + a j † a i = δ i j a_i a_j^{\dagger} + a_j^{\dagger} a_i = \delta_{ij} a i a j † + a j † a i = δ ij 1928 年约尔当与维格纳给出：描写电子的产生、湮灭算符不满足对易关系，而满足「反对易」关系。由此自动得到 ( a † ) 2 = 0 (a^{\dagger})^2 = 0 ( a † ) 2 = 0
A ∘ B = 1 2 ( A B + B A ) A \circ B = \tfrac{1}{2}(AB + BA) A ∘ B = 2 1 ( A B + B A ) 可观测量是厄米矩阵，但两个厄米矩阵的普通乘积一般不再厄米；取对称化的乘积就保住了这一点。约尔当想只用这种乘法重建量子力学，由此得到的非结合代数后来被称为约尔当代数，在数学里的用处远超物理。
当时的解释： 92 238 U + 0 1 n ⟶ 92 239 U → β − 93 239 Z 实际发生的： 92 235 U + 0 1 n ⟶ 56 139 B a + 36 95 K r + 2 0 1 n \begin{aligned} &\text{当时的解释：} \\ &\quad ^{238}_{92}\mathrm{U} + ^{1}_{0}\mathrm{n} \longrightarrow\ ^{239}_{92}\mathrm{U} \xrightarrow{\ \beta^-\ }\ ^{239}_{93}\mathrm{Z} \\ &\text{实际发生的：} \\ &\quad ^{235}_{92}\mathrm{U} + ^{1}_{0}\mathrm{n} \longrightarrow\ ^{139}_{56}\mathrm{Ba} + ^{95}_{36}\mathrm{Kr} + 2\,^{1}_{0}\mathrm{n} \end{aligned} 当时的解释： 92 238 U + 0 1 n ⟶ 92 239 U β − 93 239 Z 实际发生的： 92 235 U + 0 1 n ⟶ 56 139 Ba + 36 95 Kr + 2 0 1 n 上一行是 1934 至 1938 年间全欧洲的共识：中子被吸收，核变重，往下依次衰变成 93 号、94 号「超铀元素」。下一行是实验里真正发生的事——核裂成了两块，其中一块是原子序数只有 56 的钡。四年里没人往这个方向想，因为它意味着核可以被劈开。
( R a B a ) 晶体 = D ( R a B a ) 母液 , D > 1 \left(\frac{\mathrm{Ra}}{\mathrm{Ba}}\right)_{\text{晶体}} = D \left(\frac{\mathrm{Ra}}{\mathrm{Ba}}\right)_{\text{母液}}, \qquad D > 1 ( Ba Ra ) 晶体 = D ( Ba Ra ) 母液 , D > 1 镭与钡是同族，化学性质几乎一样，所以痕量的镭必须靠常量的钡「带」着才能操作——这正是当年把它们认混的原因。但两者并非完全一样：反复结晶时镭会一点点富集到晶体里（D > 1 D > 1 D > 1
P μ P μ = m 2 , W μ W μ = − m 2 s ( s + 1 ) P^\mu P_\mu = m^2, \qquad W^\mu W_\mu = -m^2 s(s+1) P μ P μ = m 2 , W μ W μ = − m 2 s ( s + 1 ) 1939 年他把庞加莱群（平移加洛伦兹变换）的所有不可约幺正表示找了出来，结果是：每一个表示由两个数标定，就是这两个不变量给出的质量 m m m s s s
∣ ⟨ U ψ ∣ U ϕ ⟩ ∣ = ∣ ⟨ ψ ∣ ϕ ⟩ ∣ |\langle U\psi\,|\,U\phi \rangle| = |\langle \psi\,|\,\phi \rangle| ∣ ⟨ U ψ ∣ U ϕ ⟩ ∣ = ∣ ⟨ ψ ∣ ϕ ⟩ ∣ 一个对称变换在量子力学里必须保持两个态之间的跃迁概率不变。维格纳证明，满足这一条的变换只可能是幺正的或反幺正的，没有第三种。这句话看着朴素，却是全部对称性论证的地基：正因为如此，对称性才总能写成算符、才能有守恒的生成元。时间反演是那个稀有的反幺正情形。
J i = ∑ j L i j X j , L i j = L j i J_i = \sum_j L_{ij} X_j,\qquad L_{ij} = L_{ji} J i = j ∑ L ij X j , L ij = L j i 温差能驱动电流，电压也能驱动热流——两种交叉效应的系数必然相等。这条对称性来自微观运动的时间反演不变性，把不可逆过程第一次纳入了可计算的框架。
sinh ( 2 J k T c ) = 1 \sinh\!\left(\frac{2J}{k T_c}\right) = 1 sinh ( k T c 2 J ) = 1 昂萨格 1944 年精确解出了这个模型，得到相变温度的闭式表达式。此前所有理论都只能做近似，而近似给出的临界指数是错的——真实的相变比人们以为的更奇特。
R ( v ) = M z 2 F ( v ) R(v) = \frac{M}{z^{2}}\,F(v) R ( v ) = z 2 M F ( v ) 带电粒子在乳胶里走多远，取决于它的速度 v v v M M M z z z
− d E d x ∝ z 2 v 2 -\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}x} \propto \frac{z^{2}}{v^{2}} − d x d E ∝ v 2 z 2 粒子越慢，一路上电离越多，乳胶显影后留下的银颗粒就越密；径迹尾端（快停下时）最粗。数一段径迹上的颗粒数，就知道粒子在那一段的速度，再配合剩余射程可以估出质量。1948 年他们正是用「数颗粒」给 π 与 μ 的质量比定了数。
⟨ θ ⟩ ∝ z p v t \langle\theta\rangle \propto \frac{z}{p\,v}\sqrt{t} ⟨ θ ⟩ ∝ p v z t 粒子穿过乳胶时不断被原子核轻轻拨偏，一段厚度 t t t p p p v v v p v pv p v
ρ ′ = ∑ k P k ρ P k \rho' = \sum_k P_k \rho P_k ρ ′ = k ∑ P k ρ P k 他把量子力学里的变化分成两类：不测量时按薛定谔方程连续演化，一旦测量则突然「投影」到某个本征态上。这两类过程谁也推不出谁——量子测量问题就是从这里被正式提出来的。
V out = 2 n V peak V_{\text{out}} = 2n\,V_{\text{peak}} V out = 2 n V peak 电容与整流管交替串接，每半个周期把电荷往上「递」一级，n n n 2 n 2n 2 n 2 V peak 2V_{\text{peak}} 2 V peak
7 L i + p → 2 α E α ≈ 8.6 M e V {}^{7}\mathrm{Li} + p \to 2\,\alpha \qquad E_\alpha \approx 8.6\ \mathrm{MeV} 7 Li + p → 2 α E α ≈ 8.6 MeV 1932 年 4 月 14 日沃尔顿在荧光屏上看到的闪光：质子只有 125 千电子伏，锂 7 碎成的两个 α 粒子却各带约 8.6 MeV，在空气里能跑 8 厘米多。
B orbit = 1 2 B ˉ B_{\text{orbit}} = \tfrac{1}{2}\,\bar{B} B orbit = 2 1 B ˉ 用变化的磁通产生环形电场来加速电子时，轨道处的磁场必须恰好是轨道内平均磁场的一半，粒子才会一直沿同一个圆转。沃尔顿在演讲里说：均匀磁场总是「恰好强了一倍」，粒子会螺旋着掉向中心。这是他在剑桥最早试过的间接加速法，后来由克斯特做成了电子感应加速器。
cos θ = 1 n β , β = v c \cos\theta = \frac{1}{n\beta}, \qquad \beta = \frac{v}{c} cos θ = n β 1 , β = c v 粒子在折射率为 n n n v v v θ \theta θ n ≈ 1.33 n \approx 1.33 n ≈ 1.33
E th = m c 2 ( 1 1 − 1 / n 2 − 1 ) E_{\text{th}} = mc^2\left(\frac{1}{\sqrt{1 - 1/n^2}} - 1\right) E th = m c 2 ( 1 − 1/ n 2 1 − 1 ) cos θ \cos\theta cos θ β > 1 / n \beta > 1/n β > 1/ n
d W d x = e 2 c 2 ∫ β n ( ω ) > 1 ω ( 1 − 1 β 2 n 2 ( ω ) ) d ω \frac{dW}{dx} = \frac{e^2}{c^2}\int_{\beta n(\omega) > 1} \omega \left(1 - \frac{1}{\beta^2 n^2(\omega)}\right) d\omega d x d W = c 2 e 2 ∫ β n ( ω ) > 1 ω ( 1 − β 2 n 2 ( ω ) 1 ) d ω 伊利亚·弗兰克与塔姆 1937 年算出的单位路程辐射能量（高斯单位）。被积函数正比于频率 ω \omega ω β n ( ω ) > 1 \beta n(\omega) > 1 β n ( ω ) > 1
E ≃ 1 4 π ε 0 Z 1 Z 2 e 2 r 1 + r 2 ≈ 200 M e V E \simeq \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Z_1 Z_2 e^{2}}{r_1 + r_2} \approx 200\ \mathrm{MeV} E ≃ 4 π ε 0 1 r 1 + r 2 Z 1 Z 2 e 2 ≈ 200 MeV 铀核若真的一分为二，两块碎片都带正电，刚分开时还贴在一起，此后就靠库仑排斥互相推开——那份势能全部变成动能。把 Z 1 ≈ Z 2 ≈ 46 Z_1 \approx Z_2 \approx 46 Z 1 ≈ Z 2 ≈ 46 E = m c 2 E = mc^2 E = m c 2
λ = 1 n σ ≈ 2.6 c m , M c = 4 3 π r c 3 ρ ≈ 600 g \lambda = \frac{1}{n\sigma} \approx 2.6\ \mathrm{cm}, \qquad M_c = \tfrac{4}{3}\pi r_c^{3}\rho \approx 600\ \mathrm{g} λ = nσ 1 ≈ 2.6 cm , M c = 3 4 π r c 3 ρ ≈ 600 g 一个中子在纯铀 235 里平均要走多远才撞上一个核？取裂变截面 σ ≈ 10 − 23 c m 2 \sigma \approx 10^{-23}\ \mathrm{cm^2} σ ≈ 1 0 − 23 c m 2 n n n
P ∼ e − 2 γ , γ = 1 ℏ ∫ 2 m ( V − E ) d r P \sim e^{-2\gamma},\quad \gamma = \frac{1}{\hbar}\int \sqrt{2m(V-E)}\,dr P ∼ e − 2 γ , γ = ℏ 1 ∫ 2 m ( V − E ) d r 1928 年他用量子隧穿解释了 α 衰变：粒子能穿过它按经典力学翻不过去的势垒。这是量子力学第一次被用到原子核上，也解释了为什么半衰期能从微秒跨到十亿年。
T 今 ≈ 5 K T_{\text{今}} \approx 5\ \mathrm{K} T 今 ≈ 5 K 若宇宙曾极热极密，那团火球的辐射会随膨胀冷却，今天应残留在微波波段。1948 年给出的估计是几开尔文，1965 年实测为 2.7 开尔文。
Ψ 总 ≈ ψ 电子 ( r ; R ) χ 核 ( R ) \Psi_{\text{总}} \approx \psi_{\text{电子}}(\mathbf{r};\mathbf{R})\,\chi_{\text{核}}(\mathbf{R}) Ψ 总 ≈ ψ 电子 ( r ; R ) χ 核 ( R ) 原子核比电子重几千倍，动得也慢得多。把核先当成不动的，先解电子，再让核在电子给出的势场里运动——今天所有的分子模拟、量子化学计算都建立在这一步上。
M > ∼ 3 M ⊙ ⇒ r → r s M > \sim 3\,M_{\odot} \Rightarrow r \to r_s M >∼ 3 M ⊙ ⇒ r → r s 1939 年他与斯奈德算出：足够重的星体燃尽后无法停下，会一直坍缩到光也出不来。在外面的人看来它逐渐冻结在视界上，在坠落者自己看来只需有限时间。这是黑洞的第一次严肃计算。
ψ k ( r ) = e i k ⋅ r u k ( r ) \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\,u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) ψ k ( r ) = e i k ⋅ r u k ( r ) 晶体里电子的波函数等于一个平面波乘上与晶格同周期的调制因子。结论惊人——在完美周期的晶格里，电子畅通无阻。金属的电阻不来自原子本身，而来自缺陷与热振动。
ω 0 = γ B 0 \omega_0 = \gamma B_0 ω 0 = γ B 0 原子核在磁场里像陀螺一样进动，频率正比于磁场强度。给不同位置施加不同强度的磁场，就能按频率区分位置——这一条把核磁共振变成了核磁共振成像。
γ → e − + e + , E γ > 2 m e c 2 ≈ 1.022 M e V \gamma \to e^- + e^+, \quad E_\gamma > 2m_ec^2 \approx 1.022\ \mathrm{MeV} γ → e − + e + , E γ > 2 m e c 2 ≈ 1.022 MeV 一个光子在原子核附近可以变成一对正负电子，前提是它的能量至少够付两个电子的静止质量。反过来，正负电子相遇会湮灭成光子——物质与能量在这里是可以互相兑换的，兑换率就是 mc²。
42 96 Mo + 1 2 H ⟶ 43 97 Tc + n {}^{96}_{42}\text{Mo} + {}^{2}_{1}\text{H} \longrightarrow {}^{97}_{43}\text{Tc} + n 42 96 Mo + 1 2 H ⟶ 43 97 Tc + n 回旋加速器偏转板上的钼箔长期挨氘核轰击，(d, n) 反应把一个质子塞进钼核，原子序数从 42 升到 43——周期表上那个空了几十年的格子。锝的所有同位素都不稳定，地壳里原有的早已衰变殆尽，所以它是第一种靠人工造出来才被确认的元素。
83 209 Bi + 2 4 He ⟶ 85 211 At + 2 n {}^{209}_{83}\text{Bi} + {}^{4}_{2}\text{He} \longrightarrow {}^{211}_{85}\text{At} + 2n 83 209 Bi + 2 4 He ⟶ 85 211 At + 2 n 1940 年，塞格雷与科森、麦肯齐在伯克利 60 英寸回旋加速器上用 α 粒子轰击铋，造出第 85 号元素砹。它和锝一样在自然界几乎找不到，周期表上又一个空格由加速器填上。
T th = 6 m p c 2 ≈ 5.6 GeV T_{\text{th}} = 6\,m_p c^2 \approx 5.6\ \text{GeV} T th = 6 m p c 2 ≈ 5.6 GeV 质子打静止的质子，要凭空造出一对质子-反质子，入射质子的动能至少是质子静能的 6 倍。伯克利的高能质子同步加速器（Bevatron）把能量定在 6 GeV 出头，就是冲着这个数去的；靶核里的核子自身在运动，实际门槛还能再低一些。
4 1 H → 4 H e + 2 e + + 2 ν e + 26.7 M e V 4\,^{1}\mathrm{H} \rightarrow{} ^{4}\mathrm{He} + 2e^{+} + 2\nu_e + 26.7\ \mathrm{MeV} 4 1 H → 4 He + 2 e + + 2 ν e + 26.7 MeV 四个氢核并成一个氦核，损失掉的那点质量按 E = m c 2 E = mc^2 E = m c 2
12 C → 13 N → ⋯ → 12 C + 4 H e ^{12}\mathrm{C} \rightarrow{} ^{13}\mathrm{N} \rightarrow \cdots \rightarrow{} ^{12}\mathrm{C} + {}^{4}\mathrm{He} 12 C → 13 N → ⋯ → 12 C + 4 He 碳在这里只当催化剂，转一圈又变回碳，净效果还是四氢变一氦。比太阳更重更热的恒星主要靠这条路发光。
2 , 8 , 20 , 28 , 50 , 82 , 126 2,\ 8,\ 20,\ 28,\ 50,\ 82,\ 126 2 , 8 , 20 , 28 , 50 , 82 , 126 质子数或中子数恰好是这几个数字的原子核异常稳定，就像惰性气体的电子壳层填满一样。前三个用简单壳层模型就能解释，后面四个二十年没人算得出来。
V ( r ) = V 0 ( r ) + V l s ℓ ⋅ s V(r) = V_0(r) + V_{ls}\,\boldsymbol{\ell}\cdot\mathbf{s} V ( r ) = V 0 ( r ) + V l s ℓ ⋅ s 在核子的势能里加上一项「轨道角动量点乘自旋」，能级立刻重排，七个幻数一次全对上。费米随口一问，她十分钟后想通了这一步。
i ℏ δ Ψ [ σ ] δ σ ( x ) = H ( x ) Ψ [ σ ] i\hbar\,\frac{\delta \Psi[\sigma]}{\delta \sigma(x)} = H(x)\,\Psi[\sigma] i ℏ δ σ ( x ) δ Ψ [ σ ] = H ( x ) Ψ [ σ ] 原来的量子场论给所有粒子共用一个时间，这与相对论「同时性依赖参考系」直接冲突。朝永给空间每一点各配一个时间，把方程改写在任意类空曲面上——形式漂亮了，相对论协变性也回来了。
m 观测 = m 0 + δ m m_{\text{观测}} = m_0 + \delta m m 观测 = m 0 + δ m 理论算出的电子自能是无穷大。朝永指出：裸质量 m₀ 本来就测不到，能测的只有它与无穷大修正之和。把无穷大吸收进无法观测的量里，剩下的部分与实验对到小数点后十位。
7 B e + e K − → 7 L i + ν e {}^{7}\mathrm{Be} + e^-_K \to {}^{7}\mathrm{Li} + \nu_e 7 Be + e K − → 7 Li + ν e 原子核吞掉一个最内层的电子，放出一个中微子。末态只有两个粒子——反冲的锂核和中微子——所以锂核的动量必须与中微子的动量大小相等、方向相反。普通 β 衰变末态有三个粒子，能量在电子和中微子之间随意分配，反冲核的能量是一片连续谱，看不出中微子的踪迹
E R = p 2 2 M ≈ E ν 2 2 M c 2 E_R = \frac{p^2}{2M} \approx \frac{E_\nu^2}{2Mc^2} E R = 2 M p 2 ≈ 2 M c 2 E ν 2 中微子带走约 0.86 MeV，锂 7 的静能约 6535 MeV，代进去反冲能量只有约 57 eV，而且对每一次俘获都一样——是一条单能的线。王淦昌当年用 1 MeV 的质量差估算，得到 77 eV。1952 年戴维斯测得 55.9 ± 1.0 55.9 \pm 1.0 55.9 ± 1.0
Σ − ‾ → n ˉ + π + \overline{\Sigma^-} \to \bar n + \pi^+ Σ − → n ˉ + π + 它是 Σ − \Sigma^- Σ − π + \pi^+ π +
D + D → 3 H e + n + 3.27 MeV \mathrm{D} + \mathrm{D} \to {}^{3}\mathrm{He} + n + 3.27\ \text{MeV} D + D → 3 He + n + 3.27 MeV 两个氘核聚合成氦 3，放出一个约 2.45 MeV 的中子。1964 年他提议用大功率激光照射含氘的物质，看能不能打出这样的中子；1973 年上海光机所用激光照射冰氘靶，第一次测到了它们
U ( r ) = − g 2 e − r / λ r U(r) = -g^2\,\frac{e^{-r/\lambda}}{r} U ( r ) = − g 2 r e − r / λ 电磁力的势按 1/r 衰减，能传到无穷远；核力的势多了一个指数因子，超过 λ 就迅速归零。这个「够不着」正是原子核只有那么大的原因。
λ = ℏ m c ≈ 1.4 × 10 − 15 m \lambda = \frac{\hbar}{mc} \approx 1.4\times10^{-15}\ \mathrm{m} λ = m c ℏ ≈ 1.4 × 1 0 − 15 m 力程与传递粒子的质量成反比。核力的作用范围约等于原子核的大小，反推出这种粒子的质量约为电子的两百倍——介于电子与质子之间，所以叫「介子」。
Δ ≈ 1.76 k B T c \Delta \approx 1.76\, k_B T_c Δ ≈ 1.76 k B T c 超导不是电阻「变小」，而是电子两两结成库珀对、集体凝聚成一个宏观量子态；要拆散一对电子必须付出一份最低能量 Δ，这道能隙的大小只由临界温度决定。低于临界温度时，晶格再怎么撞也凑不出这份能量，散射无从发生，电阻于是彻底归零。
k B T c ≈ 1.13 ℏ ω D e − 1 / N ( 0 ) V k_B T_c \approx 1.13\, \hbar\omega_D\, e^{-1/N(0)V} k B T c ≈ 1.13 ℏ ω D e − 1/ N ( 0 ) V 超导发生的温度取决于晶格振动的频率与电子间那点微弱吸引的强度。指数函数意味着：吸引哪怕再弱也总能配出对来——只是要把温度压得足够低。
I C = β I B I_C = \beta I_B I C = β I B 一股很小的输入电流，能按固定倍数「指挥」一股大得多的电流——正是这种以小控大的能力，让晶体管既能做放大器，也能做开关，成为一切数字电路的基本零件。
E n = ℏ ω c ( n + 1 2 ) E_n = \hbar\omega_c \left(n + \frac{1}{2}\right) E n = ℏ ω c ( n + 2 1 ) 磁场中的电子不能随意转圈，只能待在一级一级离散的能量台阶上——后来量子霍尔效应等半导体物理的大厦，就盖在这些台阶上。
F = F 0 + a ( T ) η 2 + b 2 η 4 F = F_0 + a(T)\,\eta^2 + \frac{b}{2}\,\eta^4 F = F 0 + a ( T ) η 2 + 2 b η 4 磁铁失去磁性、金属变成超导，看似风马牛不相及的相变，在临界点附近都能用同一个「序参量」多项式描述——万千相变，一副骨架。
M C h ≈ 1.44 M ⊙ M_{\mathrm{Ch}} \approx 1.44\,M_{\odot} M Ch ≈ 1.44 M ⊙ 白矮星靠电子简并压撑住自己，但这种压力有上限。超过约 1.44 倍太阳质量，电子必须跑到接近光速，简并压再也撑不住——星体只能继续坍缩下去。
P ∝ ρ 4 / 3 ( 相对论性简并 ) P \propto \rho^{4/3}\ (\text{相对论性简并}) P ∝ ρ 4/3 ( 相对论性简并 ) 非相对论时简并压随密度按 5/3 次方涨，压得住引力；一旦电子接近光速，指数降到 4/3，与引力的增长同步——从此再压缩也不会「更硬」。极限就出在这个指数的变化上。
I = I S ( e q V / k B T − 1 ) I = I_S\left(e^{qV/k_BT} - 1\right) I = I S ( e q V / k B T − 1 ) 一个 p-n 结两端加电压 V V V k B T / q k_BT/q k B T / q
外加电场感应的电荷 = Q 表面态 ⏟ 几乎全部 + Q 体内载流子 ⏟ ≈ 0 ⇒ σ 体内 几乎不变 \begin{aligned} \text{外加电场感应的电荷}\ &= \underbrace{Q_{\text{表面态}}}_{\text{几乎全部}} + \underbrace{Q_{\text{体内载流子}}}_{\approx\, 0} \\ \Rightarrow\ \sigma_{\text{体内}}\ &\text{几乎不变} \end{aligned} 外加电场感应的电荷 ⇒ σ 体内 = 几乎全部 Q 表面态 + ≈ 0 Q 体内载流子 几乎不变 1945 年他的设想很直接：给半导体薄片外加强电场，把载流子「吸」进来，电导应当大幅变化。实测变化只有预期的百分之几。1947 年巴丁给出了原因——半导体表面有一层能俘获电子的表面态，外加电场感应出的电荷几乎全被它们吃掉，屏蔽在表面，体内什么也没发生。这个失败的解释，恰恰是晶体管的起点：既然表面挡道，就从表面下手。
⟨ σ v ⟩ ∝ ∫ 0 ∞ σ ( E ) E e − E / k B T d E \langle \sigma v \rangle \propto \int_0^{\infty} \sigma(E)\, E\, e^{-E/k_BT}\,\mathrm{d}E ⟨ σ v ⟩ ∝ ∫ 0 ∞ σ ( E ) E e − E / k B T d E 恒星内部的核反应速率，等于反应截面乘上相对速度、再按麦克斯韦分布对所有能量求平均。麻烦在于恒星里的典型能量只有几十千电子伏，截面小到直接测不出来——凯洛格实验室的工作就是在加速器上尽可能往低能测，再把曲线外推到恒星的能区。今天所有恒星模型里的反应速率表，源头都是这一类测量。
τ n ≫ τ β ( s 过程 ) vs. τ n ≪ τ β ( r 过程 ) \tau_n \gg \tau_\beta\ (\text{s 过程}) \qquad\text{vs.}\qquad \tau_n \ll \tau_\beta\ (\text{r 过程}) τ n ≫ τ β ( s 过程 ) vs. τ n ≪ τ β ( r 过程 ) 铁以后再聚变就不放能量了，重元素只能靠中子俘获往上堆。两条路的区别只是快慢之比：如果俘获中子的间隔远长于 β 衰变的寿命，核每吸一个中子就有时间衰变一次，沿着稳定核素带慢慢爬（s 过程，发生在红巨星内部）；如果中子密度高到俘获远快于衰变，核来不及衰变就被塞成极富中子的样子，再一路衰变回来（r 过程，发生在超新星与中子星并合中）。金、铂、铀走的是后一条。
H ^ Ψ = 0 \hat{H}\,\Psi = 0 H ^ Ψ = 0 宇宙整体的波函数不含时间：时间并不是现成的舞台，而要从更基本的量子引力里涌现出来——这也是「时间从何而来」的标准答案之一。
E ( 2 2 S 1 / 2 ) − E ( 2 2 P 1 / 2 ) ≈ 1057.8 MHz E(2\,^{2}S_{1/2}) - E(2\,^{2}P_{1/2}) \approx 1057.8\ \text{MHz} E ( 2 2 S 1/2 ) − E ( 2 2 P 1/2 ) ≈ 1057.8 MHz 狄拉克方程说这两个能级严丝合缝地重合，前提是电子与质子之间的库仑定律严格成立。1947 年的测量发现它们差着一千兆赫上下，2 2 S 1 / 2 2^{2}S_{1/2} 2 2 S 1/2
⟨ V ( r + δ r ) ⟩ ≈ V ( r ) + 1 6 ⟨ ( δ r ) 2 ⟩ ∇ 2 V ( r ) \langle V(\mathbf{r} + \delta\mathbf{r}) \rangle \approx V(\mathbf{r}) + \tfrac{1}{6}\,\langle (\delta \mathbf{r})^{2} \rangle\, \nabla^{2} V(\mathbf{r}) ⟨ V ( r + δ r )⟩ ≈ V ( r ) + 6 1 ⟨( δ r ) 2 ⟩ ∇ 2 V ( r ) 量子化的真空有零点涨落，电子被它推着原地乱抖，幅度约 10 − 12 10^{-12} 1 0 − 12 ∇ 2 V \nabla^{2}V ∇ 2 V
n + 235 U → 236 U ∗ → A 1 + A 2 + A 3 n + {}^{235}\mathrm{U} \to {}^{236}\mathrm{U}^{*} \to A_1 + A_2 + A_3 n + 235 U → 236 U ∗ → A 1 + A 2 + A 3 铀 235 吞下一个慢中子，成了激发的铀 236，通常裂成两块，偶尔裂成三块——两块重碎片之外，还甩出一个轻的第三碎片。1947 年的长文给出三分裂与二分裂之比 0.003 ± 0.001 0.003 \pm 0.001 0.003 ± 0.001
M 1 v ⃗ 1 + M 2 v ⃗ 2 + M 3 v ⃗ 3 = 0 M_1\vec v_1 + M_2\vec v_2 + M_3\vec v_3 = 0 M 1 v 1 + M 2 v 2 + M 3 v 3 = 0 复合核几乎是静止的，所以三块碎片的动量加起来是零。乳胶里量得出每条径迹的长度和彼此的夹角，射程再按射程—速度关系换成速度，加上三块质量之和等于 236，就能解出第三块有多重。他们算出多数在 4 到 7 之间，有一例是 32
E p , max = 4 m α m p ( m α + m p ) 2 E α ≈ 0.64 E α E_{p,\max} = \frac{4 m_\alpha m_p}{(m_\alpha + m_p)^2}\,E_\alpha \approx 0.64\,E_\alpha E p , m a x = ( m α + m p ) 2 4 m α m p E α ≈ 0.64 E α 这是他博士论文的出发点。钋的 α 粒子打进含氢的物质，把质子弹出来；正碰时质子最多拿走 α 粒子能量的 64%。按弹性碰撞定律把质子的「群」倒推回 α 粒子的射程，得到六个值，据此讨论锂 5 的能级
ν e + 37 C l → 37 A r + e − \nu_e + {}^{37}\mathrm{Cl} \to {}^{37}\mathrm{Ar} + e^- ν e + 37 Cl → 37 Ar + e − 中微子把氯-37 变成放射性的氩-37。妙处全在产物：氩是惰性气体，能从几百吨含氯液体里整体吹出来；它靠俘获轨道电子衰变，放出约 2.8 keV 的俄歇电子与 X 射线，可以在小计数器里一个个数。三十年后戴维斯在霍姆斯特克金矿用的正是这个配方。
μ − + p → n + ν e − + p → n + ν \begin{aligned} \mu^- + p &\to n + \nu \\ e^- + p &\to n + \nu \end{aligned} μ − + p e − + p → n + ν → n + ν 原子核吞掉一个 μ 子，和吞掉一个 K 层电子，扣除轨道大小的差别之后概率相当。庞蒂科夫由此判断 μ 子俘获也放出中微子，μ 子与电子参与的是同一种弱相互作用——「普适弱相互作用」最早的表述之一。
ν e = cos θ ν 1 + sin θ ν 2 ν μ = − sin θ ν 1 + cos θ ν 2 \begin{aligned} \nu_e &= \cos\theta\,\nu_1 + \sin\theta\,\nu_2 \\ \nu_\mu &= -\sin\theta\,\nu_1 + \cos\theta\,\nu_2 \end{aligned} ν e ν μ = cos θ ν 1 + sin θ ν 2 = − sin θ ν 1 + cos θ ν 2 弱相互作用产生的「味」态，是两个质量确定的态按角度 θ \theta θ ν 1 \nu_1 ν 1 ν 2 \nu_2 ν 2
P ( ν e → ν μ ) = sin 2 2 θ × sin 2 Δ m 2 L 4 E \begin{aligned} P(\nu_e \to \nu_\mu) &= \sin^2 2\theta \\ &\quad \times \sin^2\frac{\Delta m^2 L}{4E} \end{aligned} P ( ν e → ν μ ) = sin 2 2 θ × sin 2 4 E Δ m 2 L 飞过距离 L L L Δ m 2 \Delta m^2 Δ m 2 E E E
tan θ 1 tan θ 2 = 2 γ + 1 \tan\theta_1 \tan\theta_2 = \frac{2}{\gamma + 1} tan θ 1 tan θ 2 = γ + 1 2 一个粒子撞上一个静止的同质量粒子，两者散开的角度满足这个关系，γ \gamma γ γ ≈ 1 \gamma \approx 1 γ ≈ 1
e + + e − → γ + γ e^+ + e^- \to \gamma + \gamma e + + e − → γ + γ 正电子慢下来之后与电子相遇，两者一起消失，变成两个光子。她 1946 年在《物理评论》的短文，标题就是正电子的「单次散射与湮灭」——云室里正电子的径迹要么被一个电子弹开，要么走到尽头消失
n + 235 U → A 1 + A 2 + A 3 + A 4 n + {}^{235}\mathrm{U} \to A_1 + A_2 + A_3 + A_4 n + 235 U → A 1 + A 2 + A 3 + A 4 1946 年底她在乳胶里找到的那一类事例：一个铀核裂成四块带电碎片。1947 年的长文只记录了两例，估计频率约为二分裂的万分之二，并说这个数误差很大
ν e + 37 C l → 37 A r + e − \nu_e + {}^{37}\mathrm{Cl} \to {}^{37}\mathrm{Ar} + e^- ν e + 37 Cl → 37 Ar + e − 电子中微子撞上一个氯-37 原子核，把它变成放射性的氩-37。能量低于 0.814 MeV 的中微子推不动这个反应；氩-37 的半衰期是 35 天，又是惰性气体，可以从几百吨含氯液体里用氦气吹出来、一个一个数。
8 B → 8 B e ∗ + e + + ν e {}^{8}\mathrm{B} \to {}^{8}\mathrm{Be}^{*} + e^+ + \nu_e 8 B → 8 Be ∗ + e + + ν e 太阳质子-质子链的一条稀有支路。主干放出的中微子能量太低，氯探测器看不见；戴维斯数到的信号大部分来自这里放出的、典型能量约 7 MeV 的中微子。正因为它稀有，预言值对太阳中心温度极其敏感。
R = N C l ∑ i ϕ i σ i ≈ 2.2 × 10 30 × 2.56 S N U ≈ 0.5 个/天 \begin{aligned} R &= N_{\mathrm{Cl}} \sum_i \phi_i \sigma_i \\ &\approx 2.2\times10^{30} \times 2.56\ \mathrm{SNU} \\ &\approx 0.5\ \text{个/天} \end{aligned} R = N Cl i ∑ ϕ i σ i ≈ 2.2 × 1 0 30 × 2.56 SNU ≈ 0.5 个 / 天 每秒生成的氩原子数，等于罐中氯-37 原子数乘以各路中微子通量与截面之积的和。1 个太阳中微子单位（SNU）定义为每个靶原子每秒 10 − 36 10^{-36} 1 0 − 36 2.2 × 10 30 2.2\times10^{30} 2.2 × 1 0 30
2.56 ± 0.16 ± 0.16 S N U 7. 6 − 1.1 + 1.3 S N U ≈ 1 3 \frac{2.56 \pm 0.16 \pm 0.16\ \mathrm{SNU}}{7.6^{+1.3}_{-1.1}\ \mathrm{SNU}} \approx \frac{1}{3} 7. 6 − 1.1 + 1.3 SNU 2.56 ± 0.16 ± 0.16 SNU ≈ 3 1 分子是霍姆斯特克实验二十五年的总结果（统计误差与系统误差各 0.16），分母是巴赫卡尔等人 2001 年的标准太阳模型预言。三十多年里两边的数都没怎么变，比值始终停在三分之一左右。
4 H e + 4 H e ⇌ 8 B e ( τ ∼ 10 − 16 s ) 8 B e + 4 H e ⟶ 12 C ∗ ( 7.65 M e V ) ⟶ 12 C + γ \begin{aligned} ^{4}\mathrm{He} + ^{4}\mathrm{He} &\rightleftharpoons\ ^{8}\mathrm{Be} \quad (\tau \sim 10^{-16}\,\mathrm{s}) \\ ^{8}\mathrm{Be} + ^{4}\mathrm{He} &\longrightarrow\ ^{12}\mathrm{C}^{*}(7.65\ \mathrm{MeV}) \longrightarrow\ ^{12}\mathrm{C} + \gamma \end{aligned} 4 He + 4 He 8 Be + 4 He ⇌ 8 Be ( τ ∼ 1 0 − 16 s ) ⟶ 12 C ∗ ( 7.65 MeV ) ⟶ 12 C + γ 质量数 5 和 8 都没有稳定核，元素合成在氦这里堵死了。出路是三个氦核几乎同时相撞：两个先拼成寿命只有 10 − 16 10^{-16} 1 0 − 16
ρ ˙ = 3 H ρ ⇒ ∼ 1 个氢原子 / m 3 每十亿年 \begin{aligned} &\dot{\rho} = 3H\rho \\ &\Rightarrow\ \sim 1\ \text{个氢原子}/\mathrm{m^3}\ \text{每十亿年} \end{aligned} ρ ˙ = 3 H ρ ⇒ ∼ 1 个氢原子 / m 3 每十亿年 稳恒态理论要求宇宙在膨胀中密度不变，那就必须不断有新物质凭空出现，速率正好补上膨胀稀释掉的那部分。算出来的数小得惊人：每立方米空间每十亿年造出大约一个氢原子——小到当时任何实验都测不出来。霍伊尔、邦迪与戈尔德认为这比「所有物质在一瞬间一次造完」更容易接受。1965 年的微波背景把这条路堵死了，但这个模型逼着大爆炸阵营拿出了实打实的证据。
N 2 > N 1 （粒子数反转） N_2 > N_1 \ \text{（粒子数反转）} N 2 > N 1 （粒子数反转） 通常处在高能级的原子远少于低能级的，光穿过物质只会被吸收。若人为让高能级上的原子更多，一个光子经过就会诱发第二个、第四个……同频率、同相位、同方向的光子，光被放大。
Δ ν ∼ 1 τ \Delta\nu \sim \frac{1}{\tau} Δ ν ∼ τ 1 受激辐射产生的光子与诱发它的光子完全同步。这正是激光与灯泡的区别——不是更亮，而是所有光子步调一致，因此能聚成极细的束、极窄的谱线。
F = F n + α ∣ ψ ∣ 2 + β 2 ∣ ψ ∣ 4 + 1 2 m ∣ ( − i ℏ ∇ − e c A ) ψ ∣ 2 \begin{aligned} F = F_n &+ \alpha|\psi|^2 + \frac{\beta}{2}|\psi|^4 \\ &+ \frac{1}{2m}\left|\left(-i\hbar\nabla - \frac{e}{c}A\right)\psi\right|^2 \end{aligned} F = F n + α ∣ ψ ∣ 2 + 2 β ∣ ψ ∣ 4 + 2 m 1 ( − i ℏ∇ − c e A ) ψ 2 不追问超导的微观机制，直接引入一个复数「序参量」ψ 描述超导态的强弱，把自由能按它展开。这套唯象理论比 BCS 早七年，而且至今在处理磁场、界面、涡旋时比 BCS 更好用。
κ = λ ξ \kappa = \frac{\lambda}{\xi} κ = ξ λ 磁场穿透深度与相干长度之比。阿布里科索夫发现，当它大于 1/√2 时超导体会让磁场以量子化涡旋的形式钻进去——这类第二类超导体才是今天所有强磁体的材料。
α ∝ ( n 1 − n 2 ) h ν ≈ n 1 ( h ν ) 2 k T ( h ν ≪ k T ) \alpha \propto (n_1 - n_2)\,h\nu \quad\approx\quad n_1\,\frac{(h\nu)^2}{kT} \quad (h\nu \ll kT) α ∝ ( n 1 − n 2 ) h ν ≈ n 1 k T ( h ν ) 2 ( h ν ≪ k T ) 光穿过物质时的净吸收，正比于下能级与上能级的粒子数之差。在光学频段，热平衡下上能级几乎是空的，受激辐射可以忽略；可在无线电频段，h ν h\nu h ν k T kT k T k T / h ν kT/h\nu k T / h ν n 2 > n 1 n_2 > n_1 n 2 > n 1 α \alpha α
⟨ x b ∣ e − i H ^ t / ℏ ∣ x a ⟩ = ∫ D x e i S [ x ] / ℏ \langle x_b|e^{-i\hat{H}t/\hbar}|x_a\rangle = \int \mathcal{D}x\, e^{iS[x]/\hbar} ⟨ x b ∣ e − i H ^ t /ℏ ∣ x a ⟩ = ∫ D x e i S [ x ] /ℏ 粒子从 A 到 B 不是只走一条路，而是同时走遍所有可能的路径；每条路径贡献一个「相位」，全部叠加起来，就是量子世界给出的答案。
ν ˉ e + p → n + e + \bar{\nu}_e + p \to n + e^+ ν ˉ e + p → n + e + 反中微子撞上一个质子，变出一个中子和一个正电子。正电子立刻湮灭放出两个光子，中子几微秒后被镉俘获再放出一串光子——两声之间那段延迟，就是中微子留下的签名。
a e = g − 2 2 = α 2 π ≈ 0.00116 a_e = \frac{g-2}{2} = \frac{\alpha}{2\pi} \approx 0.00116 a e = 2 g − 2 = 2 π α ≈ 0.00116 狄拉克方程说电子的 g 因子恰好是 2，实验测出略大一点点。施温格 1948 年算出这个偏差来自电子与真空中虚光子的相互作用。这个式子如今刻在他的墓碑上。
δ W = δ ∫ L d 4 x \delta W = \delta \!\int\! \mathcal{L}\, d^4x δ W = δ ∫ L d 4 x 他不用费曼那样的图，而是把整个量子场论建立在一条变分原理上，从中推出所有方程。形式极其严整，代价是别人很难跟上。
m = p γ v = p c ⋅ 1 − β 2 β m = \frac{p}{\gamma v} = \frac{p}{c}\cdot\frac{\sqrt{1-\beta^2}}{\beta} m = γ v p = c p ⋅ β 1 − β 2 磁铁只放动量 1.19 GeV/c c c β = 0.78 \beta = 0.78 β = 0.78 β ≈ 0.99 \beta \approx 0.99 β ≈ 0.99
t = L β c t = \frac{L}{\beta c} t = β c L 两个闪烁计数器相距 40 英尺（约 12 米）。π 介子几乎以光速飞过，用时约 40 纳秒；同动量的反质子慢，要约 51 纳秒。11 纳秒之差在 1955 年的电子学里已能分辨。
cos θ = 1 n β \cos\theta = \frac{1}{n\beta} cos θ = n β 1 带电粒子在介质里跑得比那里的光速快，就沿一个锥面发光，锥角只由速度决定。张伯伦与维甘德据此做了一只石英计数器，只收特定角度的光，于是只对 0.75 < β < 0.78 0.75 < \beta < 0.78 0.75 < β < 0.78 β > 0.79 \beta > 0.79 β > 0.79
⟨ 0 ∣ ϕ ∣ 0 ⟩ ≠ 0 \langle 0 | \phi | 0 \rangle \neq 0 ⟨ 0∣ ϕ ∣0 ⟩ = 0 方程本身是对称的，但它的最低能量状态不是。就像铅笔尖朝下立着时四面八方等价，一旦倒下就选定了一个方向——对称性没被破坏，只是被真空藏了起来。
m π ≈ 0 m_{\pi} \approx 0 m π ≈ 0 连续对称性一旦自发破缺，必然出现一种质量为零（或极轻）的粒子。π 介子比其他强子轻一个数量级，正是因为它几乎就是这样一个粒子。
η = n B − n B ˉ n γ ≈ 6 × 10 − 10 \eta = \frac{n_B - n_{\bar{B}}}{n_\gamma} \approx 6\times10^{-10} η = n γ n B − n B ˉ ≈ 6 × 1 0 − 10 宇宙中每十亿个光子对应约六个多出来的重子。大爆炸本该产生等量的物质与反物质，两者湮灭后什么也不该剩下——而我们存在，说明有极小的偏差。
B 破坏 + C 与 CP 破坏 + 偏离热平衡 \text{B 破坏} + \text{C 与 CP 破坏} + \text{偏离热平衡} B 破坏 + C 与 CP 破坏 + 偏离热平衡 1967 年他指出，要从对称的初始条件产生物质多于反物质的宇宙，必须同时满足这三条。今天所有关于物质起源的理论都要过这三关。
Δ ν 激光 ∝ h ν ( Δ ν 腔 ) 2 P \Delta\nu_{\text{激光}} \propto \frac{h\nu\,(\Delta\nu_{\text{腔}})^2}{P} Δ ν 激光 ∝ P h ν ( Δ ν 腔 ) 2 1958 年那篇论文里估算的激光本征线宽：输出功率 P P P
Δ ν D ν ∼ v c ∼ 10 − 5 \frac{\Delta\nu_{D}}{\nu} \sim \frac{v}{c} \sim 10^{-5} ν Δ ν D ∼ c v ∼ 1 0 − 5 气体原子在热运动中朝着或背着观测者跑，发出的光频率随之偏高或偏低，谱线被抹宽约十万分之一。他读研究生时为了压住这份展宽，一张谱要曝光四个小时。饱和光谱学的办法是让两束激光相向穿过样品，只挑出沿光束方向速度为零的那一群原子，展宽就消失了。
n 2 n 1 = e − ( E 2 − E 1 ) / k T ⇒ n 2 > n 1 ⟺ T < 0 \frac{n_2}{n_1} = e^{-(E_2 - E_1)/kT} \quad\Rightarrow\quad n_2 > n_1 \iff T < 0 n 1 n 2 = e − ( E 2 − E 1 ) / k T ⇒ n 2 > n 1 ⟺ T < 0 热平衡下，高能级上的粒子数 n 2 n_2 n 2 n 1 n_1 n 1 n 2 > n 1 n_2 > n_1 n 2 > n 1
F μ ν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ + i g [ A μ , A ν ] F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu + ig[A_\mu, A_\nu] F μν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ + i g [ A μ , A ν ] 电磁场的推广版：最后一项意味着场会「自己与自己作用」——正是它让规范场论既优美又艰深，也让传递强力的胶子能把自己粘在一起。
R 12 R 13 R 23 = R 23 R 13 R 12 R_{12}R_{13}R_{23} = R_{23}R_{13}R_{12} R 12 R 13 R 23 = R 23 R 13 R 12 三个粒子两两碰撞，先撞哪一对都不影响最终结果——这条自洽条件后来成为可积系统与量子群的基石。
ψ ( r ) ∼ e − ∣ r − r 0 ∣ / ξ \psi(\mathbf{r}) \sim e^{-|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|/\xi} ψ ( r ) ∼ e − ∣ r − r 0 ∣/ ξ 晶格里只要无序足够强，电子的波函数就不再铺展开，而是指数地局限在一小块区域里。材料因此绝缘——不是因为没有可占据的态，而是因为电子哪儿也去不了。
m A ≠ 0 （规范对称性自发破缺） m_A \neq 0 \ \text{（规范对称性自发破缺）} m A = 0 （规范对称性自发破缺） 1962 年他指出：超导体里的规范玻色子会获得有效质量。这是希格斯机制的非相对论版本，比希格斯等人的论文早两年。
S = T exp ( − i ∫ − ∞ + ∞ H I ( t ) d t ) = ∑ n = 0 ∞ ( − i ) n n ! ∫ ⋯ ∫ d t 1 ⋯ d t n T { H I ( t 1 ) ⋯ H I ( t n ) } \begin{aligned} S &= T\exp\left(-i\int_{-\infty}^{+\infty} H_I(t)\,\mathrm{d}t\right) \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-i)^n}{n!}\int\!\cdots\!\int \mathrm{d}t_1\cdots\mathrm{d}t_n \\ &\qquad\quad T\{H_I(t_1)\cdots H_I(t_n)\} \end{aligned} S = T exp ( − i ∫ − ∞ + ∞ H I ( t ) d t ) = n = 0 ∑ ∞ n ! ( − i ) n ∫ ⋯ ∫ d t 1 ⋯ d t n T { H I ( t 1 ) ⋯ H I ( t n )} 把散射过程的全部信息装进一个算符 S S S T T T n n n n n n
α → − α ⟹ 真空自发产生电子对 ⟹ ∑ n c n α n 收敛半径为零 \begin{aligned} \alpha \to -\alpha \quad &\Longrightarrow\quad \text{真空自发产生电子对} \\ &\Longrightarrow\quad \sum_n c_n\alpha^n\ \text{收敛半径为零} \end{aligned} α → − α ⟹ 真空自发产生电子对 ⟹ n ∑ c n α n 收敛半径为零 1952 年戴森给了一个只用一段话就说完的论证：假设把精细结构常数变号，同号电荷改为相吸，真空就会自发地无限产生电子对，理论彻底崩溃。这意味着无论 α \alpha α α = 0 \alpha = 0 α = 0
∣ K 1 , 2 ⟩ = ∣ K 0 ⟩ ± ∣ K ˉ 0 ⟩ 2 C P = ± 1 \begin{aligned} |K_{1,2}\rangle &= \frac{|K^0\rangle \pm |\bar K^0\rangle}{\sqrt2} \\ CP &= \pm1 \end{aligned} ∣ K 1 , 2 ⟩ C P = 2 ∣ K 0 ⟩ ± ∣ K ˉ 0 ⟩ = ± 1 K 0 K^0 K 0 K ˉ 0 \bar K^0 K ˉ 0 K 1 K_1 K 1 K 2 K_2 K 2 K 2 K_2 K 2
Γ ( K 2 → π + π − ) Γ ( K 2 → 全部带电模式 ) = ( 2.0 ± 0.4 ) × 10 − 3 \begin{aligned} &\frac{\Gamma(K_2\to\pi^+\pi^-)}{\Gamma(K_2\to\text{全部带电模式})} \\ &= (2.0\pm0.4)\times10^{-3} \end{aligned} Γ ( K 2 → 全部带电模式 ) Γ ( K 2 → π + π − ) = ( 2.0 ± 0.4 ) × 1 0 − 3 1964 年四人实验的结果。在充氦的衰变区里，两个 π 的总动量对准束流方向、不变质量等于 K 介子质量的事例，扣除本底后还剩约 45 个。若 CP 守恒，这个比值应当严格为零。
I ( t ) ∝ ∣ ρ ∣ 2 e − Γ S t + ∣ η ∣ 2 e − Γ L t + 2 ∣ ρ ∣ ∣ η ∣ e − ( Γ S + Γ L ) t / 2 × cos ( Δ m t + ϕ ) \begin{aligned} I(t) \propto\ & |\rho|^2 e^{-\Gamma_S t} + |\eta|^2 e^{-\Gamma_L t} \\ & + 2|\rho||\eta|\, e^{-(\Gamma_S+\Gamma_L)t/2} \\ & \quad \times \cos(\Delta m\, t + \phi) \end{aligned} I ( t ) ∝ ∣ ρ ∣ 2 e − Γ S t + ∣ η ∣ 2 e − Γ L t + 2∣ ρ ∣∣ η ∣ e − ( Γ S + Γ L ) t /2 × cos ( Δ m t + ϕ ) 在长寿命束流里放一块再生体，会重新造出振幅为 ρ \rho ρ η \eta η ∣ ρ ∣ ≈ ∣ η ∣ |\rho| \approx |\eta| ∣ ρ ∣ ≈ ∣ η ∣
R = r 0 A 1 / 3 R = r_0\, A^{1/3} R = r 0 A 1/3 核半径随质量数 A A A r 0 r_0 r 0
Δ t ∝ D M ( 1 ν 1 2 − 1 ν 2 2 ) , D M = ∫ n e d l \Delta t \propto \mathrm{DM}\left(\frac{1}{\nu_1^2} - \frac{1}{\nu_2^2}\right), \qquad \mathrm{DM} = \int n_e\,\mathrm{d}l Δ t ∝ DM ( ν 1 2 1 − ν 2 2 1 ) , DM = ∫ n e d l 射电脉冲穿过星际空间里稀薄的自由电子时，低频成分跑得比高频慢，同一个脉冲在低频上到得晚。延迟正比于沿途电子的总量 DM。休伊什小组测到第一颗脉冲星的频率每秒扫过约 5 兆赫，假定这是星际色散造成的，就估出了它的距离：约 65 秒差距——一个普通恒星的距离，远在太阳系之外。
ρ ≳ 3 π G P 2 \rho \gtrsim \frac{3\pi}{G P^2} ρ ≳ G P 2 3 π 一颗星要高速自转而不被离心力甩散，平均密度必须高于这个下限。周期 1.337 秒要求约 8 × 10 10 8 \times 10^{10} 8 × 1 0 10 10 14 10^{14} 1 0 14
r c = 2 σ Δ p r_c = \frac{2\sigma}{\Delta p} r c = Δ p 2 σ 过热液体里的小气泡，表面张力 σ \sigma σ Δ p \Delta p Δ p r c r_c r c r c r_c r c r c r_c r c r c r_c r c 10 − 6 10^{-6} 1 0 − 6
W min = 16 π 3 σ 3 Δ p 2 W_{\min} = \frac{16\pi}{3}\,\frac{\sigma^3}{\Delta p^2} W m i n = 3 16 π Δ p 2 σ 3 可逆、等温地吹出一个临界气泡至少要花这么多能量。它对表面张力是三次方、对过热度是平方，所以提高温度、压低表面张力是唯一出路——格拉泽由此推断，液体必须加热到从沸点到临界点大约一半到三分之二的位置，气泡室才会对最小电离粒子灵敏。
d E d x ≳ W min 2 r c = 4 π 3 σ 2 Δ p \frac{dE}{dx} \gtrsim \frac{W_{\min}}{2 r_c} = \frac{4\pi}{3}\,\frac{\sigma^2}{\Delta p} d x d E ≳ 2 r c W m i n = 3 4 π Δ p σ 2 粒子在一个临界直径 2 r c 2r_c 2 r c
P ( t ) d t = 1 t ˉ e − t / t ˉ d t P(t)\,dt = \frac{1}{\bar t}\,e^{-t/\bar t}\,dt P ( t ) d t = t ˉ 1 e − t / t ˉ d t 1924 年三位化学家记下了过热乙醚 30 次「任性」爆沸前的等待时间。格拉泽发现这组数符合平均约 60 秒的指数分布，也就是某种随机事件在触发沸腾；而按他们仪器的体积估算，宇宙线加放射性本底打进液体的计数率恰好也是约每 60 秒一次。这是他确信「粒子能引爆过热液体」的第一个证据。
cos θ c = 1 n β \cos\theta_c = \frac{1}{n\beta} cos θ c = n β 1 光在水里只跑真空中约四分之三的速度（折射率 n ≈ 1.33 n \approx 1.33 n ≈ 1.33
ν ˉ e + p → e + + n \bar{\nu}_e + p \to e^+ + n ν ˉ e + p → e + + n 超新星核心坍缩时放出的反电子中微子撞上水分子里的质子，变出一个正电子和一个中子；正电子在水中发出切连科夫光。1987 年 2 月神冈看到的那一串事件，主要就是它。
ν e + e − → ν e + e − \nu_e + e^- \to \nu_e + e^- ν e + e − → ν e + e − 太阳中微子把水里的电子撞得几乎顺着原方向飞出去。看电子往哪走，就知道中微子从哪来——神冈因此第一次证明，这些中微子确实来自太阳所在的方向，而不是别的什么本底。
P ( ν μ → ν τ ) = sin 2 2 θ sin 2 ( 1.27 Δ m 2 L E ) P(\nu_\mu \to \nu_\tau) = \sin^2 2\theta \, \sin^2\!\left(\frac{1.27\,\Delta m^2 L}{E}\right) P ( ν μ → ν τ ) = sin 2 2 θ sin 2 ( E 1.27 Δ m 2 L ) 两种质量态混在一起，像两根频率略有不同的弦合奏出「拍」。Δ m 2 \Delta m^2 Δ m 2 L L L E E E
L EW = L gauge + L Higgs + L Yukawa \mathcal{L}_{\text{EW}} = \mathcal{L}_{\text{gauge}} + \mathcal{L}_{\text{Higgs}} + \mathcal{L}_{\text{Yukawa}} L EW = L gauge + L Higgs + L Yukawa 萨拉姆 1968 年独立于温伯格给出同一套理论：把希格斯机制装进格拉肖的 SU(2)×U(1)，规范玻色子由此获得质量，弱力与电磁力统一。
θ W : sin 2 θ W ≈ 0.23 \theta_W:\ \ \sin^2\theta_W \approx 0.23 θ W : sin 2 θ W ≈ 0.23 一个角度就决定了电磁力与弱力在低能下如何分家，也定下了 W 与 Z 玻色子的质量比。实验测出的值与理论对得极准。
P : ( x , y , z ) → ( − x , − y , − z ) P: (x, y, z) \to (-x, -y, -z) P : ( x , y , z ) → ( − x , − y , − z ) 把空间三个坐标同时反号，相当于照一次镜子。人们曾深信一切物理定律照过镜子都不变，李政道与杨振宁却发现：在弱相互作用里，这一点从未被实验检验过。
把磁体的配分函数写成复变量的多项式，它的零点会全部整齐地落在单位圆上——这些零点向实轴逼近的方式，决定了物质在哪里、以何种姿态发生相变。
4 A 2 → 闪光灯 4 F 1 , 4 F 2 → 2 E → 4 A 2 + h ν ^{4}A_{2} \ \xrightarrow{\text{闪光灯}} \ ^{4}F_{1},\,^{4}F_{2} \ \rightarrow \ ^{2}E \ \rightarrow \ ^{4}A_{2} + h\nu 4 A 2 闪光灯 4 F 1 , 4 F 2 → 2 E → 4 A 2 + h ν 红宝石是掺了铬的氧化铝，颜色全部来自铬离子。闪光灯里的绿光和蓝光把离子从基态 4 A 2 ^{4}A_{2} 4 A 2 2 E ^{2}E 2 E 2 E ^{2}E 2 E
R 1 R 2 e 2 g L > 1 R_{1} R_{2}\ e^{2gL} > 1 R 1 R 2 e 2 g L > 1 红宝石棒两端镀银，光在棒里来回走，每往返一次强度就乘上两端的反射率与介质净增益的平方。只有这个乘积大于 1，振荡才能自持。梅曼在闪光灯下先量了基态布居数的变化，确认抽空确实会发生——四个月后机器就出光了。
∣ P ( a , b ) − P ( a , c ) ∣ ≤ 1 + P ( b , c ) |P(a,b) - P(a,c)| \le 1 + P(b,c) ∣ P ( a , b ) − P ( a , c ) ∣ ≤ 1 + P ( b , c ) 任何局域隐变量理论里，两处相隔很远的测量结果之间的关联，都被这条不等式框住上限。量子力学预言的值会越过这条线——于是实验可以一锤定音。
( M V 2 ) a b = − e 2 ⟨ ϕ B ⟩ T B C a T C A b ⟨ ϕ A ⟩ (M_V^2)_{ab} = -e^2\,\langle\phi_B\rangle\, T^a_{BC}\, T^b_{CA}\,\langle\phi_A\rangle ( M V 2 ) ab = − e 2 ⟨ ϕ B ⟩ T B C a T C A b ⟨ ϕ A ⟩ 1964 年那篇论文没有只算一个最简单的例子，而是对任意对称群给出了规范玻色子的质量矩阵。凡是不改变真空期望值 ⟨ ϕ ⟩ \langle\phi\rangle ⟨ ϕ ⟩
F 淬火 = − k T ln Z ‾ ≠ − k T ln Z ‾ F_{\text{淬火}} = -kT\,\overline{\ln Z} \quad\neq\quad -kT\,\ln \overline{Z} F 淬火 = − k T ln Z = − k T ln Z 一块掺了随机杂质的磁体，杂质的位置是「冻住」的，不随温度重新排列。这时正确的做法是先对每一种杂质分布算自由能，再对分布求平均，而不是先把配分函数平均掉。布劳特 1959 年研究随机稀释的铁磁体时就是这样处理的，这种「淬火平均」后来成了研究无序系统的基础之一，自旋玻璃理论要算的正是这种平均。
v ( r ) = G M ( r ) r v(r) = \sqrt{\frac{GM(r)}{r}} v ( r ) = r GM ( r ) 太阳系里越外围的行星转得越慢，因为质量几乎都在太阳。星系如果也这样，外围恒星的速度就该随距离下降。
v ( r ) ≈ 常数 v(r) \approx \text{常数} v ( r ) ≈ 常数 鲁宾测出的却是一条几乎水平的线——外围恒星和内圈转得一样快。这只有一种解释：星系被一大团看不见的物质包着，而且它的质量远超所有发光物质之和。
λ [ n m ] = 1240 E g [ e V ] , E g ( G a N ) ≈ 3.4 e V \lambda\,[\mathrm{nm}] = \frac{1240}{E_g\,[\mathrm{eV}]},\qquad E_g(\mathrm{GaN}) \approx 3.4\ \mathrm{eV} λ [ nm ] = E g [ eV ] 1240 , E g ( GaN ) ≈ 3.4 eV 发光波长由半导体的带隙决定。要发蓝光需要 2.6 电子伏以上的带隙，能选的材料本来就少；氮化镓的 3.4 电子伏还带来一个额外好处——它是直接带隙，电子与空穴复合时能直接把能量交给光子，而不像硅那样先浪费在晶格振动上。问题只在于，当年没人能把它长成好晶体。
a G a N − a A l 2 O 3 a A l 2 O 3 ≈ 16 % \frac{a_{\mathrm{GaN}} - a_{\mathrm{Al_2O_3}}}{a_{\mathrm{Al_2O_3}}} \approx 16\% a A l 2 O 3 a GaN − a A l 2 O 3 ≈ 16% 氮化镓没有同质的衬底可用，只能长在蓝宝石上，而两者的晶格常数差了约 16%。这么大的失配会在界面上撕出密密麻麻的位错，晶体表面坑洼不平，做不成器件。整个 1970 与 1980 年代，这一条把绝大多数人赶去了硒化锌。
p = u u d , n = u d d p = uud,\quad n = udd p = uu d , n = u dd 质子由两个上夸克和一个下夸克组成，中子由两个下夸克和一个上夸克组成。它们携带分数电荷，却因「禁闭」从未单独现身——三个字母写尽原子核的基本构件。
Q = I 3 + B + S 2 Q = I_3 + \frac{B + S}{2} Q = I 3 + 2 B + S 把电荷、同位旋第三分量、重子数与奇异数串成一条公式，强子的电荷不再是一堆孤立数据，而是同一张对称性表格里的坐标。
V ( ϕ ) = μ 2 ∣ ϕ ∣ 2 + λ ∣ ϕ ∣ 4 V(\phi) = \mu^2 |\phi|^2 + \lambda |\phi|^4 V ( ϕ ) = μ 2 ∣ ϕ ∣ 2 + λ ∣ ϕ ∣ 4 当 μ² 取负值，这个势的形状就像一顶墨西哥草帽：帽顶（场为零处）是不稳定的凸点，最低点绕着帽檐排成一圈。真空必须从帽檐上「随便挑一点」落定，于是原本完美的旋转对称被这次选择打破了——对称性没有消失，只是被真空藏了起来。这就是「自发破缺」。
m W = 1 2 g v m_W = \tfrac{1}{2} g v m W = 2 1 g v 落到帽檐上的真空处处充满一种场，其强度 v 约为 246 GeV。传递弱力的 W、Z 粒子在这片场里前进时会「吃掉」被破缺掉的自由度，从而获得质量——质量并非硬塞进方程，而是从真空的选择里长出来的。
m f = y f v 2 m_f = \frac{y_f v}{\sqrt{2}} m f = 2 y f v 电子、夸克这类基本粒子的质量，等于它与希格斯场耦合的强弱乘上真空场强。耦合强的重，弱的轻——为什么顶夸克比电子重三十多万倍，标准模型只能记录，无法解释。
E R = E γ 2 2 M c 2 E_R = \frac{E_\gamma^2}{2Mc^2} E R = 2 M c 2 E γ 2 原子核放出一个能量为 E γ E_\gamma E γ E R E_R E R 5 × 10 − 6 5\times10^{-6} 5 × 1 0 − 6
f = exp ( − E γ 2 ⟨ x 2 ⟩ ( ℏ c ) 2 ) f = \exp\left(-\frac{E_\gamma^2 \langle x^2 \rangle}{(\hbar c)^2}\right) f = exp ( − ( ℏ c ) 2 E γ 2 ⟨ x 2 ⟩ ) 核若嵌在晶格里，就有一部分跃迁的反冲由整块晶体承担，晶体太重，几乎不拿走能量。f f f ⟨ x 2 ⟩ \langle x^2 \rangle ⟨ x 2 ⟩ f f f
Δ E E = v c \frac{\Delta E}{E} = \frac{v}{c} E Δ E = c v 无反冲谱线窄到这种地步，让放射源以速度 v v v
Δ ν ν = g h c 2 ≈ 2.5 × 10 − 15 \frac{\Delta \nu}{\nu} = \frac{gh}{c^2} \approx 2.5\times 10^{-15} ν Δ ν = c 2 g h ≈ 2.5 × 1 0 − 15 光子从高处落下 h h h
E B ≈ − 2 ℏ ω D e − 2 / N ( 0 ) V E_B \approx -2\hbar\omega_D\, e^{-2/N(0)V} E B ≈ − 2ℏ ω D e − 2/ N ( 0 ) V N ( 0 ) N(0) N ( 0 ) V V V e − 2 / N ( 0 ) V e^{-2/N(0)V} e − 2/ N ( 0 ) V V V V
m ˙ j = ϕ ( c , θ M ) d j , θ M = c ˉ 2 \dot{m}_j = \phi(c,\ \theta_M)\, d_j, \qquad \theta_M = \bar{c}^{\,2} m ˙ j = ϕ ( c , θ M ) d j , θ M = c ˉ 2 他后半生的方程。c c c d j d_j d j j j j ϕ \phi ϕ c c c θ M \theta_M θ M θ M \theta_M θ M
∣ K L ⟩ = ∣ K 2 ⟩ + ε ∣ K 1 ⟩ 1 + ∣ ε ∣ 2 |K_L\rangle = \frac{|K_2\rangle + \varepsilon\,|K_1\rangle}{\sqrt{1+|\varepsilon|^2}} ∣ K L ⟩ = 1 + ∣ ε ∣ 2 ∣ K 2 ⟩ + ε ∣ K 1 ⟩ 如果 CP 守恒，长寿命的 K L K_L K L K 2 K_2 K 2 K 1 K_1 K 1 ε \varepsilon ε
η + − = A ( K L → π + π − ) A ( K S → π + π − ) ≈ ε + ε ′ η 00 ≈ ε − 2 ε ′ \begin{aligned} \eta_{+-} &= \frac{A(K_L\to\pi^+\pi^-)}{A(K_S\to\pi^+\pi^-)} \\ &\approx \varepsilon + \varepsilon' \\ \eta_{00} &\approx \varepsilon - 2\varepsilon' \end{aligned} η +− η 00 = A ( K S → π + π − ) A ( K L → π + π − ) ≈ ε + ε ′ ≈ ε − 2 ε ′ 长、短寿命 K 介子衰变成同一个两 π 末态的振幅之比。ε \varepsilon ε ε ′ \varepsilon' ε ′ ε ′ ≠ 0 \varepsilon' \neq 0 ε ′ = 0 η + − \eta_{+-} η +− η 00 \eta_{00} η 00 η 00 \eta_{00} η 00
δ = Γ + − Γ − Γ + + Γ − Γ + ≡ Γ ( K L → π − ℓ + ν ) Γ − ≡ Γ ( K L → π + ℓ − ν ˉ ) \begin{aligned} \delta &= \frac{\Gamma^+ - \Gamma^-}{\Gamma^+ + \Gamma^-} \\ \Gamma^+ &\equiv \Gamma(K_L\to\pi^-\ell^+\nu) \\ \Gamma^- &\equiv \Gamma(K_L\to\pi^+\ell^-\bar\nu) \end{aligned} δ Γ + Γ − = Γ + + Γ − Γ + − Γ − ≡ Γ ( K L → π − ℓ + ν ) ≡ Γ ( K L → π + ℓ − ν ˉ ) 长寿命 K 介子衰变出正电子的次数比衰变出电子的略多，差约千分之三。这让「物质世界」与「反物质世界」有了一个不靠约定的区分：我们的世界里，多出来的轻子与原子核同号。
E G Z K ≈ 5 × 10 19 e V E_{\mathrm{GZK}} \approx 5\times10^{19}\ \mathrm{eV} E GZK ≈ 5 × 1 0 19 eV 若最高能宇宙线是来自河外的质子，它们会撞上宇宙微波背景的光子、激发出重子共振态而损失能量，能谱在约 5 × 10 19 5\times10^{19} 5 × 1 0 19
d x d t = − λ x + σ η ( t ) \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = -\lambda x + \sigma\,\eta(t) d t d x = − λ x + σ η ( t ) 把快变的天气当成白噪声 η(t)，把慢变的气候量（海温、冰盖）当成被它不断敲打的重粒子，方程的形式就是布朗运动那一条。结论很关键：即使没有任何外部驱动，气候也会自己产生长时间尺度的起伏——所以「气候在变」本身不等于「人类造成的」。要证明后者，必须另想办法。
d = ∑ i β i f i + n \mathbf{d} = \sum_i \beta_i\,\mathbf{f}_i + \mathbf{n} d = i ∑ β i f i + n 观测到的气候变化 d，写成若干「指纹」f 的线性组合加上噪声 n。每种驱动——温室气体、火山灰、太阳活动——在空间与时间上留下的花样不同：温室气体让对流层暖、平流层冷，太阳变强则两层同时变暖。把观测投影到各个指纹上求出系数 β，就能回答「这次变暖里各家占多少」。这套方法是 IPCC 归因结论的技术底座。
Γ 纯辐射 ≈ − 15 ∘ C / k m Γ 湿绝热 ≈ − 6 ∘ C / k m \Gamma_{\text{纯辐射}} \approx -15\ ^\circ\mathrm{C/km} \qquad \Gamma_{\text{湿绝热}} \approx -6\ ^\circ\mathrm{C/km} Γ 纯辐射 ≈ − 15 ∘ C/km Γ 湿绝热 ≈ − 6 ∘ C/km 只算辐射传输的话，大气温度随高度下降得比真实情况陡得多，因为这样的层结本身不稳定，空气会翻上去。真锅的办法很直接：一旦算出的温度分布比湿绝热递减率更陡，就把它「调整」回来。这一步让一维模型第一次给出接近真实的大气廓线。
Δ T 2 × C O 2 = 2.3 ∘ C ( 1967 , 一维模型 ) = 2.93 ∘ C ( 1975 , 三维模型 ) \begin{aligned} \Delta T_{2\times\mathrm{CO}_2} &= 2.3\ ^\circ\mathrm{C} \quad (1967,\ \text{一维模型}) \\ &= 2.93\ ^\circ\mathrm{C} \quad (1975,\ \text{三维模型}) \end{aligned} Δ T 2 × CO 2 = 2.3 ∘ C ( 1967 , 一维模型 ) = 2.93 ∘ C ( 1975 , 三维模型 ) 大气二氧化碳浓度翻一倍，全球平均地表温度升高多少。1967 年的一维模型给 2.3 度，1975 年的三维模型给 2.93 度。今天用超级计算机、卫星资料与几十年观测得到的区间是 2.5 到 4 度——半个世纪的算力增长，没有推翻当年那个数。
M A D M ≥ A 16 π M_{ADM} \ge \sqrt{\frac{A}{16\pi}} M A D M ≥ 16 π A 黑洞的视界面积给时空的总质量设了一个下限：如果哪一天实验违反它，宇宙监督猜想就得重写。
∇ A ′ ( A Ω B ) = 0 \nabla_{A'}^{\,(A}\,\Omega^{B)} = 0 ∇ A ′ ( A Ω B ) = 0 把无质量场在四维时空里的方程，翻译成复三维扭量空间中的几何——彭罗斯想用这套语言重写基础物理。
R = σ ( e + e − → 强子 ) σ ( e + e − → μ + μ − ) = 3 ∑ q Q q 2 R = \frac{\sigma(e^+e^- \to \text{强子})}{\sigma(e^+e^- \to \mu^+\mu^-)} = 3\sum_q Q_q^2 R = σ ( e + e − → μ + μ − ) σ ( e + e − → 强子 ) = 3 q ∑ Q q 2 正负电子湮灭成一团「火球」后，变成强子的概率与变成一对缪子的概率之比。若夸克真实存在，这个比值就等于能量够得着的每种夸克电荷平方之和，再乘上三种颜色。上、下、奇三种夸克给出 2；跨过粲夸克的门槛后多出 3 × ( 2 / 3 ) 2 = 4 / 3 3 \times (2/3)^2 = 4/3 3 × ( 2/3 ) 2 = 4/3 10 / 3 10/3 10/3
Γ ⋅ τ = ℏ \Gamma \cdot \tau = \hbar Γ ⋅ τ = ℏ 一个粒子的能量峰有多宽，就决定了它能活多久，两者乘积是个常数。ψ 的真实宽度只有约 93 keV，对应的寿命约 7 × 10 − 21 7 \times 10^{-21} 7 × 1 0 − 21
∣ Ψ BCS ⟩ = ∏ k ( u k + v k c k ↑ † c − k ↓ † ) ∣ 0 ⟩ |\Psi_{\text{BCS}}\rangle = \prod_{\mathbf{k}} \left( u_{\mathbf{k}} + v_{\mathbf{k}}\, c^{\dagger}_{\mathbf{k}\uparrow} c^{\dagger}_{-\mathbf{k}\downarrow} \right) |0\rangle ∣ Ψ BCS ⟩ = k ∏ ( u k + v k c k ↑ † c − k ↓ † ) ∣0 ⟩ 地铁上那一页纸。难点从来不是「两个电子怎么配对」，而是「几万亿个电子同时配对怎么写」——把 N N N k \mathbf{k} k v k v_{\mathbf{k}} v k u k u_{\mathbf{k}} u k
Δ k = − ∑ k ′ V k k ′ Δ k ′ 2 E k ′ tanh E k ′ 2 k B T E k = ξ k 2 + Δ k 2 \begin{aligned} \Delta_{\mathbf{k}} &= -\sum_{\mathbf{k}'} V_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}\, \frac{\Delta_{\mathbf{k}'}}{2E_{\mathbf{k}'}} \tanh\frac{E_{\mathbf{k}'}}{2k_B T} \\ E_{\mathbf{k}} &= \sqrt{\xi_{\mathbf{k}}^{2} + \Delta_{\mathbf{k}}^{2}} \end{aligned} Δ k E k = − k ′ ∑ V k k ′ 2 E k ′ Δ k ′ tanh 2 k B T E k ′ = ξ k 2 + Δ k 2 把上面那个波函数代进哈密顿量、对 u u u v v v Δ \Delta Δ Δ \Delta Δ tanh \tanh tanh Δ \Delta Δ Δ = 0 \Delta=0 Δ = 0
Π μ ν ( q ) = ( g μ ν − q μ q ν q 2 ) Π ( q 2 ) Π ( q 2 ) = e 2 ⟨ ϕ ⟩ 2 ⇒ M V 2 = e 2 ⟨ ϕ ⟩ 2 \begin{aligned} \Pi_{\mu\nu}(q) &= \left(g_{\mu\nu} - \frac{q_\mu q_\nu}{q^2}\right)\Pi(q^2) \\ \Pi(q^2) &= e^2\langle\phi\rangle^2 \quad\Rightarrow\quad M_V^2 = e^2\langle\phi\rangle^2 \end{aligned} Π μν ( q ) Π ( q 2 ) = ( g μν − q 2 q μ q ν ) Π ( q 2 ) = e 2 ⟨ ϕ ⟩ 2 ⇒ M V 2 = e 2 ⟨ ϕ ⟩ 2 规范场穿过一片充满标量场凝聚的真空时，会被这片真空「极化」。恩格勒与布劳特算了两张费曼图，发现极化函数在 q 2 = 0 q^2 = 0 q 2 = 0 ⟨ ϕ ⟩ \langle\phi\rangle ⟨ ϕ ⟩
S U ( 2 ) L × U ( 1 ) Y SU(2)_L \times U(1)_Y S U ( 2 ) L × U ( 1 ) Y 格拉肖 1961 年提出：电磁力与弱力不是两种力，而是同一个规范结构的两副面孔。这个群结构一直用到今天的标准模型里，一字未改。
A ( FCNC ) → 0 \mathcal{A}(\text{FCNC}) \to 0 A ( FCNC ) → 0 理论预言的「味改变中性流」在实验上根本没出现。格拉肖等人指出：若存在第四种夸克，它的贡献会与前三种精确抵消。三年后粲夸克被发现。
( M 2 ) a b = g 2 ( T a ϕ 0 ) ⋅ ( T b ϕ 0 ) G → H : dim G − dim H 个变重 dim H 个无质量 \begin{aligned} (M^2)_{ab} &= g^2\,(T_a\phi_0)\cdot(T_b\phi_0) \\ G \to H:\quad &\dim G - \dim H\ \text{个变重} \\ &\dim H\ \text{个无质量} \end{aligned} ( M 2 ) ab G → H : = g 2 ( T a ϕ 0 ) ⋅ ( T b ϕ 0 ) dim G − dim H 个变重 dim H 个无质量 真空取定一个值 ϕ 0 \phi_0 ϕ 0 ϕ 0 \phi_0 ϕ 0 H H H S U ( 2 ) × U ( 1 ) SU(2)\times U(1) S U ( 2 ) × U ( 1 ) U ( 1 ) U(1) U ( 1 )
π 0 ( M ) ≠ 0 ⟹ 畴壁 π 1 ( M ) ≠ 0 ⟹ 宇宙弦 π 2 ( M ) ≠ 0 ⟹ 磁单极 \begin{aligned} \pi_0(\mathcal{M}) \neq 0 &\ \Longrightarrow\ \text{畴壁} \\ \pi_1(\mathcal{M}) \neq 0 &\ \Longrightarrow\ \text{宇宙弦} \\ \pi_2(\mathcal{M}) \neq 0 &\ \Longrightarrow\ \text{磁单极} \end{aligned} π 0 ( M ) = 0 π 1 ( M ) = 0 π 2 ( M ) = 0 ⟹ 畴壁 ⟹ 宇宙弦 ⟹ 磁单极 M \mathcal{M} M
ξ ^ ∝ τ Q ν / ( 1 + z ν ) , n ∝ ξ ^ − d \hat{\xi} \propto \tau_Q^{\,\nu/(1+z\nu)}, \qquad n \propto \hat{\xi}^{-d} ξ ^ ∝ τ Q ν / ( 1 + z ν ) , n ∝ ξ ^ − d 相变降温降得越慢（淬火时间 τ Q \tau_Q τ Q ξ ^ \hat{\xi} ξ ^ ν \nu ν z z z
h = 2 Δ L L ∼ 10 − 21 h = \frac{2\,\Delta L}{L} \sim 10^{-21} h = L 2 Δ L ∼ 1 0 − 21 引力波不是把东西推来推去，而是把空间本身按比例拉伸与压缩。LIGO 的臂长 4 公里，10⁻²¹ 的应变意味着长度变化约一万亿分之四米——不到一个质子直径的万分之一。所以这台仪器测的从来不是长度，而是长度的比值。
Δ E = ℏ Ω 2 4 δ \Delta E = \frac{\hbar\,\Omega^{2}}{4\,\delta} Δ E = 4 δ ℏ Ω 2 一束频率偏离原子共振 δ \delta δ Ω \Omega Ω
k B T R = ℏ 2 k 2 M k_B T_R = \frac{\hbar^{2} k^{2}}{M} k B T R = M ℏ 2 k 2 原子每发射一个光子都会被随机踢一下，动量改变 ℏ k \hbar k ℏ k
sin θ c = n 2 n 1 \sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} sin θ c = n 1 n 2 光纤是「芯」外面包一层折射率更低的「包层」。只要光射到界面上的角度足够斜，它就一点也漏不出去，被完全反射回芯里。光就这样一路撞着壁向前跑几十公里，却始终不出这根比头发还细的玻璃丝。
α = 10 L log 10 P in P out \alpha = \frac{10}{L}\log_{10}\frac{P_{\text{in}}}{P_{\text{out}}} α = L 10 log 10 P out P in 衡量玻璃「透不透」的尺子。每 10 dB 表示光强衰减到十分之一：1000 dB/km 意味着光走二十米就基本没了；20 dB/km 意味着能跑一公里还剩百分之一；今天的 0.2 dB/km，光走一百公里仍有约百分之一——洲际海底光缆正是靠这个数字成立的。
T 余温 = 3.5 ± 1.0 K ( λ = 7.35 c m , 1965 ) T_{\text{余温}} = 3.5 \pm 1.0\ \mathrm{K} \quad (\lambda = 7.35\ \mathrm{cm},\ 1965) T 余温 = 3.5 ± 1.0 K ( λ = 7.35 cm , 1965 ) 1965 年那篇只有六百多个词的论文，通篇不提宇宙学，只报告一件事：在 4080 兆赫上，天线收到的温度比一切已知来源的总和多出 3.5 ± 1.0 3.5 \pm 1.0 3.5 ± 1.0 2.72548 K 2.72548\ \mathrm{K} 2.72548 K
B ν ( T ) = 2 h ν 3 c 2 1 e h ν / k B T − 1 λ max ≈ 1.06 m m \begin{aligned} B_\nu(T) &= \frac{2h\nu^3}{c^2}\,\frac{1}{e^{h\nu/k_BT}-1} \\ \lambda_{\max} &\approx 1.06\ \mathrm{mm} \end{aligned} B ν ( T ) λ m a x = c 2 2 h ν 3 e h ν / k B T − 1 1 ≈ 1.06 mm 这片辐射的能谱是一条标准的普朗克曲线，峰值在约 1 毫米的微波段。1990 年 COBE 卫星量出的谱与理论曲线的偏差不到峰值的百分之一，1996 年用全部数据再算，压到了百万分之五十以下——它是人类测到过的最接近理想黑体的东西。原因在于它来自宇宙 38 万岁时那锅完全热平衡的等离子体：光子在那一刻最后一次散射，此后自由飞行至今，只是被膨胀拉长了波长。
M W = M Z cos θ W M_W = M_Z \cos\theta_W M W = M Z cos θ W 电弱统一理论里，W 和 Z 两种传力粒子的质量被同一个「温伯格角」串在一起。1983 年实验测出的比值，与这条公式预言几乎分毫不差。
S U ( 2 ) L × U ( 1 ) Y SU(2)_L \times U(1)_Y S U ( 2 ) L × U ( 1 ) Y 弱相互作用与电磁相互作用在高温下其实是同一个力，只是被对称性自发破缺分成了我们熟悉的两副面孔——一副射程极短，一副可以传到天边。
d s 2 = − ( 1 − 2 M r Σ ) d t 2 − 4 M a r sin 2 θ Σ d t d φ + Σ Δ d r 2 + Σ d θ 2 + ( r 2 + a 2 + 2 M a 2 r sin 2 θ Σ ) sin 2 θ d φ 2 Σ ≡ r 2 + a 2 cos 2 θ , Δ ≡ r 2 − 2 M r + a 2 \begin{aligned} ds^2 = &-\left(1-\frac{2Mr}{\Sigma}\right)dt^2 - \frac{4Mar\sin^2\theta}{\Sigma}\,dt\,d\varphi \\ &+ \frac{\Sigma}{\Delta}dr^2 + \Sigma\,d\theta^2 \\ &+ \left(r^2+a^2+\frac{2Ma^2r\sin^2\theta}{\Sigma}\right)\sin^2\theta\,d\varphi^2 \\ \Sigma \equiv{}& r^2+a^2\cos^2\theta, \qquad \Delta \equiv r^2-2Mr+a^2 \end{aligned} d s 2 = Σ ≡ − ( 1 − Σ 2 M r ) d t 2 − Σ 4 M a r sin 2 θ d t d φ + Δ Σ d r 2 + Σ d θ 2 + ( r 2 + a 2 + Σ 2 M a 2 r sin 2 θ ) sin 2 θ d φ 2 r 2 + a 2 cos 2 θ , Δ ≡ r 2 − 2 M r + a 2 描写一个转动天体外部时空的精确解，只要两个数：质量 M M M a = J / M a=J/M a = J / M a = 0 a=0 a = 0 d t d φ dt\,d\varphi d t d φ
r ± = M ± M 2 − a 2 ( 视界，要求 ∣ a ∣ ≤ M ) r E ( θ ) = M + M 2 − a 2 cos 2 θ ( 能层外界 ) \begin{aligned} r_{\pm} &= M \pm \sqrt{M^2-a^2} \quad (\text{视界，要求 } |a| \le M) \\ r_{E}(\theta) &= M + \sqrt{M^2-a^2\cos^2\theta} \quad (\text{能层外界}) \end{aligned} r ± r E ( θ ) = M ± M 2 − a 2 ( 视界，要求 ∣ a ∣ ≤ M ) = M + M 2 − a 2 cos 2 θ ( 能层外界 ) 不转的黑洞只有一个视界；一转起来它裂成两个，r + r_+ r + r − r_- r − r + r_+ r + r E r_E r E ∣ a ∣ > M |a|>M ∣ a ∣ > M r ± r_\pm r ±
z = 0 , x 2 + y 2 = a 2 R a b c d R a b c d = 48 M 2 ( r 6 − 15 a 2 r 4 cos 2 θ + 15 a 4 r 2 cos 4 θ − a 6 cos 6 θ ) ( r 2 + a 2 cos 2 θ ) 6 \begin{aligned} & z = 0, \quad x^2+y^2 = a^2 \\ & R_{abcd}R^{abcd} = \frac{48M^2\left(r^6-15a^2r^4\cos^2\theta+15a^4r^2\cos^4\theta-a^6\cos^6\theta\right)}{\left(r^2+a^2\cos^2\theta\right)^6} \end{aligned} z = 0 , x 2 + y 2 = a 2 R ab c d R ab c d = ( r 2 + a 2 cos 2 θ ) 6 48 M 2 ( r 6 − 15 a 2 r 4 cos 2 θ + 15 a 4 r 2 cos 4 θ − a 6 cos 6 θ ) 不转的黑洞，奇点是一个点；克尔黑洞的奇点是一个圈，半径正好是 a a a r r r
M W = M Z cos θ W M_W = M_Z \cos\theta_W M W = M Z cos θ W W 与 Z 的质量不是两个可以各自调的参数，它们被同一个混合角锁在一起。实验测出 W 约 80 GeV、Z 约 91 GeV，比值与理论符合——这不是拟合出来的一致，是理论先说、实验后验。
σ x y = e 2 h C , C = 1 2 π ∫ B Z F x y d 2 k ∈ Z \sigma_{xy} = \frac{e^2}{h}\,C,\qquad C = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathrm{BZ}} \mathcal{F}_{xy}\,\mathrm{d}^2k \in \mathbb{Z} σ x y = h e 2 C , C = 2 π 1 ∫ BZ F x y d 2 k ∈ Z 量子霍尔平台上的那个整数，是电子波函数在整个动量空间上绕转次数的积分——数学上叫陈数。整数没法连续地变，所以杂质、形状、材料的差别都撼动不了它。这解释了平台为什么能准到十亿分之一。
Q = C e , C ∈ Z Q = C\,e,\qquad C \in \mathbb{Z} Q = C e , C ∈ Z 让一维势场缓慢地走完一个周期，被搬运过去的电荷不是任意值，而是整数个基本电荷。抽运的快慢、势场的具体形状都不影响这个整数——又一个拓扑不变量，2016 年前后在冷原子实验中被直接看到。
Ω 重子 + Ω 冷暗物质 + Ω Λ ≈ 0.05 + 0.27 + 0.68 = 1 \begin{aligned} &\Omega_{\text{重子}} + \Omega_{\text{冷暗物质}} + \Omega_{\Lambda} \\ &\quad \approx 0.05 + 0.27 + 0.68 = 1 \end{aligned} Ω 重子 + Ω 冷暗物质 + Ω Λ ≈ 0.05 + 0.27 + 0.68 = 1 皮布尔斯 1982 年让冷暗物质进入结构形成的计算，1984 年又把宇宙学常数请回方程，宇宙学标准模型的三样成分就此凑齐。三项相加等于 1，意味着空间在大尺度上是平的。今天这三个数已经被观测定到小数点后两位——而人类真正认识的，只有排在最前面的那 5%。
( a ˙ a ) 2 = H 0 2 [ Ω m a 3 + Ω r a 4 + Ω Λ ] \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^{2} = H_0^2\left[\frac{\Omega_m}{a^3} + \frac{\Omega_r}{a^4} + \Omega_{\Lambda}\right] ( a a ˙ ) 2 = H 0 2 [ a 3 Ω m + a 4 Ω r + Ω Λ ] 弗里德曼方程写成这个样子，就装下了标准宇宙学模型的全部动力学。右边三项分别是物质、辐射与宇宙学常数对膨胀的贡献：物质随体积稀释，所以掉一个 a − 3 a^{-3} a − 3
d g d ln μ = β ( g ) \frac{dg}{d\ln \mu} = \beta(g) d ln μ d g = β ( g ) 耦合常数不是固定的数，而是随观测尺度变化的量。改变尺度，参数沿着一条「流」移动；流的固定点决定了体系在大尺度上的行为。
ν , β , γ 只依赖维数与对称性 \nu,\ \beta,\ \gamma \ \text{只依赖维数与对称性} ν , β , γ 只依赖维数与对称性 水的临界点与铁磁的居里点，微观结构毫无共同之处，临界指数却完全相同。原因是粗粒化会把细节一层层冲刷掉，只有维数与对称性留到最后。
T 系统 = T 接收机 + T 大气 + T 地面漏入 + T 天线损耗 + T 剩下的 \begin{aligned} T_{\text{系统}} = \ &T_{\text{接收机}} + T_{\text{大气}} + T_{\text{地面漏入}} \\ &+ T_{\text{天线损耗}} + T_{\text{剩下的}} \end{aligned} T 系统 = T 接收机 + T 大气 + T 地面漏入 + T 天线损耗 + T 剩下的 射电天文的日常工作就是这条加法：把测到的系统噪声温度拆成几份，逐项独立标定、逐项减掉。1964 年他们把每一项都量了个遍——大气那项靠改变天线仰角、拟合随高度角的余割变化得到——最后剩下 3.5 开尔文怎么也去不掉，而且不随方向、时间、季节变化。所谓「发现」，形式上就是一个减不掉的余项。
C O ( J = 1 → 0 ) : ν = 115.27 G H z , λ = 2.6 m m \begin{aligned} &\mathrm{CO}\ (J{=}1 \to 0): \\ &\quad \nu = 115.27\ \mathrm{GHz}, \quad \lambda = 2.6\ \mathrm{mm} \end{aligned} CO ( J = 1 → 0 ) : ν = 115.27 GHz , λ = 2.6 mm 星际分子云的主要成分是氢分子，可是氢分子在低温下几乎不发射谱线，看不见。一氧化碳的含量只有氢的万分之一，却有一条容易激发、容易观测的转动谱线。1970 年威尔逊等人在猎户座星云中第一次测到它，此后半个世纪，天文学家画银河系的分子云地图、找恒星的诞生地，用的都是这条 2.6 毫米的线。
m 2 = ( E 1 + E 2 ) 2 − ( p ⃗ 1 + p ⃗ 2 ) 2 m^2 = (E_1 + E_2)^2 - (\vec{p}_1 + \vec{p}_2)^2 m 2 = ( E 1 + E 2 ) 2 − ( p 1 + p 2 ) 2 把探测到的一对正负电子的能量与动量加起来，算出的这个量就是产生它们的那个粒子的质量。丁肇中那台谱仪的过人之处，是把这个量的误差压到千分之一——正因为如此，3.1 GeV 处那个窄得离谱的尖峰才没有被抹平。
ρ x y = h ν e 2 , ν = 1 3 \rho_{xy} = \frac{h}{\nu e^{2}}, \qquad \nu = \frac{1}{3} ρ x y = ν e 2 h , ν = 3 1 冯·克利青看到的平台落在 ν \nu ν 3 h / e 2 3h/e^2 3 h / e 2 ν = 1 / 3 \nu = 1/3 ν = 1/3
ν = n h e B \nu = \frac{n\,h}{e\,B} ν = e B n h 强磁场把二维电子的状态切成一级级朗道能级，每一级能容纳的电子数与磁场成正比。ν \nu ν n n n ν \nu ν ν = 1 / 3 \nu = 1/3 ν = 1/3
I = I c sin ( Δ φ ) , d ( Δ φ ) d t = 2 e V ℏ I = I_c \sin(\Delta\varphi), \qquad \frac{d(\Delta\varphi)}{dt} = \frac{2eV}{\hbar} I = I c sin ( Δ φ ) , d t d ( Δ φ ) = ℏ 2 e V 上面一条说：零电压下也能有电流，大小由两侧超导体的量子相位差决定。下面一条说：一旦加上电压，相位差就随时间匀速增长，电流因此变成交流，频率只由电压与两个基本常数定。今天的伏特基准与超导量子比特都建在这两行上。
u ˉ i U i j d j \bar{u}_i \, U_{ij} \, d_j u ˉ i U ij d j 弱相互作用把上型夸克（u u u c c c t t t d d d s s s b b b N × N N \times N N × N U U U N N N U U U
u i → e i α i u i , d j → e i β j d j U i j → e i ( α i − β j ) U i j \begin{aligned} u_i &\to e^{i\alpha_i} u_i, \quad d_j \to e^{i\beta_j} d_j \\ U_{ij} &\to e^{i(\alpha_i - \beta_j)} \, U_{ij} \end{aligned} u i U ij → e i α i u i , d j → e i β j d j → e i ( α i − β j ) U ij 夸克场是复数，给每一个乘上任意相位，物理不变，但 U U U 2 N 2N 2 N 2 N 2N 2 N U U U U U U 2 N − 1 2N - 1 2 N − 1
N ( N + 1 ) 2 − ( 2 N − 1 ) = ( N − 1 ) ( N − 2 ) 2 \begin{aligned} &\frac{N(N+1)}{2} - (2N - 1) \\ &= \frac{(N-1)(N-2)}{2} \end{aligned} 2 N ( N + 1 ) − ( 2 N − 1 ) = 2 ( N − 1 ) ( N − 2 ) 益川诺贝尔演讲的核心一步。N × N N \times N N × N N ( N + 1 ) / 2 N(N+1)/2 N ( N + 1 ) /2 2 N − 1 2N-1 2 N − 1 N = 1 N = 1 N = 1 N = 2 N = 2 N = 2 N = 3 N = 3 N = 3
N 2 = N ( N − 1 ) 2 ⏟ 转角 + N ( N + 1 ) 2 ⏟ 相位 N^2 = \underbrace{\frac{N(N-1)}{2}}_{\text{转角}} + \underbrace{\frac{N(N+1)}{2}}_{\text{相位}} N 2 = 转角 2 N ( N − 1 ) + 相位 2 N ( N + 1 ) 一个 N × N N \times N N × N N 2 N^2 N 2
h + , × ∼ 2 G c 4 r Q ¨ h_{+,\times} \sim \frac{2G}{c^4 r}\,\ddot{Q} h + , × ∼ c 4 r 2 G Q ¨ 引力波的强度正比于源的质量四极矩的二阶导数，除以 c 的四次方——分母那个天文数字般巨大的常数，正是引力波如此微弱的原因。要产生可探测的波，必须是恒星质量的天体在以接近光速的方式运动。
E 电子 = n ℏ ω − I p , n > n min E_{\text{电子}} = n\hbar\omega - I_p, \qquad n > n_{\min} E 电子 = n ℏ ω − I p , n > n m i n 1979 年他发现的现象：原子在强激光里不止吸收「刚好够电离」的那些光子，还会继续多吸几个，于是光电子能谱上出现一串等间距的峰，间距正是一个光子的能量。这打破了当时的图像——电离不是一道门槛过去就完事，电子在自由态之间还能继续吸收。这套物理后来成了整个强场激光原子物理的起点。
Δ t 间隔 = T 0 2 ≈ 1.3 f s ( λ 0 = 800 n m ) \Delta t_{\text{间隔}} = \frac{T_0}{2} \approx 1.3\ \mathrm{fs} \quad (\lambda_0 = 800\ \mathrm{nm}) Δ t 间隔 = 2 T 0 ≈ 1.3 fs ( λ 0 = 800 nm ) 高次谐波是每半个驱动光周期产生一次，所以叠加出来的是一串等间隔脉冲，而不是单个闪光。800 纳米激光的周期是 2.67 飞秒，脉冲间隔就是 1.33 飞秒；2001 年他测出串里每个脉冲本身宽 250 阿秒。
β ( g ) = μ ∂ g ∂ μ = − g 3 16 π 2 ( 11 − 2 3 n f ) + O ( g 5 ) α s ( Q 2 ) = 12 π ( 33 − 2 n f ) ln ( Q 2 / Λ 2 ) \begin{aligned} \beta(g) &= \mu\frac{\partial g}{\partial \mu} = -\frac{g^{3}}{16\pi^{2}}\left(11 - \frac{2}{3}n_{f}\right) + O(g^{5}) \\ \alpha_{s}(Q^{2}) &= \frac{12\pi}{(33 - 2n_{f})\,\ln\!\left(Q^{2}/\Lambda^{2}\right)} \end{aligned} β ( g ) α s ( Q 2 ) = μ ∂ μ ∂ g = − 16 π 2 g 3 ( 11 − 3 2 n f ) + O ( g 5 ) = ( 33 − 2 n f ) ln ( Q 2 / Λ 2 ) 12 π β 函数是耦合强度随能量标度变化的速率。括号里两项在拔河：− 2 3 n f -\frac{2}{3}n_f − 3 2 n f 11 11 11 Q Q Q α s \alpha_s α s b 1 = − 11 / 2 + n F / 3 b_1 = -11/2 + n_F/3 b 1 = − 11/2 + n F /3
ω ˙ = 3 ( P b 2 π ) − 5 / 3 ( T ⊙ M ) 2 / 3 1 − e 2 \dot\omega = 3\left(\frac{P_b}{2\pi}\right)^{-5/3}\frac{(T_\odot M)^{2/3}}{1 - e^2} ω ˙ = 3 ( 2 π P b ) − 5/3 1 − e 2 ( T ⊙ M ) 2/3 水星的近日点每世纪多转 43 角秒，已经是太阳系里最大的相对论效应。PSR 1913+16 的椭圆轨道每年转过约 4.2 度，快三万多倍。这个速率只取决于两星总质量 M M M T ⊙ = G M ⊙ / c 3 T_\odot = GM_\odot/c^3 T ⊙ = G M ⊙ / c 3
P ˙ b = − 192 π 5 ( P b 2 π ) − 5 / 3 T ⊙ 5 / 3 m 1 m 2 M 1 / 3 × 1 + 73 24 e 2 + 37 96 e 4 ( 1 − e 2 ) 7 / 2 \begin{aligned} \dot P_b = &-\frac{192\pi}{5}\left(\frac{P_b}{2\pi}\right)^{-5/3} T_\odot^{5/3}\,\frac{m_1 m_2}{M^{1/3}} \\ &\times \frac{1 + \frac{73}{24}e^2 + \frac{37}{96}e^4}{(1 - e^2)^{7/2}} \end{aligned} P ˙ b = − 5 192 π ( 2 π P b ) − 5/3 T ⊙ 5/3 M 1/3 m 1 m 2 × ( 1 − e 2 ) 7/2 1 + 24 73 e 2 + 96 37 e 4 广义相对论说，两颗星互相绕转会不断辐射引力波，带走轨道能量，轨道周期 P b P_b P b e ≈ 0.617 e \approx 0.617 e ≈ 0.617 2.40 × 10 − 12 2.40 \times 10^{-12} 2.40 × 1 0 − 12
Δ T ( t ) ≈ 1 2 P ˙ b P b t 2 \Delta T(t) \approx \frac{1}{2}\,\frac{\dot P_b}{P_b}\,t^2 Δ T ( t ) ≈ 2 1 P b P ˙ b t 2 每年 76 微秒的周期缩短微不足道，可它会累积：如果轨道周期从 1974 年起一直不变，近星点应该按时到达；实际上它一年比一年来得早，提前量随时间的平方增长。三十年下来累计约 40 秒——那条从零向下弯的抛物线，是泰勒团队最有名的一张图。
τ = d n + 1 d n = 1 + 5 2 ≈ 1.618 … \tau = \frac{d_{n+1}}{d_{n}} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618\ldots τ = d n d n + 1 = 2 1 + 5 ≈ 1.618 … 这是他在诺奖演讲幻灯里亲自指出的一条读数。从衍射图的中心亮斑向外数，相邻两个亮斑到中心的距离之比 d n + 1 / d n d_{n+1}/d_n d n + 1 / d n τ \tau τ
6 × C 5 , 10 × C 3 , 15 × C 2 6 \times C_{5}, \qquad 10 \times C_{3}, \qquad 15 \times C_{2} 6 × C 5 , 10 × C 3 , 15 × C 2 他看到的不是一条五次轴，而是一整套二十面体对称：六条五次轴、十条三次轴、十五条二次轴。这也是他能在两年里顶住「孪晶」这个解释的底气——孪晶可以凑出一个方向上的假十次图样，却凑不出六条彼此成特定角度的独立五次轴。他的办法很朴素：把样品在镜下一点点转过去，让每一条轴依次对准电子束，一条条拍下来。
F n + 1 F n ⟶ τ , τ 2 = τ + 1 \frac{F_{n+1}}{F_{n}} \longrightarrow \tau, \qquad \tau^{2} = \tau + 1 F n F n + 1 ⟶ τ , τ 2 = τ + 1 他常用这个例子向听众解释「准周期」到底是什么意思。斐波那契数列的相邻两项之比越来越接近 τ \tau τ τ \tau τ τ 2 = τ + 1 \tau^{2}=\tau+1 τ 2 = τ + 1 τ \tau τ
S = ∣ E ( a , b ) − E ( a , b ′ ) + E ( a ′ , b ) + E ( a ′ , b ′ ) ∣ S ≤ 2 ( 局域实在论 ) , S 量子 = 2 2 \begin{aligned} S &= |E(a,b) - E(a,b') + E(a',b) + E(a',b')| \\ S &\le 2 \quad (\text{局域实在论}), \qquad S_{\text{量子}} = 2\sqrt{2} \end{aligned} S S = ∣ E ( a , b ) − E ( a , b ′ ) + E ( a ′ , b ) + E ( a ′ , b ′ ) ∣ ≤ 2 ( 局域实在论 ) , S 量子 = 2 2 1969 年与霍恩、希莫尼、霍尔特把贝尔的原始不等式改写成这个样子：两处各有两种测量方向可选，四组关联的这个组合在任何局域隐变量理论里都不能超过 2，而量子力学允许它达到 2.83。改写的意义在于它对探测效率与仪器缺陷不再苛刻，真实实验做得出来。此后所有贝尔实验都用这个判据。
δ = ∣ R ( 22.5 ∘ ) R 0 − R ( 67.5 ∘ ) R 0 ∣ − 1 4 ≤ 0 \delta = \left|\frac{R(22.5^\circ)}{R_0} - \frac{R(67.5^\circ)}{R_0}\right| - \frac{1}{4} \le 0 δ = R 0 R ( 22. 5 ∘ ) − R 0 R ( 67. 5 ∘ ) − 4 1 ≤ 0 1972 年实验实际用的形式：只需在两个特定角度上数符合计数，再与撤掉偏振片时的计数相比。测出来的是 δ = 0.050 ± 0.008 \delta = 0.050 \pm 0.008 δ = 0.050 ± 0.008
T H = ℏ c 3 8 π G M k B T_H = \frac{\hbar c^3}{8\pi G M k_B} T H = 8 π GM k B ℏ c 3 黑洞不是绝对零度的坟墓，它有温度——而且质量越小反而越热。太阳质量的黑洞只有约亿分之六开，小黑洞却会越蒸发越烫，最终在爆炸中谢幕。
S = k B c 3 A 4 G ℏ S = \frac{k_B c^3 A}{4 G \hbar} S = 4 G ℏ k B c 3 A 黑洞能记下多少「信息」，不由它的体积决定，而由视界的表面积决定——这颗种子后来长成了全息原理。
Δ λ λ = v r c ≈ 2 × 10 − 7 \frac{\Delta\lambda}{\lambda} = \frac{v_r}{c} \approx 2\times 10^{-7} λ Δ λ = c v r ≈ 2 × 1 0 − 7 行星绕转时，恒星也绕着共同质心画小圈，于是谱线周期性地一红一蓝。51 飞马座的速度摆幅是每秒 59 米——比人走路快不了多少，落到谱线上只有两千万分之一的相对位移。能不能量到这个数，就是能不能发现行星。
K = 59 m / s , P = 4.23 天 ⇒ m p sin i = 0.47 M 木星 , a = 0.05 A U \begin{aligned} K &= 59\ \mathrm{m/s}, \qquad P = 4.23\ \text{天} \\ \Rightarrow\ m_p\sin i &= 0.47\,M_{\text{木星}}, \qquad a = 0.05\ \mathrm{AU} \end{aligned} K ⇒ m p sin i = 59 m/s , P = 4.23 天 = 0.47 M 木星 , a = 0.05 AU 从速度摆幅与周期，就能反推出行星的质量下限与轨道半径。结果是一颗木星量级的天体，却贴着恒星转，四天多一圈，距离只有日木距离的百分之一。这三个数当年最不可信的就是那个 4.23——太阳系里没有任何东西长这样。
P = 1.337 s P = 1.337\ \mathrm{s} P = 1.337 s 信号每 1.337 秒重复一次，稳定到可以当钟用。这么快的规律闪烁只能来自极小的天体——一颗直径约二十公里、每秒自转一圈的中子星。
ρ ∼ 10 17 k g / m 3 \rho \sim 10^{17}\ \mathrm{kg/m^3} ρ ∼ 1 0 17 kg/ m 3 一茶匙的中子星物质约重十亿吨。整个太阳的质量被压进一座城市大小的球里，靠中子简并压勉强撑住。
F = ( π J − 2 k B T ) ln R a ⟹ T K T = π J 2 k B F = (\pi J - 2k_BT)\ln\frac{R}{a} \;\Longrightarrow\; T_{\mathrm{KT}} = \frac{\pi J}{2k_B} F = ( π J − 2 k B T ) ln a R ⟹ T KT = 2 k B π J 造一个涡旋要花的能量随体系尺寸对数增长，而它能待的位置数也随尺寸增长，于是熵也是对数。能量减去温度乘熵，两个对数一比，就得到一个转折温度：低于它，涡旋只能正反成对锁住；高于它，涡旋自由游荡，有序状态崩塌。
ρ s ( T K T − ) T K T = 2 m 2 k B π ℏ 2 \frac{\rho_s(T_{\mathrm{KT}}^-)}{T_{\mathrm{KT}}} = \frac{2m^2k_B}{\pi\hbar^2} T KT ρ s ( T KT − ) = π ℏ 2 2 m 2 k B 与纳尔逊合作得到的判决性预言：二维超流膜在相变点上，超流密度不是缓慢降到零，而是从一个由基本常数与氦原子质量定死的值直接跳到零。这个数字与薄膜多厚、多脏、怎么做的全无关系——正因为如此，实验一测就知道理论对不对。
ν e + d → p + p + e − \nu_e + d \to p + p + e^- ν e + d → p + p + e − 只有电子中微子能把氘核里的中子变成质子并打出一个电子，阈能 1.44 MeV。电子在重水里跑得比光在重水中还快，拖出一圈切连科夫光锥，由九千多个光电倍增管记下。它数的是「还保持电子味的那部分」。
ν x + d → ν x + p + n \nu_x + d \to \nu_x + p + n ν x + d → ν x + p + n 电子、μ、τ 三味中微子都能以同样的概率把氘核打散，阈能 2.2 MeV。它数的是「所有中微子加起来」。难处在于放出的只是一个中子，任何能量超过 2.2 MeV 的放射性伽马射线也能照样把氘核打散——所以整个探测器必须干净到极点。
ν x + e − → ν x + e − \nu_x + e^- \to \nu_x + e^- ν x + e − → ν x + e − 中微子与电子的弹性碰撞，任何水里都会发生，超级神冈用的就是它。三味都能参与，但对太阳能区的电子中微子灵敏度约为另两味的六倍；反冲电子几乎顺着来自太阳的方向飞出，靠方向就能挑出来。
ϕ C C ϕ N C = 0.317 ± 0.016 ± 0.009 \frac{\phi_{\mathrm{CC}}}{\phi_{\mathrm{NC}}} = 0.317 \pm 0.016 \pm 0.009 ϕ NC ϕ CC = 0.317 ± 0.016 ± 0.009 SNO 三个阶段的合并分析：到达地球的硼-8 中微子里，仍是电子味的只占约三分之一（两项误差分别为统计与系统误差）。而中性流测出的总通量 5.25 × 10 6 5.25\times10^{6} 5.25 × 1 0 6 / ( c m 2 ⋅ s ) /(\mathrm{cm}^2\cdot\mathrm{s}) / ( cm 2 ⋅ s )
R H = h ν e 2 , ν = 1 , 2 , 3 , … R_H = \frac{h}{\nu e^2},\qquad \nu = 1,2,3,\dots R H = ν e 2 h , ν = 1 , 2 , 3 , … 二维电子在强磁场低温下，横向电阻不是连续变化，而是精确地落在 h/e² 的整数分之一上。精度可达十亿分之一，而且换样品、换材料、换形状都不变。
R K = h e 2 = 25812.807 45 Ω R_K = \frac{h}{e^2} = 25812.807\,45\ \Omega R K = e 2 h = 25812.807 45 Ω 1990 年起全世界的电阻标准由它维持；2019 年国际单位制改革后，普朗克常数与基本电荷都成为定义值，这个数字因此是精确的。
( d ′ s ′ ) = V ( d s ) V = ( cos θ sin θ − sin θ cos θ ) \begin{aligned} \begin{pmatrix} d' \\ s' \end{pmatrix} &= V \begin{pmatrix} d \\ s \end{pmatrix} \\ V &= \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \end{aligned} ( d ′ s ′ ) V = V ( d s ) = ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) 弱相互作用看到的不是 d d d s s s d ′ d' d ′ s ′ s' s ′
V u s ≈ λ , V c b ≈ A λ 2 V u b ≈ A λ 3 ( ρ − i η ) V t d ≈ A λ 3 ( 1 − ρ − i η ) \begin{aligned} V_{us} &\approx \lambda, \quad V_{cb} \approx A\lambda^2 \\ V_{ub} &\approx A\lambda^3(\rho - i\eta) \\ V_{td} &\approx A\lambda^3(1 - \rho - i\eta) \end{aligned} V u s V u b V t d ≈ λ , V c b ≈ A λ 2 ≈ A λ 3 ( ρ − i η ) ≈ A λ 3 ( 1 − ρ − i η ) 六种夸克时混合矩阵是 3×3，重定相位之后仍然消不掉一个复数，这里写成 η \eta η λ \lambda λ V u b V_{ub} V u b V t d V_{td} V t d η ≠ 0 \eta \neq 0 η = 0
V u d V u b ∗ + V c d V c b ∗ + V t d V t b ∗ = 0 V_{ud}V_{ub}^{*} + V_{cd}V_{cb}^{*} + V_{td}V_{tb}^{*} = 0 V u d V u b ∗ + V c d V c b ∗ + V t d V t b ∗ = 0 矩阵幺正，第一列与第三列就正交。三个复数相加为零，在复平面上首尾相接围成一个三角形；η ≠ 0 \eta \neq 0 η = 0
A ( Δ t ) ∝ sin 2 ϕ 1 sin ( Δ m d Δ t ) A(\Delta t) \propto \sin 2\phi_1 \, \sin(\Delta m_d \, \Delta t) A ( Δ t ) ∝ sin 2 ϕ 1 sin ( Δ m d Δ t ) 在 B 工厂里，B 0 B^0 B 0 B 0 B^0 B 0 J / ψ K S J/\psi K_S J / ψ K S Δ t \Delta t Δ t ϕ 1 \phi_1 ϕ 1 sin 2 ϕ 1 \sin 2\phi_1 sin 2 ϕ 1 sin 2 ϕ 1 = 0.99 ± 0.14 ± 0.06 \sin 2\phi_1 = 0.99 \pm 0.14 \pm 0.06 sin 2 ϕ 1 = 0.99 ± 0.14 ± 0.06 0.59 ± 0.14 ± 0.05 0.59 \pm 0.14 \pm 0.05 0.59 ± 0.14 ± 0.05
F sat = ℏ ω σ a F_{\text{sat}} = \frac{\hbar\omega}{\sigma_a} F sat = σ a ℏ ω 放大器要把储存的能量取干净，每平方厘米通过的能量得接近饱和通量 F sat F_{\text{sat}} F sat σ a \sigma_a σ a
B = 2 π λ ∫ 0 L n 2 I ( z ) d z B = \frac{2\pi}{\lambda}\int_0^L n_2\, I(z)\, \mathrm{d}z B = λ 2 π ∫ 0 L n 2 I ( z ) d z 光强太高时折射率变成 n = n 0 + n 2 I n = n_0 + n_2 I n = n 0 + n 2 I B B B L L L I I I B B B
a 0 = e E m e c ω ≈ 0.85 λ [ μ m ] I 10 18 W/cm 2 \begin{aligned} a_0 &= \frac{eE}{m_e c\,\omega} \\ &\approx 0.85\,\lambda_{[\mu\text{m}]} \sqrt{\frac{I}{10^{18}\ \text{W/cm}^2}} \end{aligned} a 0 = m e c ω e E ≈ 0.85 λ [ μ m ] 1 0 18 W/cm 2 I 电子在激光场里一个周期内被加速到的动量，以 m e c m_e c m e c a 0 a_0 a 0 10 18 10^{18} 1 0 18
E S = m e 2 c 3 e ℏ ≈ 1.3 × 10 18 V/m E_S = \frac{m_e^2 c^3}{e\hbar} \approx 1.3 \times 10^{18}\ \text{V/m} E S = e ℏ m e 2 c 3 ≈ 1.3 × 1 0 18 V/m 电场强到在一个电子康普顿波长的距离上做的功等于电子静能时，真空本身会「击穿」，凭空产生电子—正电子对。对应光强约在 10 29 10^{29} 1 0 29
T ( θ ) ≈ T 0 ( 1 + v c cos θ ) T(\theta) \approx T_0\left(1 + \frac{v}{c}\cos\theta\right) T ( θ ) ≈ T 0 ( 1 + c v cos θ ) 观测者相对微波背景运动时，迎面方向的辐射因多普勒效应显得稍热、背面稍冷，两者相差千分之一左右。COBE 测得偶极幅度 3.37 毫开，折合太阳系相对微波背景约每秒 370 公里。斯穆特小组 1976 年在 U-2 飞机上测它，要找的本来是宇宙是否在转动。
Δ T T ( θ , ϕ ) = ∑ ℓ , m a ℓ m Y ℓ m ( θ , ϕ ) \frac{\Delta T}{T}(\theta, \phi) = \sum_{\ell, m} a_{\ell m}\, Y_{\ell m}(\theta, \phi) T Δ T ( θ , ϕ ) = ℓ , m ∑ a ℓ m Y ℓ m ( θ , ϕ ) 把全天温度图拆成一层层球谐函数：ℓ = 1 \ell = 1 ℓ = 1 ℓ = 2 \ell = 2 ℓ = 2 ℓ \ell ℓ ℓ \ell ℓ
Δ T r m s = 30 ± 5 μ K , Δ T T ≈ 1.1 × 10 − 5 \Delta T_{\mathrm{rms}} = 30 \pm 5\ \mu\mathrm{K}, \quad \frac{\Delta T}{T} \approx 1.1 \times 10^{-5} Δ T rms = 30 ± 5 μ K , T Δ T ≈ 1.1 × 1 0 − 5 1992 年 DMR 第一年全天图扣掉偶极、平滑到 10 度后，剩下的起伏均方根约 30 微开，是平均温度的十万分之一。这就是后来星系与星系团长出来的种子。
P ( k ) ∝ k n , n = 1.1 ± 0.5 P(k) \propto k^{n}, \quad n = 1.1 \pm 0.5 P ( k ) ∝ k n , n = 1.1 ± 0.5 起伏在各个尺度上的强弱遵循幂律；n = 1 n = 1 n = 1 n n n
∣ G H Z ⟩ = 1 2 ( ∣ ↑ ↑ ↑ ⟩ + ∣ ↓ ↓ ↓ ⟩ ) |\mathrm{GHZ}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|{\uparrow\uparrow\uparrow}\rangle + |{\downarrow\downarrow\downarrow}\rangle\right) ∣ GHZ ⟩ = 2 1 ( ∣ ↑↑↑ ⟩ + ∣ ↓↓↓ ⟩ ) 三个粒子的纠缠态。它的厉害之处在于：只要测出其中两个的结果，第三个的结果就能百分之百确定地推出来——而这一组「完美关联」是任何局域隐变量理论都写不出来的。于是判决不再需要统计与不等式，一次测量的结果就能排除局域实在论。1989 年由格林伯格、霍恩与蔡林格提出，1999 年他的小组把三光子 GHZ 态真的做了出来。
∣ χ ⟩ A → 1 对纠缠 + 2 比特经典信息 ∣ χ ⟩ B |\chi\rangle_A \;\xrightarrow{\ \text{1 对纠缠} \,+\, \text{2 比特经典信息}\ }\; |\chi\rangle_B ∣ χ ⟩ A 1 对纠缠 + 2 比特经典信息 ∣ χ ⟩ B 一个未知的量子态没法被复制（复制定理禁止），但可以被「搬」过去：甲乙先共享一对纠缠粒子，甲把待传的粒子与自己那半做联合测量，再把两比特的测量结果用普通信道告诉乙，乙据此做一次操作，手上的粒子就变成了原来那个态——而甲手上的原件在测量中已被摧毁。经典信息必须走普通信道，所以并不超光速。
B ν ( T ) = 2 h ν 3 c 2 1 e h ν / k T − 1 , T = 2.725 K B_\nu(T) = \frac{2h\nu^3}{c^2}\,\frac{1}{e^{h\nu/kT}-1}, \quad T = 2.725\ \mathrm{K} B ν ( T ) = c 2 2 h ν 3 e h ν / k T − 1 1 , T = 2.725 K FIRAS 不直接量天空有多亮，而是让天空和一块温度可调的人造黑体轮流进同一台干涉仪、只量两者之差。1990 年初步结果与黑体的偏差不到峰值的 1%；1996 年用全部数据再算，偏差的均方根不到峰值的百万分之五十。
n ( ν ) = 1 e h ν / k T + μ − 1 , ∣ μ ∣ < 9 × 10 − 5 n(\nu) = \frac{1}{e^{h\nu/kT + \mu} - 1}, \quad |\mu| < 9\times 10^{-5} n ( ν ) = e h ν / k T + μ − 1 1 , ∣ μ ∣ < 9 × 1 0 − 5 宇宙诞生后几个月到几年之间若有能量注入（比如某种粒子衰变），光子来不及重新调成黑体，谱上会留下一个「化学势」μ \mu μ
y = ∫ k ( T e − T γ ) m e c 2 d τ e , ∣ y ∣ < 1.5 × 10 − 5 y = \int \frac{k(T_e - T_\gamma)}{m_e c^2}\, d\tau_e, \quad |y| < 1.5\times 10^{-5} y = ∫ m e c 2 k ( T e − T γ ) d τ e , ∣ y ∣ < 1.5 × 1 0 − 5 更晚的能量注入会让热电子把光子往高频踢，谱变成几个温度黑体的混合，程度用 y y y
d = 4 − ε d = 4 - \varepsilon d = 4 − ε 与韦尔特曼一起发明的技巧：把时空维数当成一个可以稍微偏离 4 的连续变量，无穷大就变成 1/ε 的极点，能被有条理地扣掉，而且不破坏规范对称性。这是关键——别的正规化方法都会破坏它。
S ≤ A 4 ℓ P 2 S \le \frac{A}{4\ell_P^2} S ≤ 4 ℓ P 2 A 一个区域里能装下的最大信息量，不正比于它的体积，而正比于它的表面积。特霍夫特 1993 年由黑洞熵推出这条，暗示三维空间中的物理也许可以完全编码在二维边界上。
τ 切换 ≈ 10 n s ≪ L c = 12 m c ≈ 40 n s \tau_{\text{切换}} \approx 10\ \mathrm{ns} \;\ll\; \frac{L}{c} = \frac{12\ \mathrm{m}}{c} \approx 40\ \mathrm{ns} τ 切换 ≈ 10 ns ≪ c L = c 12 m ≈ 40 ns 两台偏振分析器相距 12 米，光子从中点飞到任一台需要约 40 纳秒。若能在这 40 纳秒之内改变测量方向，那么一边「选了测什么」的消息即使以光速传播，也赶不及影响另一边。1982 年那台实验用声光开关每约 10 纳秒切换一次通道，条件成立。
− 1 ≤ S ≤ 0 ( 局域实在论 ) S 实验 = 0.101 ± 0.020 S 量子 = 0.112 \begin{aligned} -1 \le\ &S \le 0 \quad (\text{局域实在论}) \\ &S_{\text{实验}} = 0.101 \pm 0.020 \\ &S_{\text{量子}} = 0.112 \end{aligned} − 1 ≤ S ≤ 0 ( 局域实在论 ) S 实验 = 0.101 ± 0.020 S 量子 = 0.112 局域实在论要求这个组合落在 −1 与 0 之间，量子力学预言 0.112。实验测出 0.101 ± 0.020 0.101 \pm 0.020 0.101 ± 0.020
S = η k B c 3 A G ℏ , η = ln 2 8 π ≈ 0.028 S = k B c 3 A 4 G ℏ \begin{aligned} S &= \eta\,\frac{k_B c^3 A}{G\hbar}, \qquad \eta = \frac{\ln 2}{8\pi} \approx 0.028 \\ S &= \frac{k_B c^3 A}{4 G\hbar} \end{aligned} S S = η G ℏ k B c 3 A , η = 8 π ln 2 ≈ 0.028 = 4 G ℏ k B c 3 A 上一行是贝肯斯坦的原始结论。他没有能力算出那个比例常数，只能估：黑洞吞掉一个粒子，视界面积最少增加一个普朗克面积的量级，而外界因此少知道「这个粒子在不在里面」这一个比特，熵该增加 k B ln 2 k_B\ln 2 k B ln 2 ln 2 / 8 π \ln 2/8\pi ln 2/8 π 1 / 4 1/4 1/4
S ≤ 2 π k B R E ℏ c S \le \frac{2\pi k_B R E}{\hbar c} S ≤ ℏ c 2 π k B R E 装在半径 R R R E E E
a ( t ) ∝ e H t , H = 8 π G ρ 真空 3 a(t) \propto e^{Ht}, \qquad H = \sqrt{\frac{8\pi G\, \rho_{\text{真空}}}{3}} a ( t ) ∝ e H t , H = 3 8 π G ρ 真空 普通物质越膨胀越稀，所以引力总在给膨胀踩刹车。但一片「假真空」——被困在高能量状态里的标量场——的能量密度不随体积稀释，ρ \rho ρ H H H 10 − 35 10^{-35} 1 0 − 35 e 60 e^{60} e 60 10 26 10^{26} 1 0 26
Ω ( t ) − 1 = k c 2 a 2 H 2 ∝ e − 2 H t ( 暴胀期间 ) \begin{aligned} \Omega(t) - 1 &= \frac{kc^{2}}{a^{2}H^{2}} \\[2pt] &\propto e^{-2Ht} \quad (\text{暴胀期间}) \end{aligned} Ω ( t ) − 1 = a 2 H 2 k c 2 ∝ e − 2 H t ( 暴胀期间 ) Ω \Omega Ω a 2 H 2 a^2H^2 a 2 H 2 Ω \Omega Ω H H H a a a
P ( k ) ∝ k n s − 1 , n s = 0.965 ± 0.004 \mathcal{P}(k) \propto k^{\,n_s - 1}, \qquad n_s = 0.965 \pm 0.004 P ( k ) ∝ k n s − 1 , n s = 0.965 ± 0.004 暴胀把真空里的量子涨落拉到宏观尺度并冻结下来，留下各个尺度上强度几乎相同的密度起伏——今天所有星系的种子。n s = 1 n_s = 1 n s = 1 n s = 0.965 ± 0.004 n_s = 0.965 \pm 0.004 n s = 0.965 ± 0.004
六束频率略低于共振的激光从各个方向照向原子。原子朝哪边跑，迎面那束光因多普勒效应更接近共振、吸收得更多，于是总被往回推——合起来就是一个与速度成正比的阻力，像在糖浆里行走。阻尼降温、光子反冲的随机踢打升温，两者平衡在多普勒极限 k B T D = ℏ Γ / 2 k_B T_D = \hbar\Gamma/2 k B T D = ℏΓ/2
Δ ϕ = k eff g T 2 \Delta\phi = k_{\text{eff}}\, g\, T^{2} Δ ϕ = k eff g T 2 用三个激光脉冲把一团下落的冷原子分成两路、各自走一段、再合回来，两路的相位差正比于重力加速度 g g g T T T k eff k_{\text{eff}} k eff g g g
V ( ϕ ) = 1 2 m 2 ϕ 2 , 3 H ϕ ˙ ≃ − V ′ ( ϕ ) V(\phi) = \tfrac{1}{2} m^{2} \phi^{2}, \qquad 3H\dot{\phi} \simeq -V'(\phi) V ( ϕ ) = 2 1 m 2 ϕ 2 , 3 H ϕ ˙ ≃ − V ′ ( ϕ ) 古斯与新暴胀都得先有一锅高温、一次相变、一段过冷，宇宙才能开始暴胀。林德 1983 年把这些前提全部扔掉——只要有一个标量场，势能是最简单的抛物线（也就是谐振子），而场的初值足够大，它顺着坡往下滚的过程本身就是一段暴胀。不需要热大爆炸，不需要假真空，不需要泡。剩下的问题只有一个，场的初值凭什么那么大；他的回答是，小的那些地方没暴胀，所以一直很小，也就没人住在里面。
δ ρ ρ ∼ H 2 2 π ϕ ˙ \frac{\delta\rho}{\rho} \sim \frac{H^{2}}{2\pi\dot{\phi}} ρ δ ρ ∼ 2 π ϕ ˙ H 2 暴胀把真空涨落拉成密度起伏，振幅与场滚下斜坡的速度 ϕ ˙ \dot{\phi} ϕ ˙
δ ϕ 量子 Δ ϕ 经典 ≃ 3 H 3 2 π ∣ V ′ ∣ > 1 \frac{\delta\phi_{\text{量子}}}{\Delta\phi_{\text{经典}}} \simeq \frac{3H^{3}}{2\pi|V'|} > 1 Δ ϕ 经典 δ ϕ 量子 ≃ 2 π ∣ V ′ ∣ 3 H 3 > 1 一个哈勃时间里，标量场经典地往下滚 ∣ V ′ ∣ / 3 H 2 |V'|/3H^2 ∣ V ′ ∣/3 H 2 H / 2 π H/2\pi H /2 π
ln Z ‾ = lim n → 0 Z n ‾ − 1 n \overline{\ln Z} = \lim_{n \to 0} \frac{\overline{Z^{\,n}} - 1}{n} ln Z = n → 0 lim n Z n − 1 无序系统的自由能要对随机的耦合做平均，可要平均的是 ln Z \ln Z ln Z n n n Z n Z^n Z n n n n n n n
F = max q ( x ) F [ q ( x ) ] , x ∈ [ 0 , 1 ] F = \max_{q(x)} F[q(x)], \qquad x \in [0,\,1] F = q ( x ) max F [ q ( x )] , x ∈ [ 0 , 1 ] 铁磁体的序参量是一个数：磁化强度。帕里西发现自旋玻璃的序参量必须是一整条函数 q ( x ) q(x) q ( x ) n n n
k B T D = ℏ Γ 2 k_B T_D = \frac{\hbar\Gamma}{2} k B T D = 2 ℏΓ 频率略低的对射激光给原子一个与速度成正比的阻力，而每个光子被随机吸收、发射时的反冲又在给原子加热，两者平衡时的最低温度由激发态衰减率 Γ \Gamma Γ
ω 0 + μ ′ B ( z ) ℏ = ω L + k v ( z ) \omega_0 + \frac{\mu' B(z)}{\hbar} = \omega_L + k\,v(z) ω 0 + ℏ μ ′ B ( z ) = ω L + k v ( z ) 迎着激光飞的原子看到的激光频率被多普勒效应抬高了 k v kv k v B ( z ) B(z) B ( z ) v ( z ) v(z) v ( z ) μ ′ \mu' μ ′
β ( g ) = − ( 11 3 c 1 − 4 3 c 2 ) g ( g 4 π ) 2 + O ( g 5 ) \beta(g) = -\left(\tfrac{11}{3}c_{1} - \tfrac{4}{3}c_{2}\right) g \left(\frac{g}{4\pi}\right)^{2} + O(g^{5}) β ( g ) = − ( 3 11 c 1 − 3 4 c 2 ) g ( 4 π g ) 2 + O ( g 5 ) β 函数说的是耦合强度随能量尺度怎么变。他用的两个常数都来自群论：c 1 c_{1} c 1 c 2 c_{2} c 2 c 1 = 1 c_{1} = 1 c 1 = 1 c 2 = 1 / 4 c_{2} = 1/4 c 2 = 1/4 c 2 < 11 4 c 1 c_{2} < \frac{11}{4}c_{1} c 2 < 4 11 c 1 β 0 = 11 − 2 3 n f \beta_{0} = 11 - \frac{2}{3}n_{f} β 0 = 11 − 3 2 n f α s \alpha_{s} α s g g g
g ′ 2 ≃ g 2 1 + 2 b g 2 t , t = 1 2 ln ( s M 2 ) g'^{2} \simeq \frac{g^{2}}{1 + 2bg^{2}t}, \qquad t = \tfrac{1}{2}\ln\!\left(\frac{s}{M^{2}}\right) g ′ 2 ≃ 1 + 2 b g 2 t g 2 , t = 2 1 ln ( M 2 s ) 把 β 函数写成 β = − b g 3 \beta = -bg^{3} β = − b g 3 s s s t t t g ′ 2 g'^{2} g ′ 2
B ∗ = B − 2 n Φ 0 , Φ 0 = h e B^{*} = B - 2\,n\,\Phi_{0}, \qquad \Phi_{0} = \frac{h}{e} B ∗ = B − 2 n Φ 0 , Φ 0 = e h 给每个电子绑上两个磁通量子 Φ 0 \Phi_0 Φ 0 B ∗ B^* B ∗ n n n B ∗ = 0 B^* = 0 B ∗ = 0
ν = p 2 p ± 1 , p = 1 , 2 , 3 , … \nu = \frac{p}{2p \pm 1}, \qquad p = 1, 2, 3, \dots ν = 2 p ± 1 p , p = 1 , 2 , 3 , … 复合费米子若恰好填满 p p p ν = p / ( 2 p ± 1 ) \nu = p/(2p\pm1) ν = p / ( 2 p ± 1 )
P obs = P 0 ( 1 + v r c ) P_{\text{obs}} = P_0\left(1 + \frac{v_r}{c}\right) P obs = P 0 ( 1 + c v r ) 脉冲星本身的自转周期 P 0 P_0 P 0 v r v_r v r
( P b 2 π ) 2 = a 3 G ( m 1 + m 2 ) \left(\frac{P_b}{2\pi}\right)^2 = \frac{a^3}{G\,(m_1 + m_2)} ( 2 π P b ) 2 = G ( m 1 + m 2 ) a 3 相隔一天的两条周期曲线平移 45 分钟就能对上，因为三个轨道周期比一天短 45 分钟——轨道周期 P b P_b P b
Δ t ≈ 4.15 ms × D M ( ν 1 GHz ) − 2 \Delta t \approx 4.15\ \text{ms} \times \mathrm{DM} \left(\frac{\nu}{1\ \text{GHz}}\right)^{-2} Δ t ≈ 4.15 ms × DM ( 1 GHz ν ) − 2 射电脉冲穿过星际电子时低频比高频晚到，晚多少取决于沿途电子总量 DM（单位是秒差距每立方厘米）。PSR 1913+16 的 DM 约 169，在阿雷西博用的 430 兆赫上，脉冲比「无穷高频」晚到近 4 秒，是它自身周期的六十多倍。搜寻时既不知道周期也不知道 DM，只能对每一组可能的 DM 把各频道的数据错位叠加、再做周期分析——赫尔斯搜寻系统的大部分算力就花在这一步上。
Ψ m = ∏ j < k ( z j − z k ) m e − ∑ j ∣ z j ∣ 2 / 4 ℓ 2 \Psi_m = \prod_{j<k} (z_j - z_k)^{m}\, e^{-\sum_j |z_j|^{2}/4\ell^{2}} Ψ m = j < k ∏ ( z j − z k ) m e − ∑ j ∣ z j ∣ 2 /4 ℓ 2 z j z_j z j j j j ℓ \ell ℓ m m m m m m m = 3 m=3 m = 3 e / m e/m e / m
I = ∂ U ∂ Φ I = \frac{\partial U}{\partial \Phi} I = ∂ Φ ∂ U 1981 年他为整数量子霍尔效应想出的论证：把二维样品卷成一个环，让磁通 Φ \Phi Φ U U U h / e h/e h / e e 2 / h e^2/h e 2 / h
Δ { > 0 , S = 1 , 2 , 3 , … = 0 , S = 1 2 , 3 2 , … \Delta \begin{cases} > 0, & S = 1,\,2,\,3,\dots \\ = 0, & S = \tfrac{1}{2},\,\tfrac{3}{2},\dots \end{cases} Δ { > 0 , = 0 , S = 1 , 2 , 3 , … S = 2 1 , 2 3 , … 一维反铁磁自旋链的激发要不要花能量，取决于每个格点的自旋是整数还是半整数：整数自旋链有能隙，半整数自旋链没有。区别来自映射后场论里的一个拓扑项，它对半整数自旋贡献相消性的相位。这个「整数与半整数命运不同」的结论当年被认为荒谬，后来被数值计算与中子散射一一证实。
σ x y = ± e 2 h ( B = 0 ) \sigma_{xy} = \pm\frac{e^2}{h}\qquad (B = 0) σ x y = ± h e 2 ( B = 0 ) 1988 年他在一张蜂窝状格子（也就是石墨烯的结构）上构造了一个玩具模型：不加任何外磁场，只要破坏时间反演对称性，照样能得到量子化的霍尔电导。这说明量子霍尔效应的根源不是磁场，而是能带的拓扑——今天称之为陈绝缘体，是拓扑绝缘体这一整个家族的原型。
n λ d B 3 ≥ ζ ( 3 / 2 ) ≈ 2.612 , λ d B = h 2 π m k B T n\,\lambda_{\mathrm{dB}}^{3} \ge \zeta(3/2) \approx 2.612, \qquad \lambda_{\mathrm{dB}} = \frac{h}{\sqrt{2\pi m k_{\mathrm{B}} T}} n λ dB 3 ≥ ζ ( 3/2 ) ≈ 2.612 , λ dB = 2 π m k B T h λ d B \lambda_{\mathrm{dB}} λ dB
Q W ≃ Z ( 1 − 4 sin 2 θ W ) − N Q_{W} \simeq Z\,(1 - 4\sin^{2}\theta_{W}) - N Q W ≃ Z ( 1 − 4 sin 2 θ W ) − N 宇称不守恒实验真正量的就是这个数。Z Z Z N N N θ W \theta_W θ W sin 2 θ W ≈ 0.23 \sin^{2}\theta_{W} \approx 0.23 sin 2 θ W ≈ 0.23 Z 3 Z^{3} Z 3
η ≡ ε t k B T \eta \equiv \frac{\varepsilon_{t}}{k_{\mathrm{B}}T} η ≡ k B T ε t ε t \varepsilon_t ε t η \eta η
ψ ( r 1 , r 2 ) = e i θ ψ ( r 2 , r 1 ) θ = 0 ( Bose ) , θ = π ( Fermi ) , θ = any ( anyon ) \begin{aligned} \psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) &= e^{i\theta}\,\psi(\mathbf{r}_2, \mathbf{r}_1) \\ \theta &= 0 \ (\text{Bose}), \qquad \theta = \pi \ (\text{Fermi}), \qquad \theta = \text{any} \ (\text{anyon}) \end{aligned} ψ ( r 1 , r 2 ) θ = e i θ ψ ( r 2 , r 1 ) = 0 ( Bose ) , θ = π ( Fermi ) , θ = any ( anyon ) 交换两个全同粒子，波函数会乘上一个相位。三维空间里，两粒子交换走过的路径总能连续地缩掉，相位只剩 + 1 +1 + 1 − 1 -1 − 1
L θ = θ ˉ g 2 32 π 2 G μ ν a G ~ a μ ν , ∣ θ ˉ ∣ ≲ 10 − 10 θ ˉ ⟶ a ( x ) f a ⟹ θ ˉ eff → 0 \begin{aligned} \mathcal{L}_{\theta} &= \bar{\theta}\,\frac{g^{2}}{32\pi^{2}}\,G^{a}_{\mu\nu}\tilde{G}^{a\,\mu\nu}, \qquad |\bar{\theta}| \lesssim 10^{-10} \\ \bar{\theta} &\longrightarrow \frac{a(x)}{f_{a}} \quad \Longrightarrow \quad \bar{\theta}_{\text{eff}} \to 0 \end{aligned} L θ θ ˉ = θ ˉ 32 π 2 g 2 G μν a G ~ a μν , ∣ θ ˉ ∣ ≲ 1 0 − 10 ⟶ f a a ( x ) ⟹ θ ˉ eff → 0 量子色动力学的方程允许一项会破坏时间反演对称的胶子自作用，强度由一个纯数 θ ˉ \bar{\theta} θ ˉ 10 − 10 10^{-10} 1 0 − 10
m = E c 2 m = \frac{E}{c^{2}} m = c 2 E 同一个式子换个写法，提示的是完全不同的事。写成 E = m c 2 E = mc^{2} E = m c 2 m = E / c 2 m = E/c^{2} m = E / c 2
1995 年他指出，看似互不相干的五种超弦理论（都是十维的）其实是同一个十一维理论在不同极限下的面孔。这个至今没有写出完整方程的理论，他叫它 M 理论。
Z ( M ) = ∫ D A e i k C S ( A ) Z(M) = \int \mathcal{D}A\, e^{\,ik\,\mathrm{CS}(A)} Z ( M ) = ∫ D A e ik CS ( A ) 他用一个三维量子场论重新解释了琼斯多项式——一个纯粹的纽结理论对象。这项工作让他在 1990 年获得菲尔兹奖。
M = 4 π 2 a 3 G P 2 M = \frac{4\pi^2 a^3}{G P^2} M = G P 2 4 π 2 a 3 只要量出一颗星绕中心转一圈要多久（周期 P P P a a a M M M
R s = 2 G M c 2 R_s = \frac{2GM}{c^2} R s = c 2 2 GM 质量为 M M M
Δ λ λ ≈ G M r c 2 + v 2 2 c 2 \frac{\Delta\lambda}{\lambda} \approx \frac{GM}{r c^2} + \frac{v^2}{2c^2} λ Δ λ ≈ r c 2 GM + 2 c 2 v 2 第一项是引力红移，第二项是狭义相对论的横向多普勒效应。S2 在近心点以约 7650 千米每秒掠过，两项合起来让它的谱线多红移约 200 千米每秒——牛顿力学里这一项是零。
Δ ϕ = 6 π G M c 2 a ( 1 − e 2 ) \Delta\phi = \frac{6\pi G M}{c^2 a \left(1-e^2\right)} Δ ϕ = c 2 a ( 1 − e 2 ) 6 π GM 广义相对论里，椭圆轨道每转一圈，近心点要向前挪一个小角度。代入 S2 的轨道（偏心率 e = 0.88 e = 0.88 e = 0.88
ϕ ¨ + 3 H ϕ ˙ + V ′ ( ϕ ) = 0 , ϕ ˙ 2 ≪ V ( ϕ ) \ddot{\phi} + 3H\dot{\phi} + V'(\phi) = 0, \qquad \dot{\phi}^{2} \ll V(\phi) ϕ ¨ + 3 H ϕ ˙ + V ′ ( ϕ ) = 0 , ϕ ˙ 2 ≪ V ( ϕ ) 古斯那一版暴胀靠隧穿与真空泡结束，结束不干净。1982 年阿尔布雷克特与斯坦哈特（以及同时的林德）把能量势垒换成一段近乎水平的平台：标量场不再穿墙，而是顺着平台慢慢滚。中间那一项 3 H ϕ ˙ 3H\dot{\phi} 3 H ϕ ˙
2 cos 2 π n ∈ Z ⟹ n ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 } 2\cos\frac{2\pi}{n} \in \mathbb{Z} \quad \Longrightarrow \quad n \in \{1, 2, 3, 4, 6\} 2 cos n 2 π ∈ Z ⟹ n ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 } 十九世纪就证明了的一条定理。一个周期性排列的点阵若有 n n n 2 cos ( 2 π / n ) 2\cos(2\pi/n) 2 cos ( 2 π / n ) n n n 2 cos 72 ° = τ − 1 ≈ 0.618 2\cos 72° = \tau - 1 \approx 0.618 2 cos 72° = τ − 1 ≈ 0.618
q = ∑ i = 1 6 n i b i , τ = 1 + 5 2 = 2 cos π 5 \mathbf{q} = \sum_{i=1}^{6} n_{i}\mathbf{b}_{i}, \qquad \tau = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 2\cos\frac{\pi}{5} q = i = 1 ∑ 6 n i b i , τ = 2 1 + 5 = 2 cos 5 π 准晶没有任何一个平移能让图案与自身完全重合，但存在一串平移，能让它几乎重合，错位密度随平移变大而趋于零——这是不成为周期的前提下最接近平移对称的东西。代价与好处都在倒空间：衍射峰仍然是一个个分立的尖峰，只是标定它们需要六个整数而不是三个（D = 6 > d = 3 D=6 > d=3 D = 6 > d = 3 τ \tau τ
w = p ρ = 1 2 ϕ ˙ 2 − V ( ϕ ) 1 2 ϕ ˙ 2 + V ( ϕ ) w = \frac{p}{\rho} = \frac{\tfrac{1}{2}\dot{\phi}^{2} - V(\phi)}{\tfrac{1}{2}\dot{\phi}^{2} + V(\phi)} w = ρ p = 2 1 ϕ ˙ 2 + V ( ϕ ) 2 1 ϕ ˙ 2 − V ( ϕ ) 1998 年他与考德威尔、戴夫指出，让宇宙加速膨胀的那个东西未必是一个常数。爱因斯坦的宇宙学常数对应 w = − 1 w = -1 w = − 1 w w w − 1 -1 − 1 w w w w < − 1 / 3 w < -1/3 w < − 1/3
M g - H 络合物 → ∼ 700 ∘ C 退火 M g − + H ↑ \mathrm{Mg}\text{-}\mathrm{H}\ \text{络合物} \quad \xrightarrow{\ \sim 700\,^\circ\mathrm{C}\ \text{退火}\ } \quad \mathrm{Mg}^{-} + \mathrm{H}\uparrow Mg - H 络合物 ∼ 700 ∘ C 退火 Mg − + H ↑ 镁掺进氮化镓后为什么不导电？因为氨气分解出的原子氢与镁结合成络合物，把受主锁死了。1991 年他试着简单加热退火，氢跑掉，镁恢复受主功能，材料整体变成 p 型——比电子束辐照更简单、更彻底，也终于能上生产线。这个二十年的谜，他一并解开了。
I n x G a 1 − x N : E g = 0.7 到 3.4 e V \mathrm{In}_x\mathrm{Ga}_{1-x}\mathrm{N}:\quad E_g = 0.7\ \text{到}\ 3.4\ \mathrm{eV} In x Ga 1 − x N : E g = 0.7 到 3.4 eV 在氮化镓里掺进铟，带隙随铟含量连续下降，发光颜色就能从紫外一路调到蓝、青、绿。他把铟含量与量子阱厚度反复对调，1992 年底做出的器件第一次跨进「坎德拉级」——比此前的碳化硅蓝光亮一百倍，白天也看得清。
Δ z = h t m d \Delta z = \frac{h\,t}{m\,d} Δ z = m d h t 两团各自独立生成的凝聚体，关掉阱以后一边下落一边膨胀，在相遇的地方印出一组明暗条纹。间距 Δ z \Delta z Δ z d d d t t t m m m
a ( B ) = a b g ( 1 − Δ B − B 0 ) a(B) = a_{\mathrm{bg}}\left(1 - \frac{\Delta}{B - B_{0}}\right) a ( B ) = a bg ( 1 − B − B 0 Δ ) 散射长度 a a a B B B B 0 B_{0} B 0 a a a
∮ v ⋅ d l = n h m , n = 0 , 1 , 2 , … \oint \mathbf{v}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l} = n\,\frac{h}{m}, \qquad n = 0,\,1,\,2,\,\dots ∮ v ⋅ d l = n m h , n = 0 , 1 , 2 , … 超流体不能随便打旋。绕涡旋芯走一圈，波函数的相位必须正好变化 2 π 2\pi 2 π h / m h/m h / m
∣ χ ∣ μ 0 B d B d z ≥ ρ g \frac{|\chi|}{\mu_0}\,B\,\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}z} \geq \rho g μ 0 ∣ χ ∣ B d z d B ≥ ρ g 抗磁物质会被推向磁场弱的地方。水的磁化率 ∣ χ ∣ |\chi| ∣ χ ∣ 10 − 5 10^{-5} 1 0 − 5 1400 T 2 / m 1400\ \mathrm{T^2/m} 1400 T 2 /m
E ( k ) = ± ℏ v F ∣ k ∣ E(\mathbf{k}) = \pm \hbar v_F |\mathbf{k}| E ( k ) = ± ℏ v F ∣ k ∣ 石墨烯里的电子在六角布里渊区的角上，能量与动量成正比，像没有质量的光子，只是「光速」换成了 v F ≈ 10 6 m / s v_F \approx 10^6\ \mathrm{m/s} v F ≈ 1 0 6 m/s
σ x y = ± 4 ( n + 1 2 ) e 2 h \sigma_{xy} = \pm 4\left(n + \tfrac{1}{2}\right)\frac{e^2}{h} σ x y = ± 4 ( n + 2 1 ) h e 2 普通二维电子气的霍尔平台落在 e 2 / h e^2/h e 2 / h π \pi π
E 截止 = I p + 3.17 U p , U p = e 2 E 0 2 4 m e ω 2 E_{\text{截止}} = I_p + 3.17\,U_p, \qquad U_p = \frac{e^2E_0^2}{4m_e\omega^2} E 截止 = I p + 3.17 U p , U p = 4 m e ω 2 e 2 E 0 2 强激光把电子从原子里拽出来，半个周期后场反向，电子被推回母离子并复合，把在场中积累的动能变成一个高能光子。能达到的最高光子能量等于电离能加上 3.17 倍的有质动力势——后者正比于激光强度、反比于频率的平方。这条公式解释了她 1987 年看到的谱为什么是「平台加陡崖」，也告诉人们要更高能量该往哪个方向调。
ω q = q ω 0 , q = 1 , 3 , 5 , … \omega_q = q\,\omega_0, \qquad q = 1, 3, 5, \dots ω q = q ω 0 , q = 1 , 3 , 5 , … 原子在激光场里的响应是中心对称的，偶数次谐波相互抵消，只剩奇数次。1987 年在氩气里，从第 5 次一直到第 33 次谐波强度几乎不衰减，形成一片平台——这片平台意味着一段极宽的相干带宽，而宽带宽正是做超短脉冲的必要条件。
P ( ν μ → ν μ ) = 1 − sin 2 2 θ sin 2 ( 1.27 Δ m 2 L E ν ) P(\nu_\mu \to \nu_\mu) = 1 - \sin^2 2\theta \, \sin^2\!\left(\frac{1.27\,\Delta m^2 L}{E_\nu}\right) P ( ν μ → ν μ ) = 1 − sin 2 2 θ sin 2 ( E ν 1.27 Δ m 2 L ) 这是梶田诺贝尔演讲里的第一个公式。Δ m 2 \Delta m^2 Δ m 2 L L L E ν E_\nu E ν Δ m 2 ≈ 0.0024 \Delta m^2 \approx 0.0024 Δ m 2 ≈ 0.0024 L / E ν L/E_\nu L / E ν
π + → μ + + ν μ μ + → e + + ν e + ν ˉ μ \begin{aligned} \pi^+ &\to \mu^+ + \nu_\mu \\ \mu^+ &\to e^+ + \nu_e + \bar{\nu}_\mu \end{aligned} π + μ + → μ + + ν μ → e + + ν e + ν ˉ μ 宇宙线撞上高层大气，打出大量 π 介子。一个 π 衰变出一个 μ 中微子和一个 μ 子，μ 子再衰变，又放出一个 μ 中微子和一个电子中微子。所以 μ 类与电子类中微子之比应当约为 2，这个比值几乎不依赖宇宙线流量的细节，1988 年估计的不确定度只有约 5%——这正是「反常」站得住的原因。
R = ( N μ / N e ) 观测 ( N μ / N e ) 模拟 = 85 / 93 144 / 88.5 ≈ 0.56 R = \frac{(N_\mu / N_e)_{\text{观测}}}{(N_\mu / N_e)_{\text{模拟}}} = \frac{85/93}{144/88.5} \approx 0.56 R = ( N μ / N e ) 模拟 ( N μ / N e ) 观测 = 144/88.5 85/93 ≈ 0.56 神冈 1988 年论文的核心数字：μ 类事件观测到 85 个，模拟预期 144 个；电子类观测 93 个，预期 88.5 个。拿比值再除以比值，流量绝对值 20%–30% 的不确定度就消掉了。如果一切正常，R R R
L ( θ ) = R ⊕ 2 cos 2 θ + 2 R ⊕ h + h 2 − R ⊕ cos θ L(\theta) = \sqrt{R_\oplus^2 \cos^2\theta + 2R_\oplus h + h^2} - R_\oplus \cos\theta L ( θ ) = R ⊕ 2 cos 2 θ + 2 R ⊕ h + h 2 − R ⊕ cos θ θ \theta θ R ⊕ R_\oplus R ⊕ h h h θ = 0 \theta = 0 θ = 0 θ = 180 ° \theta = 180° θ = 180°
m − M = 5 log 10 d L 10 p c m - M = 5\log_{10}\frac{d_L}{10\ \mathrm{pc}} m − M = 5 log 10 10 pc d L 左边是视星等减绝对星等——看上去多亮，减去本来多亮。只要知道一类天体「本来多亮」，测出它看上去多亮，就得到了光度距离 d L d_L d L M M M
d L ( z ) = c ( 1 + z ) H 0 ∫ 0 z d z ′ Ω M ( 1 + z ′ ) 3 + Ω Λ d_L(z) = \frac{c\,(1+z)}{H_0}\int_0^z \frac{\mathrm{d}z'}{\sqrt{\Omega_M (1+z')^3 + \Omega_\Lambda}} d L ( z ) = H 0 c ( 1 + z ) ∫ 0 z Ω M ( 1 + z ′ ) 3 + Ω Λ d z ′ 同一个红移 z z z ( 1 + z ) 3 (1+z)^3 ( 1 + z ) 3 Ω M \Omega_M Ω M Ω Λ \Omega_\Lambda Ω Λ
I = E τ A I = \frac{E}{\tau A} I = τ A E 非线性效应看的不是一束光总共有多少能量 E E E τ \tau τ A A A
n = n 0 + n 2 I n = n_0 + n_2 I n = n 0 + n 2 I 光强足够高时，介质的折射率会随光强增加。光束中心比边缘亮，中心的光就走得慢，整束光像穿过一块透镜一样向内收拢，越收越细、越细越亮，最后把增益介质本身打坏。这就是当年短脉冲放大的天花板——放大器里的峰值功率不能太高。
ω ( t ) = ω 0 + β t \omega(t) = \omega_0 + \beta t ω ( t ) = ω 0 + β t 脉冲里的频率随时间线性滑动，红的在前、蓝的在后，就像鸟鸣的音调一路升高——英文 chirp 本意就是鸟叫。啁啾脉冲被拉长了，峰值功率随之降下来，可以安全放大；放大之后，用一对平行光栅让红光多绕路、蓝光少绕路，各种颜色重新挤到同一时刻，脉冲又压回短而强。
Δ ν ⋅ Δ t ≳ K \Delta \nu \cdot \Delta t \gtrsim K Δ ν ⋅ Δ t ≳ K 脉冲越短，需要的频率成分越多——只有一个频率的波会无穷延续下去，要叠加许多频率、让它们只在一个时刻同相，才能得到一个短脉冲。K K K
蓝宝石衬底 + 低温 AlN 缓冲层 ( ∼ 500 ∘ C ) ⟶ 表面平整的 GaN 单晶 ( ∼ 1000 ∘ C ) \begin{aligned} &\text{蓝宝石衬底} + \text{低温 AlN 缓冲层}\ (\sim 500\,^\circ\mathrm{C}) \\ &\qquad \longrightarrow \text{表面平整的 GaN 单晶}\ (\sim 1000\,^\circ\mathrm{C}) \end{aligned} 蓝宝石衬底 + 低温 AlN 缓冲层 ( ∼ 500 ∘ C ) ⟶ 表面平整的 GaN 单晶 ( ∼ 1000 ∘ C ) 直接在蓝宝石上长氮化镓，16% 的晶格失配会把晶体撕得坑洼不平。先在低温下铺一层无序的氮化铝薄膜，再升温长氮化镓：缓冲层在升温中重结晶成大量细小晶核，把失配的应力分摊掉，上面才长得出表面平整、位错大幅减少的单晶。这一步是氮化镓从「死路」变成可用材料的转折。
M g - d o p e d G a N → 低能电子束辐照 p - G a N \mathrm{Mg}\text{-}\mathrm{doped\ GaN} \;\xrightarrow{\ \text{低能电子束辐照}\ }\; p\text{-}\mathrm{GaN} Mg - doped GaN 低能电子束辐照 p - GaN 有了好晶体还不够，发光需要 pn 结，而 p 型氮化镓二十年做不出来。他先试锌，三年无果；1989 年改用镁，再加上此前偶然发现的低能电子束辐照，材料终于显出明确的 p 型导电。世界第一个氮化镓 pn 结蓝光二极管随即诞生。后来中村修二证明真正起作用的是热——热退火更简单、更彻底。
λ d B = h 2 π m k B T \lambda_{\mathrm{dB}} = \frac{h}{\sqrt{2\pi m k_{\mathrm{B}} T}} λ dB = 2 π m k B T h 一个原子的「量子尺寸」。室温下 λ d B \lambda_{\mathrm{dB}} λ dB T \sqrt{T} T
n λ d B 3 ≥ ζ ( 3 / 2 ) ≈ 2.612 n\,\lambda_{\mathrm{dB}}^{3} \ge \zeta(3/2) \approx 2.612 n λ dB 3 ≥ ζ ( 3/2 ) ≈ 2.612 把密度和量子尺寸乘到一起，就是「相空间密度」。只要每个原子的德布罗意波所占的体积里平均住着约 2.6 个原子，凝聚就发生——它不在乎你用的是哪种原子，只在乎这一个数。1995 年之前所有失败的尝试，卡的都是这道门槛。
k B T c = ℏ ω ˉ ( N ζ ( 3 ) ) 1 / 3 ≈ 0.94 ℏ ω ˉ N 1 / 3 k_{\mathrm{B}} T_{c} = \hbar\bar{\omega}\left(\frac{N}{\zeta(3)}\right)^{1/3} \approx 0.94\,\hbar\bar{\omega}\,N^{1/3} k B T c = ℏ ω ˉ ( ζ ( 3 ) N ) 1/3 ≈ 0.94 ℏ ω ˉ N 1/3 ω ˉ \bar{\omega} ω ˉ N N N
Δ E ≳ ℏ Δ t ≈ 1 e V ( Δ t = 650 a s ) \Delta E \gtrsim \frac{\hbar}{\Delta t} \approx 1\ \mathrm{eV} \quad (\Delta t = 650\ \mathrm{as}) Δ E ≳ Δ t ℏ ≈ 1 eV ( Δ t = 650 as ) 时间与能量的不确定关系反过来用就是一条工程约束：要做出 650 阿秒的脉冲，谱宽至少得有 1 电子伏；要做到 100 阿秒，就得有好几电子伏。这就是为什么阿秒脉冲必须落在极紫外与软 X 射线波段——可见光的整个频段都不够宽。
1 a s = 10 − 18 s T 玻尔轨道 ≈ 152 a s 1\ \mathrm{as} = 10^{-18}\ \mathrm{s} \qquad T_{\text{玻尔轨道}} \approx 152\ \mathrm{as} 1 as = 1 0 − 18 s T 玻尔轨道 ≈ 152 as 氢原子基态上电子绕核一圈约需 152 阿秒。要「看清」这个运动，快门必须比它更快。飞秒激光只够拍分子里原子的位移（化学键振动在几十飞秒量级），电子的运动比它快上千倍——阿秒脉冲把这最后一个量级补上了。
θ ≈ 1.22 λ D \theta \approx 1.22\,\frac{\lambda}{D} θ ≈ 1.22 D λ 望远镜能分开的最小角度，由波长 λ \lambda λ D D D θ \theta θ
M = 4 π 2 a 3 G P 2 M = \frac{4\pi^2 a^3}{G P^2} M = G P 2 4 π 2 a 3 只要知道一颗星绕中心转一圈要多久（周期 P P P a a a M M M a a a
z obs − z Newton = Υ ( v 2 2 c 2 + G M r c 2 ) Υ GR = 1 , Υ Newton = 0 \begin{aligned} z_{\text{obs}} - z_{\text{Newton}} &= \Upsilon\left(\frac{v^2}{2c^2} + \frac{GM}{rc^2}\right) \\ \Upsilon_{\text{GR}} &= 1, \quad \Upsilon_{\text{Newton}} = 0 \end{aligned} z obs − z Newton Υ GR = Υ ( 2 c 2 v 2 + r c 2 GM ) = 1 , Υ Newton = 0 恒星掠过黑洞时，光谱除了普通的多普勒频移，还会多出两项：高速运动造成的时间变慢（v 2 / 2 c 2 v^2/2c^2 v 2 /2 c 2 G M / r c 2 GM/rc^2 GM / r c 2 Υ \Upsilon Υ Υ = 0.88 ± 0.17 \Upsilon = 0.88 \pm 0.17 Υ = 0.88 ± 0.17
Δ F F = ( R p R ⋆ ) 2 \frac{\Delta F}{F} = \left(\frac{R_p}{R_\star}\right)^2 F Δ F = ( R ⋆ R p ) 2 若行星恰好从恒星面前经过，挡掉的光正比于两者半径之比的平方。木星大小的行星掠过太阳大小的恒星，亮度只降百分之一；地球大小的只降万分之零点八。视向速度给出质量，凌星给出半径，两者合起来才能算密度——行星到底是气态还是岩石，从此有了答案。
K 木星 ≈ 12 m / s , K ⊕ ≈ 0.09 m / s K_{\text{木星}} \approx 12\ \mathrm{m/s}, \qquad K_{\oplus} \approx 0.09\ \mathrm{m/s} K 木星 ≈ 12 m/s , K ⊕ ≈ 0.09 m/s 木星让太阳每秒晃动约 12 米，地球只让它晃动约 9 厘米。1995 年的仪器精度是每秒 13 米，2003 年的 HARPS 做到每秒 1 米，而找到真正的地球孪生兄弟需要再提高一个量级。这个差距，是他后半段职业生涯一直在追的东西。
a ¨ a = − 4 π G 3 ( ρ + 3 p c 2 ) \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}\left(\rho + \frac{3p}{c^{2}}\right) a a ¨ = − 3 4 π G ( ρ + c 2 3 p ) 广义相对论里决定膨胀快慢变化的不只是密度 ρ \rho ρ p p p p < − ρ c 2 / 3 p < -\rho c^2/3 p < − ρ c 2 /3 p = − ρ c 2 p = -\rho c^2 p = − ρ c 2
q 0 = Ω M 2 − Ω Λ q_0 = \frac{\Omega_M}{2} - \Omega_\Lambda q 0 = 2 Ω M − Ω Λ 减速参数 q 0 q_0 q 0 Ω M / 2 \Omega_M/2 Ω M /2 q 0 q_0 q 0
q 0 = Ω M 2 Ω M = − 0.36 ± 0.18 \begin{aligned} q_0 &= \frac{\Omega_M}{2} \\ \Omega_M &= -0.36 \pm 0.18 \end{aligned} q 0 Ω M = 2 Ω M = − 0.36 ± 0.18 上面一行是只含物质的宇宙里减速参数与物质密度的关系，下面一行是他把观测代进去解出来的数。质量密度不可能是负的，所以只有两种可能：算错了，或者这个宇宙里除了物质还有别的东西。他花了两星期查第一种可能，没查出问题，于是把宇宙学常数写回方程，q 0 = Ω M / 2 − Ω Λ q_0 = \Omega_M/2 - \Omega_\Lambda q 0 = Ω M /2 − Ω Λ
H 0 ( 距离阶梯 ) = 73.04 ± 1.04 H 0 ( 微波背景 ) = 67.4 ± 0.5 \begin{aligned} H_0 (\text{距离阶梯}) &= 73.04 \pm 1.04 \\ H_0 (\text{微波背景}) &= 67.4 \pm 0.5 \end{aligned} H 0 ( 距离阶梯 ) H 0 ( 微波背景 ) = 73.04 ± 1.04 = 67.4 ± 0.5 单位都是公里每秒每百万秒差距。上面一行是里斯的 SH0ES 项目 2022 年用造父变星与 Ia 型超新星一级级量上来的结果，下面一行是普朗克卫星测出微波背景、再按标准宇宙学模型推算出来的。两个数各自的误差都很小，差距却有五个标准差以上。要么某一边有没找到的系统误差，要么那六个参数的模型还缺一样东西。
n = ε 0 ε V g e t n = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon V_g}{e\,t} n = e t ε 0 ε V g 2004 年那篇论文里器件的原理：石墨薄片躺在 300 纳米厚的氧化硅上，底下的硅当栅极，整个像一块平板电容器。栅压 V g V_g V g 7.2 × 10 10 7.2\times10^{10} 7.2 × 1 0 10
m c = ℏ π n v F m_c = \frac{\hbar\sqrt{\pi n}}{v_F} m c = v F ℏ π n 2005 年那篇论文的关键测量。普通半导体里电子的有效质量是个常数；石墨烯里测出来的回旋质量却随载流子浓度的平方根增长，正是能量与动量成正比、电子「没有静止质量」时才会出现的规律。浓度 10 12 c m − 2 10^{12}\ \mathrm{cm^{-2}} 1 0 12 c m − 2
E N = ± v F 2 e ℏ B N E_N = \pm v_F\sqrt{2e\hbar B N} E N = ± v F 2 e ℏ B N 普通二维电子气在磁场里的能级是等间距的阶梯；石墨烯的能级按 N \sqrt{N} N N = 1 N=1 N = 1