当时的困境
金属为什么导电，绝缘体为什么不导电？这个问题在 1928 年之前没有答案，而且失败得相当彻底。
德鲁德 1900 年的自由电子模型把金属里的电子当成一团经典气体。它推出了欧姆定律，还算出了魏德曼-弗兰兹定律里那个导热与导电之比的常数——数值居然对上了。这个成功后来被证明是假的：经典模型把电子对比热的贡献高估了约一百倍，又把电子的平均速度低估了差不多同样的倍数，两个错误在比值里恰好相消。德鲁德本人还在推导中丢了一个二，误差反而更小。
真正的窟窿有两个。第一，电子若真是自由气体，每个应贡献 3k/2 的比热，金属的比热就该比实测大出许多，实测却几乎看不到电子的份额。第二，也是更难堪的——电子在原子之间穿行，应该不断被撞回来，平均自由程顶多几个原子间距；可从电阻反推出的自由程长达上千个原子间距。
电子似乎能从一大片原子中间穿过去而不被拦住。这在经典图像里说不通。
比热那一半在 1927 年被索末菲补上了：电子服从费米-狄拉克统计，只有费米面附近极少数电子能被热激发，比热自然小得多。但为什么电子几乎不被原子散射，仍然悬着。
更麻烦的是导电性的跨度。铜与石英的电阻率相差二十多个数量级——这是物理学里最大的物性差异之一，而当时没有任何理论能解释为什么差这么多。
洞见时刻
1928 年，二十三岁的布洛赫在莱比锡跟着海森堡写博士论文，把晶格的周期性直接写进薛定谔方程。
解出来的波函数有一个特别的形式：平面波乘上一个与晶格同周期的调制因子。今天这叫布洛赫波。
推论出人意料：只要晶格严格周期，电子的定态就是这种波，它带着确定的动量一直传下去，不会被离子阵列削弱。散射来自周期性被破坏的地方——杂质原子、晶格缺陷、以及温度带来的振动。也就是说，电阻并不是电子撞在原子上产生的，而是电子撞在「原子没有排整齐」这件事上产生的。那条长得离谱的自由程由此得到解释，纯金属降温后电阻一路走低也是同一个原因。
顺着这条路继续算，电子允许的能量不再连续，而是分成一条条能带，带与带之间是不允许存在的禁带。再加上泡利不相容原理——每个态只能装一个电子——三种情况就分出来了：
能带只填了一半，电子稍加电场就能跳到附近的空态，材料导电，这是金属；能带恰好填满而禁带很宽，电子无处可去，材料绝缘；禁带不宽不窄，室温的热运动就能把少量电子送上去，这是半导体。
最后这一类当时并没有人当真。布洛赫本人不相信存在真正的本征半导体，多数人把半导体的怪异行为归咎于样品不干净。泡利 1931 年给佩尔斯写信时说得很直白：不该去研究半导体，那是一团脏东西，谁知道半导体究竟存不存在。转折点是佩尔斯 1929 年引入的空穴概念（用来解释反常的霍尔效应符号）和威尔逊 1931 年的两篇论文——威尔逊指出，杂质能在禁带中造出额外的能级，本征半导体与掺杂半导体是两回事，「脏」恰恰是可以设计的。
涟漪效应
半导体是这套理论最有价值的产物。禁带宽度这个数字决定了一切：硅是 1.12 电子伏，恰好能被室温和适度的电压操控；锗 0.67 电子伏偏小，金刚石 5.5 电子伏则完全是绝缘体。
1947 年，巴丁与布拉顿在贝尔实验室做出了晶体管。它的原理完全是能带的语言：往硅里掺入杂质，可以在禁带里造出额外的能级，从而人为控制载流子的类型与浓度；把不同掺杂的区域拼在一起，就得到二极管、三极管，进而是逻辑门、处理器。
同一套理论还解释了别的东西。LED 是电子从导带跌回价带时把能量差以光子形式放出，禁带宽度决定发什么颜色的光。太阳能电池是反过来：光子把电子从价带打到导带。数码相机的感光元件、光纤通信的激光器与探测器，用的都是这一条。
但「禁带宽度决定颜色」这句话漏掉了半个故事。 能带图的横轴是电子的动量，禁带的顶和底不一定落在同一个动量上。硅的导带底与价带顶错开，电子要跌回去必须同时交给晶格一份动量，这种「间接跃迁」的概率低得多——所以硅几乎不发光，LED 不能用硅做。发光要用导带底与价带顶对齐的直接带隙材料：砷化镓 1.42 电子伏发红外与红光，氮化镓 3.4 电子伏发蓝光。蓝光 LED 之所以等到 1993 年才被做出来，卡住的不是能带理论，而是长不出高质量的氮化镓晶体、也做不出 p 型——这两道关由赤崎勇与天野浩在 1985 至 1989 年拆掉，中村修二随后把亮度做到了商用级。
如果没有它
现代电子工业的全部产品目录，本质上是一张能带工程表。选什么材料、掺什么杂质、掺多少、怎么叠层——决策依据都是能带图。今天设计一种新的半导体材料，第一步是在计算机上用密度泛函理论算出它的能带结构，再决定要不要动手合成。
而这套理论也有它够不着的地方，值得一并记下。能带理论的骨架是「单个电子在周期势场里运动」，电子之间的排斥被抹成了平均背景。对钠和硅这没问题，对氧化镍就不行：按能带计数，氧化镍每个原胞有奇数个 3d 电子、能带半满，应当是良导体，实测却是不折不扣的绝缘体。莫特在 1937 年指出病根在于被忽略的电子间库仑排斥——电子宁可各自待在原子上，也不愿两个挤到同一个位置。这类莫特绝缘体至今是凝聚态理论最硬的骨头之一，而高温超导的母体恰恰就是它们。
一切的起点，是一篇 1928 年的博士论文，回答的是一个看似纯属好奇的问题：为什么电子能穿过一整片原子而不被拦住。