当时的困境
船比文字还古老。木头浮、石头沉，把铁锭装上船船就吃水更深，这些经验人人都有。缺的是一句能拿来计算的话：一个东西放进水里，到底会沉到哪儿为止？
希腊哲学对此有现成的答案，只是算不出数来。亚里士多德在《论天》第四卷里把「重」与「轻」当作物体的本性：土天生向下，火天生向上，水和气居中，一个物体往哪走，看它身上哪种元素占上风。他举的例子很精彩——在空气里，一塔兰特木头比一米那铅重；放进水里，木头反倒更轻。他还注意到一只吹鼓的皮囊比瘪的时候重，由此断定空气在自己的位置上也有重量。这些观察都对，但他的解释停在「元素配比」上，给不出木头该在水里浮起多少。
同一卷第 6 章讨论了一个更刁钻的问题：为什么一片扁平的铁或铅能浮在水面上，而更小更轻的东西——比如一根针——只要是圆的或长的，就沉下去？据亚里士多德转述，德谟克利特认为是水里不断升起的热微粒托住了宽的物体，窄的就从缝里掉下去了。亚里士多德不同意，给出自己的说法：水作为连续体，有一种抵抗被分开的能力；宽的物体压在大片水面上，那么多水不容易被分开，所以浮着；重物往下压的力若胜过这种抵抗，就沉。换句话说，形状是浮沉的原因之一。
这个解释并非凭空编造——薄铁片确实能浮在水面上，今天把这归到表面张力名下。但照这条路走下去，浮沉就成了形状、材料、水的「韧性」之间一笔说不清的账。
洞见时刻
阿基米德的《论浮体》分两卷，希腊文标题是「论漂浮之物」。它写于哪一年没有记载；希思 1897 年据各篇序信和互相引用排出的次序，只能确定它晚于《论劈锥曲面与旋转椭球》，是他较晚的作品。本站取约前 250 年。
第一卷只有一条公设。希思的英译是：
设流体的性质是这样的：它的各部分平铺而连续，受挤压较小的部分会被受挤压较大的部分推开；流体若沉在某物之中、又受他物压迫，它的每一部分都受到它正上方流体沿竖直方向的挤压。
书里没有「压强」，也没有「密度」。他用的说法是「与流体同样大小时一样重」——比较的永远是同体积的重量，这已经是比重的思路。
从这条公设出发，他先证明静止流体的表面是一个以地心为球心的球面（命题 2）。证法本身就是后面所有命题的模板：把整个地球想成流体，以地心为顶点切出两个相邻的全等棱锥，在流体深处画一个同心球面；如果两个棱锥压在这块球面上的分量不相等，受压小的那部分就会被推开，流体不可能静止。
接着是一串关于固体的命题：
- 命题 3：与流体同样大小时一样重的固体，放进去以后既不露出水面，也不再往下沉。
- 命题 4：比流体轻的固体不会完全没入，总有一部分露在外面。
- 命题 5：比流体轻的固体放进流体，会沉到这个程度为止：固体的重量恰好等于它排开的流体的重量。
- 命题 6：比流体轻的固体若被强行按入流体，它会被一个力向上推，这个力等于被排开流体的重量与固体自身重量之差。
- 命题 7：比流体重的固体放进流体，会一直沉到底；在流体里称它，比它的真实重量轻，轻掉的恰好是被排开流体的重量。
命题 7 的证明很巧。沉底的重物 A 不好直接处理，他就给 A 绑上一块轻物 B，让两者合起来恰好和同体积的流体一样重——这样拼成的整体按命题 3 会悬停在流体中。于是拉着 A 往下沉的那股力，必须恰好抵消流体托 B 往上的力，而后者已由命题 6 算出。沉的问题，就这样化成了浮的问题。
用今天的记号，这几条合起来就是：浸在液体中的物体受到的浮力
在液体里称它，读数是
形状不在式子里。一块铁沉不沉，只看它排开的水够不够重；把它打成空心的碗，排开的水多了，就能浮。
第一卷结尾还有第二条公设：被流体向上推的物体，是沿着过它重心的那条竖直线被推的。浮力有了作用线，就可以问浮着的东西会不会翻。命题 8、9 讨论球缺；第二卷整卷算旋转抛物体截成的「船体」在什么比重、什么形状下能自己回正——这是船舶稳性理论最早的源头。
这部书流传得很曲折。1 世纪初，斯特拉波在《地理学》里批评埃拉托色尼，说他连阿基米德《论浮体》里「一切静止的液体表面都是以地心为心的球面」都不肯接受，而这是学过数学的人都承认的——可见当时这部书还在读。此后希腊原文失传，中世纪以来只有 1269 年穆尔贝克的威廉的拉丁译本。1543 年，塔尔塔利亚在威尼斯印出第一卷的拉丁文，第二卷到 1565 年才与第一卷一起印出；同年科曼迪诺在博洛尼亚出了校订本，替几处残缺的证明补写了自己的证法。希思 1897 年编译时，用的仍是这条拉丁文的线；大部分希腊原文要等 20 世纪初那部重写本才重新读到。
王冠与浴盆
今天说起浮力原理，人们先想到的是另一个场景：阿基米德在浴盆里跳起来，光着身子跑上街喊「尤里卡」。这个故事出自罗马建筑师维特鲁威《建筑十书》第九卷序言，写于前 1 世纪后期，离阿基米德去世已近两百年。
维特鲁威的讲法是：希伦掌权后，要在神庙里献一顶金冠，交给工匠的金子分量不差，送回来的王冠也一样重，却有人告发工匠抽走了一部分金子、掺进了银。希伦请阿基米德想办法。他去洗澡，坐进浴盆时看到身体浸得越深、溢出的水越多，当即想到了解法，高兴得跳出浴盆，一路喊着「εὕρηκα，εὕρηκα」（我找到了）跑回家。办法是：取与王冠等重的一块金、一块银，先后放进盛满水的容器，量出每次需要补回多少水；银块溢出的最多，金块最少，王冠介于两者之间，由此「算出」掺了多少银。
这段记载与《论浮体》之间隔着几层。阿基米德现存的著作里从未提到王冠。维特鲁威的方法比较的是体积，只要会量溢出的水就行，用不上浮力原理。
后来的人另有说法。一首拉丁语诗《论重量与度量》（希思估计约写于公元 500 年）说，阿基米德是在水中用天平称的：先把等重的纯金和纯银挂在天平两端一起浸入水中，看天平怎么倾斜；再把合金和等重的纯银一起浸入比较。希思在 1897 年的译注里认为，命题 7 本身就提示了这条路。
1586 年，22 岁的伽利略写了一篇生前没有付印、只在朋友间传抄的短文《小天平》。他在开头说，把王冠放进水里、看它比等重的金银多溢出多少水，这种办法「非常粗糙，离精确很远」，「完全靠不住，缺少数学所要求的那种精确」。他重读了《论浮体》与《论平面的平衡》之后，想出一种天平：一臂挂金属，另一臂挂一个在空气中与之等重的配重；把金属浸入水中，它变轻了，配重就得往支点那边挪才能重新平衡。纯金、纯银各在秤杆上标出一个位置，合金的位置落在两者之间，把两点间的距离分成的两段之比，就是金与银的比例。为了读数准，他在秤杆上密密缠上极细的黄铜丝，用一根尖针慢慢划过去，听着声音、凭着手感一根根数。他说，他相信这就是阿基米德用的方法，因为它既精确，又依赖阿基米德自己证明过的命题。
三种说法出自三个时代：维特鲁威在前 1 世纪，那首拉丁语诗晚了约五百年，伽利略又晚了一千年。王冠的事是否发生过、阿基米德若真做过又是怎么做的，现存材料都回答不了。能确定的是：浮力原理的原文是《论浮体》第一卷的命题 5 至 7，浴盆的故事是维特鲁威讲的。
涟漪效应
古代与中世纪。 这条原理很早就被做成了仪器。约 402 年，昔兰尼的辛奈西斯写信给他在亚历山大城的老师希帕提娅，请她替自己铸一支铜的「验水器」：一根长短形状像笛子的圆筒，沿一条直线刻着刻度，一端装一个锥形的盖；放进液体它就直立着，数一数没入到哪道刻度，就知道这水有多重。这就是今天的密度计，这封信常被认为是对它最早的描述。12 世纪，哈兹尼用阿拉伯语写成《智慧之秤》，整部书讲一种用于水中称重的精密天平，列出了各种金属与宝石的比重。
斯泰芬：让一团水凝固。 1586 年，荷兰工程师斯泰芬出版《静水学原理》，不借助地心和棱锥，给了浮力原理一个新证法。据马赫在《力学史评》里的转述，他的出发点是：浸在水中的一团水，各部分都处于平衡——否则它会自己下沉，换上来的水又会下沉，这就成了永动。再设想这团水的表面凝固成一只薄壳，壳外的水压它的方式不会因此改变。壳里是水时，外面的水恰好托住它；把壳里换成别的任何东西，外面托起的力还是那么多——物体在水中减轻的重量，等于它排开的那团水的重量。同样的「凝固」想法，还让他推出容器底受的压力只与水深有关、与容器形状无关。
伽利略：形状无关。 1611 年夏天，伽利略在佛罗伦萨与几位学者谈到冷使物体凝聚，对方举冰为例。伽利略说冰倒更像稀化了的水：水结冰体积变大，冰也浮在水上。对方回答冰浮是因为形状宽平、切不开水的阻力——正是亚里士多德的思路。争论持续了好几天，对手拿出一片乌木薄片（浮）和一个乌木球（沉）作证。托斯卡纳大公科西莫二世示意他把道理写下来，这就是 1612 年出版、同年再版的《关于水上物体的谈话》。
伽利略的回答有两层。一是任何形状的冰都浮，把一块宽大的冰按到水底，它会自己浮上来；形状只影响沉浮的快慢，不决定沉浮本身。二是那片乌木其实已经沉到水面以下了，四周的水面围成一圈「小堤」，薄片连同附在它上面、被一起带下去的空气组成一个整体，这个整体并不比水重。他还明确区分了「比重相等」（同体积等重）与「绝对重量相等」，并借机械学的原理，要说明「一点点水能托起比它重一百倍、一千倍的固体」——用今天的话说，容器只比物体稍大时，四周薄薄一圈水就能把它浮起来。
帕斯卡：从压力推出浮力。 今天教科书上最常见的那种推导，帕斯卡已经写出来了。他在《论液体平衡》（约写于 1651 至 1654 年，死后 1663 年出版）第五章里说：水从上面、下面、四周推一个浸没的物体；四周各面的水深相同，推力互相抵消；底面比顶面深，深出来的正好是物体自己的高度，所以水往上推比往下推多出一份力，恰好等于同体积水的重量。他把这比作一架天平：物体在水里，就像放在天平的一只盘上，另一只盘装着与它同体积的水。
接着是一串日常例子：井里的水桶在水中不难提，一出水面才觉得沉；一块铜在空气里九磅、在水里八磅，在海水里还要更轻，因为海水比淡水重约四十五分之一；一块铜和一块铅在空气里放在天平两端恰好平衡，整架天平放进水里就不平了——铜体积大，受的托力也大——甚至空气一潮湿，精密天平上的平衡都会被打破；一片铅板做成凸起的形状，占的水多了，就能浮。第四章还设计了一个装置：一根铜圆柱严丝合缝地塞在漏斗管口，管子上端露出水面，放进河里，水只能从下面推它，实心的铜柱就悬在那里不掉下去。浮力是上下压力之差，这个装置把「上面的压力」拿掉了。
1666 年，玻意耳出版《流体静力学佯谬》，对帕斯卡的结论几乎全都赞同，却对他那些要人潜到二十尺水下的实验不以为然。据《帕斯卡全集》编者的注转引，玻意耳试了帕斯卡设想的「水中苍蝇」实验，苍蝇很快就在温水里淹得不动了。
船。 阿基米德第二卷的问题——浮着的东西会不会翻——在 18 世纪成了造船的核心理论。布格 1746 年在巴黎出版《论船舶》，用浮力的作用点随船身倾斜而移动的道理，给出了判断船是否稳定的几何方法。
如果没有它
人不懂浮力原理，照样造了几千年的船。但凭经验只能知道「这艘船装这么多还行」，却说不出为什么，也算不出换一种船形、换一片水域会怎样。命题 5 把这件事变成了一道算术题：浮着的船有多重，就排开多重的水。今天说一艘船「排水量」多少吨，说的就是这件事。船从河口驶进大海会微微浮起一点，因为海水比淡水重，排开较少的海水就够了——帕斯卡算的是四十五分之一。1930 年第一部国际载重线公约就以「储备浮力」为原则，规定船舶最多能装到多深；现行的 1966 年公约要求把各海区、各季节允许的载重线标在船中两舷。
潜艇用的是命题 3。艇身外壳的体积不变，压载水舱灌水，艇就比同体积的海水重，下沉；用压缩空气把水排出，又变轻上浮；调到与同体积海水一样重，就能悬停在某一深度。气球上也有同样的办法：1783 年，蒙戈尔菲耶兄弟用热空气把气球送上了天；同年 12 月，默尼耶向巴黎科学院提交论文，提出在气球里另设一个装普通空气的腔，不抛压舱物、不放掉氢气也能升降。空气也是流体，气球浮起来和木头浮在水上是同一件事——亚里士多德那只吹鼓的皮囊，说明的正是空气有重量。
密度计就是辛奈西斯那支验水器：液体越轻，它沉得越深，读一读液面对着的刻度就行。检验金饰的成色，至今仍有人用水中称重的老办法：先在空气里称，再在水里称，两次读数之差就是同体积水的重量，一除就得出密度。
还有一种玩具，把一个开口朝下、里面留着一点空气的小瓶放进装满水的塑料瓶，一捏瓶身，小瓶就沉，一松手又浮上来。捏瓶子时水压增大，小瓶里的空气被压缩，排开的水变少，它就变得比水重。这种玩具通常叫「笛卡尔浮沉子」，这个名字从何而来，本站没有查到；现存较早的印刷描述之一，是 1648 年罗马的马焦蒂写的小册子：一根玻璃管里有少许空气、很多水和一个小玻璃「蜗牛」，天一冷就往上浮。
阿基米德写下这几条命题时，并不知道压强，也不知道分子。他只是假设流体的各部分会互相推挤、受压小的会让开，就推出了一条两千多年后仍然原样使用的定律。