当时的困境
守恒律曾是物理学中最可靠、也最没来由的东西：能量守恒、动量守恒、角动量守恒，几百年来屡试不爽，却谁也说不清它们凭什么成立。它们像是从实验里捡来的经验规则，各自为政，各有各的历史。
1915 年广义相对论问世后，麻烦更大了。在弯曲的时空里，能量守恒竟然显得可疑：写下来的守恒式子似乎退化成了一句恒等式，什么内容也没有；而人们试图定义的「引力场能量」根本不是一个张量——换一套坐标它就变，甚至可以在某一点被完全消掉。哥廷根的希尔伯特与克莱因反复推演，始终判断不了这究竟是理论的破绽，还是引力理论本就该如此。希尔伯特把这个现象称作「反常的能量定理」。
他们把问题交给了一位当时在哥廷根连正式教职都拿不到的数学家。诺特 1915 年应希尔伯特与克莱因之邀来到哥廷根，无薪，课程挂在希尔伯特名下开设。哲学与语文学的教授们反对给女性授课资格，希尔伯特在校务会上顶了回去：他看不出候选人的性别有什么可以成为反对理由的地方，毕竟这里是大学，不是澡堂。她的教职资格拖到 1919 年才拿到，拿到薪水更是 1923 年的事。
洞见时刻
诺特没有去补那个漏洞，而是把问题整个翻转过来：不问守恒律为什么会失效，而问守恒律最初是从哪儿来的。1918 年的《不变变分问题》给出了答案——它们来自对称性。
第一定理：只要一个系统的作用量在某种由有限个参数刻画的连续变换下保持不变，就必然存在对应数目的守恒量。物理定律今天与明天相同，能量便守恒；此处与彼处相同，动量便守恒；朝东与朝北相同，角动量便守恒。三条互不相干的经验规则，被一个句子收编。
第二定理处理的正是希尔伯特的困惑：如果对称性是局域的——变换可以在时空每一点独立选取，参数是一整族任意函数而不是有限几个数——那么得到的不是新的守恒律，而是运动方程之间的恒等关系。广义相对论正属于这一类。所以那个退化成恒等式的「守恒律」不是破绽，而是定理的必然推论。
爱因斯坦读后写信给希尔伯特，说哥廷根的老先生们该向诺特小姐学上几手。
涟漪效应
从此，物理学的作业顺序被改写了：不再是先凑出方程再检查守恒量，而是先找对称性，再让对称性写出方程。1954 年的杨-米尔斯规范场论正是这条路线的极致——把对称性要求在时空每一点独立成立，传递相互作用的场就自动诞生。标准模型的电磁、弱、强三种相互作用全都建在这套语言之上：电荷守恒对应相位对称，色荷守恒对应 SU(3) 对称。今天粒子物理论文的开头往往就是一行「本理论具有某某对称性」，其余内容几乎都是这行字的推论。
有三处常见的误读值得点出。
其一，定理只管连续对称性。宇称、时间反演、粒子-反粒子这些离散对称给不出守恒流，宇称守恒从来不是诺特定理的产物——所以 1956 年它被推翻时，并没有动摇诺特定理分毫。
其二，「规范对称性给出守恒律」这句话说反了。第二定理表明局域对称带来的是冗余：规范变换联系的是同一个物理状态的不同写法，而不是不同的状态。真正守恒的电荷来自整体的相位对称，规范场的作用是把这条守恒律在每一点上贯彻下去。
其三，这是一条经典结论。量子化未必保住它——某些经典成立的对称性在量子层面被破坏，这叫反常。1969 年阿德勒、贝尔与杰基乌发现的手征反常就是一例，而它并非理论的缺陷：中性 π 介子衰变成两个光子的速率，恰恰要靠这项反常才能算对。哪些对称性必须无反常，成了构造理论时的硬约束。
至于能量守恒本身，诺特定理还给出一个让人意外的推论：它要求时间平移对称。在膨胀的宇宙里没有这份对称性，于是宇宙学红移中光子丢掉的那份能量，并不需要跑到别的地方去——全局的能量守恒在广义相对论里本来就不是一条普遍定律。
如果没有它
没有诺特定理，粒子物理学家就失去了寻找新粒子与新相互作用的方法论。今天预言一种未知粒子的标准做法是：假设自然界还藏着某个对称性，让定理替你算出必然伴随的守恒量与规范场，再去对撞机里找它留下的痕迹——希格斯粒子、胶子、W 与 Z 玻色子都是这样被先算后找的。
它也早已下沉成了日常工具。天体力学做上亿年的长期积分时，用的是辛积分器：这类算法刻意保住方程的对称结构，因而能量误差只在一条窄带里来回摆动，而不会像普通算法那样逐步漂移——把守恒律直接编进数值方法里，正是诺特那句话的工程版本。
诺特本人 1933 年 4 月因犹太人身份被纳粹解除教职，流亡美国布林莫尔学院，1935 年因术后感染去世，年仅五十三岁。爱因斯坦为她写的悼文登在《纽约时报》上，称她是自女性开始接受高等教育以来所产生的最重要的创造性数学天才。