SSH 模型

当时的困境

塑料是绝缘体，这在 1970 年代是常识。1977 年，宾夕法尼亚大学的化学家麦克迪尔米德、物理学家黑格与来访的白川英树发现，把聚乙炔薄膜暴露在碘蒸气里，它的电导率会上升许多个数量级，接近金属。一类会导电的高分子就此出现，也带来了一连串不好解释的实验现象。

聚乙炔是一条最简单的共轭链：碳原子一个接一个，每个碳挂一个氢，碳与碳之间单键、双键交替。按能带论，每个碳贡献一个可以移动的电子，能带恰好半满，这条链本该是金属。它之所以是半导体，是因为佩尔斯早在 1950 年代就指出的一种不稳定性：一维金属会自发让原子两两靠近，键长一长一短地交替，从而在费米面上打开一道能隙。

麻烦出在掺杂之后。轻度掺杂的聚乙炔多了载流子，电导明显上升，可磁性测量显示这些载流子几乎没有自旋。电子带着电荷就一定带着自旋 1/2，一个不带自旋的电荷算什么东西？另一方面，未掺杂的样品里却能测到一些可以沿链快速移动、带自旋却不带电的缺陷。

洞见时刻

1979 年，宾大的苏武沛、施里弗与黑格抓住了一个被忽略的事实：双键交替的排法有两种。设想一段链是「单双单双」，另一段是「双单双单」，两者能量完全相同。如果一条长链左边是一种、右边是另一种，中间就必须有一段过渡区。

他们算出，这段过渡区不是一个突兀的断点，而是铺开十几个碳原子、键长交替逐渐反转的一段畴壁。它能沿着链整体移动，有质量、有能量，行为像一个粒子，他们称之为孤子。形成一个孤子所需的能量，比把一个电子直接送进导带要低。所以掺进来的杂质每从链上拿走或塞进一个电子，链宁可生成一个带电孤子来安置它。

孤子最奇怪的地方在于电荷与自旋的搭配。畴壁中心的能隙正中央会出现一个孤立的电子态，它是从上下两个能带里各「借」来半个态凑成的。这个中间态可以放零个、一个或两个电子：

• 放一个电子时，孤子电中性，却带自旋 1/2——那些未掺杂样品里的移动自旋就是它；
• 空着或填满时，孤子带一个正电荷或负电荷，自旋却是零——掺杂后那些不带自旋的载流子就是它。

电荷与自旋，被这条链拆开了。

这背后有一层更深的东西。如果电子没有自旋，每个中间态只能容纳一个电子，而它是由两个能带各让出半个态凑成的，孤子的电荷就会是 $e/2$。三年前，杰基夫与雷比已经在相对论性场论里得出过同样的结论：一个费米子与一个「扭结」背景耦合时，零能态会让费米子数变成 1/2。聚乙炔里的电子因为有自旋，两个 1/2 又凑回了整数，分数电荷被自旋的简并藏了起来。1981 年，施里弗与杰基夫专门写文章把两条线接上；同年苏武沛与施里弗指出，在三倍周期的链上，孤子的电荷可以是真正的 $e/3$。

涟漪效应

导电高分子。 聚乙炔本身在空气里不稳定，没有成为实用材料，但它开启的共轭高分子家族后来长成了有机电子学：高分子发光二极管、有机太阳能电池、可以弯折的显示屏与传感器。2000 年，黑格、麦克迪尔米德与白川英树因「发现和发展导电高分子」获诺贝尔化学奖。

拓扑。 SSH 模型真正的第二次生命来自拓扑物态的兴起。把原始模型里电子与晶格振动的耦合剥掉，只留下交替的跳跃强度，它就变成了教科书上的样子：

$$H = \sum_{n} \left( v\, a_n^{\dagger} b_n + w\, b_n^{\dagger} a_{n+1} + \text{h.c.} \right)$$

每个元胞里有两个格点 $a$、$b$，元胞内跳跃强度为 $v$，元胞之间为 $w$。$v>w$ 与 $v<w$ 两种情形的体能带形状完全一样，能隙大小也一样，却不能在不关闭能隙的前提下连续变成对方。区别在一个整数：动量从布里渊区一端走到另一端时，复数 $v + w\,e^{ik}$ 在复平面上绕原点转的圈数。$v>w$ 时是零圈，$v<w$ 时是一圈。

1989 年扎克指出，这个区别也可以表达为能带的贝里相位——后来就叫扎克相位，两种情形分别是 $0$ 与 $\pi$。圈数不为零的那条链，两端各有一个被锁在能隙正中的零能态；只要保持两个子格之间的那种对称性，杂质和形变都赶不走它。1979 年那个孤子，正是一段「零圈」链与一段「一圈」链的交界，零能态就住在交界上。这就是体与边界对应，是整个拓扑物态领域最核心的一条原则。

于是 SSH 模型成了拓扑绝缘体最简单的实例，如今几乎每一门拓扑物态课程都从它讲起。

亲手搭出来。 进入 2010 年代，实验者开始在各种人工体系里把这条链原样搭出来：

• 2013 年，慕尼黑伊曼纽尔·布洛赫小组用光晶格里的超冷铷原子模拟二聚化的链，直接测出两种排法的扎克相位差为 $0.97(2)\pi$；
• 2016 年，伊利诺伊大学的一个小组在超冷原子的「动量空间晶格」里观测到了孤子态；
• 2017 年，阿尔托大学的研究者用扫描隧道显微镜在金属表面的原子层里逐个排布空位，搭出 SSH 链并看到了端点上的拓扑态；
• 同年，巴黎近郊的一个小组用半导体微柱阵列做成的光学 SSH 链，让激光从边缘态里射出——拓扑激光的早期演示之一。

如果没有它

没有 SSH 模型，导电高分子的实验照样会做出来，但那些「不带自旋的电荷」会困扰人们更久。更重要的是，凝聚态物理会少掉一个能在一页纸上讲清楚的例子，用来说明：一个电子的电荷与自旋可以在集体中分道扬镳，零能态可以被拓扑锁在边界上，而分数电荷并不是纯粹的数学构造。

几年之后，劳克林在分数量子霍尔效应里遇到了带 $e/3$ 电荷的激发，拓扑的语言也在二维体系里迅速铺开。那是另一条独立的线索。但当物理学家回过头来寻找「拓扑绝缘体」最小、最干净的原型时，他们找到的是 1979 年这条聚乙炔链。