维恩位移定律

铁块烧到六百度是暗红的，一千度是橙的，一千五百度发白。这件铁匠们几千年前就用眼睛掌握的事，1893 年被写成了一行等式——而这行等式里没有一个量与铁有关。

当时的困境

1859 年，基尔霍夫证明了一件很强的事：一个只吸收不反射的黑体，被加热后在各个波长上辐射多少能量，只由波长与温度决定，与它是铁、是碳还是别的什么完全无关。他把这个普适函数的具体形式列为一道公开难题。

然后是四十年的空白。

不是完全没有进展。1879 年斯特藩从数据里读出总辐射功率正比于绝对温度的四次方，1884 年玻尔兹曼用热力学加光压把它推了出来。可这只管总量：同样的总能量，可以铺成任何形状的曲线。分布依旧未知。

更难堪的是，实验也帮不上忙——理想黑体在自然界并不存在，谁也说不清手里量的那条曲线偏离了理想多少。热力学看似给不出更多了：它只能告诉你辐射随温度如何变化，不能凭空生出一条分布曲线来。维恩自己后来把这处困境说得很清楚：一旦越出纯热力学理论的既定疆界，我们就进入了一片没有路径的地带。

洞见时刻

1893 年 2 月 9 日，帝国物理技术研究院一位二十九岁的助手把一篇论文交给亥姆霍兹，由他代呈普鲁士科学院。

论文里的实验做不出来，也不需要做。设想一个截面为一的圆筒，中间一段是完全真空的腔室，内壁把落上去的光全部漫反射回去，两端各是一个黑体。现在让两个活塞极缓慢地向里压——比光速慢得多。

压缩做了两件事。一是腔室体积变小，二是要克服光压做功，两者都把腔内的能量密度抬上去。但还有第三件事：活塞是移动中的镜子，每一条打上去又弹回来的射线，都要按多普勒原理改变自己的波长，改变多少可以算清楚。

于是压缩结束时，腔里有一条确定的能量分布曲线。同时，这团辐射的能量密度也对应着某个更高的温度。热力学第二定律在这里落下一刀：这两条曲线必须逐条波长完全相等。否则，只要在两个腔室之间插一片只放行某一段波长的滤色片，就能让能量无补偿地从低温流向高温——第二类永动机。

结论就是维恩写下的那句话：在黑体的正常发射谱中，温度改变时每条波长都会移动，使温度与波长之积保持不变。

$\lambda_{\max} \, T = b \approx 2.898 \times 10^{-3}\ \mathrm{m \cdot K}$

今天课本上多半只写峰值这一条，其实他证的是整条曲线的平移律：知道了某个温度下的曲线，任何温度下的曲线都能画出来——横坐标按温度比缩放，纵坐标再按斯特藩定律配上一个因子。换句话说，那个二元的普适函数被压成了单变量函数。1911 年瑞典科学院的颁奖词说得最准确：位移定律给出了这个问题的一半答案。

常数 $b$ 等于多少，他 1893 年一个数字都没给。那是实验的事——而两年后，他与卢默给出了在实验室里造出黑体的办法：在一个内壁温度均匀的空腔上开一个小孔。

另一半答案他也去抢了。1896 年，他假设每个分子发出的波长只由它的速度决定，把麦克斯韦速率分布套上去，再用位移定律与斯特藩定律配系数，得出 $\varphi_\lambda = (C/\lambda^{5})e^{-c/\lambda\vartheta}$。帕邢几乎同时从观测数据里拟合出了同一形式。此后四年，它看上去就是终点。

涟漪效应

1900 年，卢默与普林斯海姆、随后鲁本斯与库尔鲍姆把测量推进到远红外，维恩公式在那里系统性地垮了：能量密度正比于温度的一次方，而不是指数衰减。普朗克为了凑出整条曲线，被迫假设能量只能一份一份地交换——量子论由此开始。

但位移定律毫发无损。它原样活在普朗克公式里，而且这次连常数都算得出来：

$b = \frac{hc}{4.965114\cdots k_{\mathrm B}}$

有意思的是维恩自己 1896 年那条公式给出的峰位是 $\lambda_m = c/(5\vartheta)$——整齐的 5，与真正的 4.965 只差千分之七。他当年离得那么近。

今天这条定律的用处比它的出身更平常：

• 测温度不用碰它。炼钢炉口的光学高温计、机场的额温门、手里的红外测温枪、电力巡线用的热成像仪，全部是从辐射的颜色反推温度。国际温标在银点以上也正是靠辐射测温定义的。
• 太阳表面 5800 K，是从它的辐射峰落在黄绿波段反推的；每一颗恒星的表面温度都这么定，恒星光谱分类的物理基础就在这里。
• 宇宙微波背景的 2.725 K，来自峰值落在约一毫米波长处——我们能给整个宇宙量体温，用的是 1893 年这把尺子。
• 反过来用也成立：室温物体的辐射峰在十微米附近，所以夜视仪要做在中远红外；而灯丝必须烧到两千多度，才能把辐射峰往可见光挪一点——白炽灯九成以上的能量变成看不见的红外，输给 LED 输得不冤。

如果没有它

没有位移定律，普朗克要猜的就不是一条曲线，而是一整张二维的曲面。

这不是修辞。维恩 1893 年的工作把「辐射能量密度如何依赖波长与温度」这个双变量问题，压成了单变量函数的形状问题；1896 年他又把这个形状收窄到一个具体的候选式。到 1900 年 10 月那个星期天，普朗克手上的约束已经非常苛刻：新公式在短波必须退回维恩公式，在长波必须给出鲁本斯量到的正比于温度，还得处处满足位移定律。正是这三条把他逼到那一步——只剩下引入能量元这一条路可走。

如果只有斯特藩-玻尔兹曼定律，这个包围圈根本合不拢；量子假说很可能要再等若干年，等到有人先从别的方向把黑体谱的形状锁死为止。

至于维恩本人，他终其一生没有接受光量子，认为在光学里引入二元论是先验地不可能的，并猜测真正的原因藏在原子内部的过程里。劳厄在他的讣文里写下的那句话，大概是对这种处境最体面的说法：他把我们带到了量子物理的大门前。