焦耳-楞次定律（电流的热效应）

当时的困境

电流会让导线发热，这件事几乎和伏打电池一样老。难的是说清楚：热有多少，由什么决定。

最早的线索是定性的。1815 年，伦敦的化学家 Children 用一台大电池做实验：把等长等粗的两种金属丝首尾勾连，串进同一个电路，铂丝立刻烧红，金丝毫无动静；银丝跟任何一种金属配对都红不起来。他在论文里小心地提了一个猜想：电流畅通时什么也看不见，一旦遇到阻力，就以化学作用或发热表现出来——「看来是电阻造成了发热」。

1821 年 7 月，戴维在皇家学会宣读的论文里补上了另一半：金属的导电本领随温度升高而下降。他演示得很漂亮——一根被电流烧红的细铂丝，用酒精灯把其中一段烧到白热，其余部分反而暗下去不再发光；拿冰块冷却其中一段，其余部分却从红热变成白热。热一段，整根导线的电流就小了；冷一段，电流就大了。

到 1830 年代，「越难导电的导线越容易热」已是常识。据焦耳 1841 年论文开头的说法，人们普遍相信发热与导电本领成反比，而且是精确的反比。但热与电流是什么关系，说法并不统一：据焦耳在同一篇论文脚注里的汇总，Brooke、Cuthbertson 等人用莱顿瓶放电熔化金属丝，认为熔掉的量与电荷的平方成正比；哈里斯 1834 年的结论却是只与电荷成正比；德拉里夫与珀尔帖 1836 年看到伏打电流的发热增长比电流快得多，没有给出规律。

缺的是两样东西：一台能读出电流大小的可靠仪表，一套能把导线放出的热全部收进来、称出来的办法。

洞见时刻

曼彻斯特，1840 年。 二十一岁的焦耳在自家的 Broom Hill 做这个实验，动机是生意：他想知道电动机能不能取代蒸汽机，就得先弄清楚电池里的锌烧掉以后，能量都去了哪里。

他的仪器都是自己做的。检流计是一根弯成 12 英寸长、6 英寸宽的铜棒矩形，中间悬一根 3½ 英寸的磁针；矩形比磁针大得多，偏转角的正切便近似与电流成正比。他借法拉第的电解定律给电流定了一个单位：每小时能分解 9 格令水的电流叫 1「度」，在他这台仪器上对应磁针偏转 33.5°。导线绕在细玻璃管上，放进盛着一定量水的玻璃罐，旁边插一支温度计；他说用羽毛轻轻搅水、平视读数，「稍加练习」就能可靠地估到 1/10 华氏度。电流从导线里走，不会抄近路穿过水——导线上既不冒氢气，也不生锈。

先比电阻。两根各 2 码长、一粗一细的铜丝串在同一电路里，各泡在 9 盎司水中，通电一小时：细丝那罐升温 3.4 度，粗丝那罐 1.3 度；另测得两者电阻之比为 3.4 比 1.27。换成铁丝对铜丝、水银柱对铜丝，升温之比也都跟着电阻之比走。他的第一条结论是：电流与时间相同时，放出的热与导体的电阻成正比，不管导体多长、多粗、什么形状、什么金属。

再比电流。焦耳先推想：电流加倍时，同一时间里通过的电量加倍、电的「速度」也加倍，阻力要算两重，热就该与电流的平方成正比。然后用同一卷铜丝换不同的电池去验证，列成一张表：半小时里的升温，与电流平方的换算值逐行对照，相差多在零点几度之内——他把残差归于不同日子里房间空气的冷暖干湿难以保持一致。他在第 17 节写下结论：

伏打电流沿金属导体传播时，一定时间内放出的热，与导体的电阻乘以电流强度的平方成正比。

1840 年 12 月 17 日，这篇论文在皇家学会宣读，摘要里已经写有「与电阻成正比」和「与电量的平方成正比」两句。据 Martins 查阅皇家学会档案所见，这份 1840 年的稿子没有获准登上《哲学汇刊》，学会只印了摘要；焦耳改写扩充后，1841 年 10 月登在《哲学杂志》上，篇幅比原稿长，内容也有不同。

圣彼得堡，1842 年。 楞次当时是圣彼得堡科学院院士、大学物理学教授。1842 年 12 月 2 日，他向科学院宣读《论伽伐尼电流生热的定律》的第一部分，此后在《物理与化学年鉴》上分三篇刊出（1843–1844）。

他的做法与焦耳有几处不同。导线绕成螺旋，泡的不是水，而是 85% 到 86% 的酒精——他试过，连蒸馏水都导电，导线上会冒出细小的气泡，说明有一部分电流从水里漏走了。瓶子是倒扣的玻璃瓶，导线夹在两根穿过瓶塞的铂锥上。电流由一台检流计监视，一位助手不停调节一台可变电阻，把电流稳在给定值；楞次自己看着计时表，记下酒精升温 1 度（列氏）要多少时间，一边转动整个瓶子让酒精始终搅匀。他测了铜、铁、铂和两种德银丝，发现同一根导线上，电流平方乘以升温所需时间几乎是个常数，比如一根德银丝的三组数据是 137.7、134.5、130.5。十六组数据用最小二乘法合并以后，他写下：

导线被伽伐尼电流加热的程度，与导线的电阻成正比；与所通电流的平方成正比。

涟漪效应

谁先谁后。 两边的材料如下，各有出处：

• 焦耳一边：论文 1840 年 12 月 17 日在皇家学会宣读，摘要随后刊出；扩充后的全文 1841 年 10 月登在《哲学杂志》第 19 卷。
• 楞次一边：第一部分 1842 年 12 月 2 日宣读，1843 年 3 月 11 日刊于科学院的《通报》（据波根多夫 1844 年的一条脚注），德文版载《物理与化学年鉴》第 59、61 卷。楞次在第一段写道，这些研究「我已经做了好几年；它们开始于焦耳的论文在 1841 年 10 月的《哲学杂志》上出现之前很久」；又说自己的结果与焦耳「在实质上一致」，之所以继续做下去，是因为焦耳的实验可以提出一些有根据的异议，同院的赫斯院士已经指出过。

按宣读与发表的日期，焦耳在前。楞次自述开工更早，本页没有找到他在 1842 年以前关于这项研究的书面记录。1843 年巴黎的埃德蒙·贝克勒尔又发表了一组测量，金属丝之外还测了液体，结论相同；他在文中评述焦耳的方法最为合适，但认为焦耳忽略了冷却等若干因素。

两个名字。 俄语文献普遍把这条规律叫作「焦耳-楞次定律」，德语文献中也常见这个叫法；英语文献通常只说「焦耳定律」，中文课本一般也叫「焦耳定律」。本站按发表时间把它首先记在焦耳名下，同时收录两人的名字——两种叫法各有依据，记下的正是这段两地独立的工作。

与欧姆定律合流。 焦耳和楞次写的都是「热与电阻、电流的平方成正比」，一个时间段内的总热量是

$$Q = I^2 R\, t$$

欧姆定律 $U = IR$ 把电流、电压、电阻连在一起，发热功率于是可以换三种写法：

$$P = I^2 R = UI = \frac{U^2}{R}$$

第一种适合串联——同一电流流过，电阻大的那段热得多，这正是 Children 看到的铂丝先红；第三种适合并联——电压相同，电阻小的那一路热得多。第二种 $P = UI$ 其实不限于电阻：任何用电器从电路里取走的功率都是电压乘电流，只有在纯电阻里它才全部变成热。

楞次在论文最后还拿这两条定律解了几道实用题。其中一道的答案是：给定锌板的总面积，电池怎样分组、导线用多粗，才能在导线里放出最多的热？他算出，当导线的电阻恰好等于电池的内阻时发热最多——今天电路课里讲的「负载电阻等于内阻时输出功率最大」，他那时已经写出来了。

通往热功当量。 焦耳 1841 年这篇论文还有第二章：电池槽里与电解时放出的热。他发现整个电路放出的总热量，由电池里消耗了多少锌来决定。热像是从化学反应里「借」出来、再在导线里「还」回去的。那么，热能不能凭空造出来？1843 年他换了一种电源：把线圈泡在水里，放在磁极之间用手摇、用重物带着转，感应出来的电流同样按电流的平方发热——而这回没有电池，热只能来自转动线圈所花的机械功。他由此得出第一个热功当量值：每磅水升温 1 华氏度，相当于把 838 磅重物举高 1 英尺。后面的故事——桨轮、重物、772 英尺·磅——见热功当量页。

如果没有它

白炽灯与电热器。 电炉丝、电熨斗、电热水壶、烤面包机，都是故意用大电阻的合金丝把电全变成热。白炽灯也是：钨丝被电流加热到两千多度才发光，可惜绝大部分电能变成了红外线而不是可见光，这也是它最终被 LED 取代的原因。

保险丝。 保险丝是一段熔点较低的细金属丝，串在电路里。电流超标时，它的发热随电流的平方陡增，最先熔断，把电路切开；平方关系让它对过载格外敏感——电流翻一倍，发热翻四倍。

为什么输电要用高压。 一条线路要送出功率 $P$，电流是 $I = P/U$，导线本身电阻为 $r$，路上烧掉的是

$$P_{\text{损}} = I^2 r = \frac{P^2 r}{U^2}$$

同样的功率、同样的导线，电压升高 10 倍，电流降到十分之一，线损降到百分之一。这就是电厂要用变压器把电压升到几十万伏再送出去、到了城里再一级级降下来的原因。1880 年代直流与交流的「电流之战」，交流胜出的一大理由就是它能用变压器方便地升压降压。

芯片散热。 一颗处理器里有上百亿只晶体管，每一次开关都要给微小的电容充放电，电流流过沟道与导线时同样按 $I^2R$ 发热。几平方厘米的芯片要散掉上百瓦，于是有了风扇、热管、液冷；数据中心的电费里，还有一大笔花在把这些热搬走上。手机发烫、笔记本降频，算到底都是这条定律。

两百年前 Children 看着铂丝先红，只能猜是「电阻」在作怪。焦耳与楞次把这句猜想变成了可以计算的数：从导线该用多粗、保险丝该选多大，到一座城市的电网该用多高的电压，第一步都是 $I^2R$。