折射定律

当时的困境

筷子插进水里看上去折断了，这是谁都见过的事。难的是「折多少」：光斜着从空气进入水里，入射角与折射角之间到底是什么关系？

最早留下实测数据的是 2 世纪的托勒密。他在《光学》第五卷里用一块刻着度数的铜盘半浸在水中，每隔 10° 量一次，列出了空气到水、空气到玻璃、水到玻璃三张表。空气到水那一张是这样的：入射 10° 折射 8°，20° 对 15½°，30° 对 22½°，一直到 80° 对 50°。按今天的定律算，40° 应折成约 28.8°，他记的 29° 相当准；80° 应是约 47.6°，他记的 50° 就差得多了。更可疑的是，他的数逐级只少半度，是一串整齐的等差数列。据史家 Smith 为《光学》所作英译的分析，托勒密做过真实测量，但按自己设想的规律把数据「修整」了一遍——他相信的是这种等差关系，而不是正弦。

此后一千四百多年，这个问题没有定量的答案。10 世纪末，巴格达的伊本·萨赫勒其实已经写下了正确的比例（见下文），但这部著作在欧洲无人知晓。海什木在《光学之书》里做了大量折射实验，总结出一些定性规律，没有给出公式。1604 年，开普勒在《维特洛补遗》里专攻这个问题，试了好几种函数都不合，最后只留下小角度时「折射角约与入射角成正比」的近似。

几年后，这个问题从学究的书斋里走了出来。1608 年荷兰出现望远镜，1609 年伽利略把它对准天空；1611 年开普勒写《折光学》，为透镜组合打下几何基础——可是没有准确的折射定律，就算不出一块透镜的形状该怎么磨，只能靠工匠一片片试。

洞见时刻

答案今天写成这样：

$$n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$$

光从折射率 $n_1$ 的介质射进 $n_2$ 的介质，入射角 $\theta_1$ 与折射角 $\theta_2$ 的正弦之比，只由两种介质决定，与角度大小无关。它在英语世界叫斯涅尔定律，在法国常叫斯涅尔-笛卡尔定律，可按现有的研究，走到这一步的至少有五个人，彼此多半不知情：

• 伊本·萨赫勒（约 984 年）：据拉希德 1990 年在《伊西斯》上的研究，他在《论取火镜与透镜》里用一对直角三角形斜边之比刻画光线的偏折，并据此设计能把平行光聚到一点的平凸透镜与双凸透镜；这个比例与正弦定律等价。这部著作直到 20 世纪后期才由拉希德重新发现、整理出版。
• 托马斯·哈里奥特（1601 年）：据洛内 1959 年的研究与 Fishman 2000 年的介绍，这位英国数学家在一页自署 1601 年 7 月 22 日的手稿上已按正弦关系计算折射，但终生没有发表；他 1606–1609 年间与开普勒通信讨论折射，只寄去了测量数据，没有说出这条规律。
• 斯涅尔（约 1621 年）：在一份未出版的光学手稿里用线段比的形式写下它，不用角度，也不用「正弦」这个词；手稿后来失传，内容靠 1662 年福修斯的转述与惠更斯遗著《屈光学》（1703）的讨论保存下来。这就是本页年份取 1621 的原因。
• 笛卡尔（1637 年）：在《方法谈》的附篇《折射光学》里第一次把正弦形式印成书，这是该定律在欧洲的首次出版。据古尔丁 2022 年的研究，他与巴黎数学家米多日大约在 1626–1627 年间就已得到它。
• 费马（1662 年）：从一条完全不同的原理把它重新推了一遍，详见下文。

笛卡尔是否见过斯涅尔的手稿，福修斯 1662 年明确指控过，惠更斯也有类似的说法，也有史家认为证据不足；这桩公案的两方材料，斯涅尔与笛卡尔的人物页里已各自列出。更早的托勒密有数据而没有规律，这张名单通常不算他。

同一条定律，两种相反的解释

真正有意思的，不是谁先写下了这条定律，而是它的物理解释。

笛卡尔在《折射光学》里用一只网球打穿布幕作比：穿过界面时，沿界面方向的那份速度不变，只有垂直方向的一份改变。设光在两种介质里的速度为 $v_1$、$v_2$，沿界面的分量相等就是

$$v_1 \sin\theta_1 = v_2 \sin\theta_2 \quad\Rightarrow\quad \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{v_2}{v_1}$$

光进水后偏向法线，$\theta_2 < \theta_1$，于是 $v_2 > v_1$：光在水里更快。笛卡尔本人认为光的传播是瞬时的，网球的速度只是类比光的「倾向」，但这个推论从此跟着他的光学走。1687 年牛顿在《原理》第一卷第十四章给出了同样结论的力学版本：界面附近的介质吸引光微粒，只加大它垂直于界面的速度，所以光在密介质里更快，速度之比正好是折射率。

费马不接受笛卡尔「平行分量不变」的假设，认为那是凭空设定的。1657 年，医生兼学者屈罗·德拉尚布尔寄给他一部新书，书里说亚历山大的希罗早就证明反射光走的是最短路径，可惜这条原理管不了折射。费马回信说，折射也许能纳入同一个框架，只要承认不同介质对光的「阻力」不同。1662 年 1 月 1 日他在致德拉尚布尔的信里给出了结果：把「阻力」理解为与速度成反比，光从一点到另一点走的是用时最少的路。设光从空气中高 $a$ 处出发，到水下深 $b$ 处的点，两点水平相距 $d$，在水面上离起点水平距离 $x$ 处入水，总用时是

$$T(x) = \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (d-x)^2}}{v_2}$$

令 $T$ 取极小值，得到

$$\frac{\sin\theta_1}{v_1} = \frac{\sin\theta_2}{v_2} \quad\Rightarrow\quad \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{v_1}{v_2}$$

又是正弦定律，速度之比却倒了过来：光在水里更慢。据萨布拉的叙述，费马自己说他对得到同一条定律感到意外。笛卡尔的门人 Clerselier 反驳说，自然不会「知道」哪条路最省时间，以目的解释物理站不住脚——笛卡尔已死，两派各执一词。

1678 年，惠更斯在巴黎科学院宣读、1690 年在《光论》里发表了第三种推导。他把光看成介质中的波，波前上每一点都发出球面子波：斜射到水面的平面波，先触到水面的一端先进入水里，若水中的子波走得慢，新波前就会转向法线。作图得到的结论与费马一致：

$$\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{v_1}{v_2}$$

惠更斯在书里还指出，他的作图恰好满足费马的最短时间原理。于是一边是笛卡尔与牛顿（光在密介质中快），一边是费马与惠更斯（光在密介质中慢）。两边推出的是一模一样的公式，任何只量角度的折射实验都分不出对错。

涟漪效应

裁决要靠直接比较光在空气与水中的速度。十七世纪连光速是否有限都还在争，1676 年罗默才从木卫蚀的时刻差里估出它有限而极快；要在实验室里几米长的水中分辨出这点差别，更是不可能。

1838 年，阿拉戈提出用惠斯通 1834 年测电火花持续时间的旋转镜来做这件事：让两束光分别走空气与水，打到同一面高速旋转的镜子上，谁回来得晚，谁的像就偏得多。他本人视力衰退，没能做成。1850 年春，两组人几乎同时完成了它。4 月底，傅科用 Froment 造的旋转镜，在一路光里放进一根约 3 米长的水管，镜子每秒转六百到八百转，两个像只错开零点几毫米，但方向清清楚楚：水中那一路更慢。5 月 6 日他在科学院报告了结果。七周之后，斐索与钟表匠 Breguet 用几乎相同的旋转镜装置独立得出同一结论。

光在密介质中更慢。笛卡尔与牛顿那种解释从此退出；这个结果与半个世纪前托马斯·杨、三十年前菲涅耳的干涉与衍射工作一起，被当作波动说胜出的定论。

不过这并不等于「微粒」的想法一并被推翻。据法国物理学家、科学史家迪昂 1906 年在《物理理论的目的与结构》里的分析，傅科的实验否定的是牛顿体系那一整组假设，而不是一切可能的发射理论——物理学里不存在能一锤定音、只剩一种可能的「判决性实验」。1905 年爱因斯坦的光量子，正是以新的形式回来的「粒子」。

今天，定律里的折射率有了直接的意义：$n = c/v$，就是真空光速与介质中光速之比。笛卡尔「沿界面的分量不变」的直觉也没有全错——守恒的不是速度，而是波的波矢沿界面的分量：

$$k_1 \sin\theta_1 = k_2 \sin\theta_2, \qquad k = \frac{n\,\omega}{c}$$

介质越密，波长越短，波矢反而越大。界面两侧的波必须沿着界面步调一致，这一条就足以推出折射定律，用不着网球，也用不着「省时间」的目的论。

费马的思路则走得更远。1744 年莫佩尔蒂把「光走最省的路」推广为力学里的最小作用量原理；十九世纪 30 年代哈密顿把光线光学与质点力学写成同一套数学，这一类比后来成了薛定谔写下波动方程的出发点之一。

如果没有它

每一块镜片。眼镜、手机摄像头、显微镜物镜、光刻机镜头，设计时都要在电脑里追踪成千上万条光线，每穿过一个表面就按这条定律算一次偏折，再调整曲率与玻璃，直到光线汇到该去的地方。笛卡尔当年用它证明双曲面透镜没有球差，今天的非球面镜片是同一个道理。

全反射与光纤。光从密介质射向疏介质时，入射角一旦超过临界角就一点也透不出去，临界角满足 $\sin\theta_c = n_2/n_1$。水的临界角约 48.6°，钻石折射率约 2.42，临界角只有约 24.4°，射进去的光在里面来回反射，这是它闪亮的原因。光纤的纤芯折射率比包层略高，光在里面靠一次次全反射走上几十公里；医用内窥镜靠的也是它。

天空与大地。大气越往下越密，星光斜穿大气时一路弯折，地平线附近约抬高半度，大致相当于太阳的视直径——日落时看到的太阳贴着地平线，几何上它已经落下去了。海市蜃楼也是同一回事。地震波在地层分界面上同样折射：1909 年克罗地亚地震学家莫霍洛维奇从折射波的到时里发现了地壳与地幔的分界，今天叫莫霍面，勘探石油与天然气的地震折射法用的也是这条定律。

负折射。1967 年苏联物理学家 Veselago 设想，如果一种材料的介电常数与磁导率同时为负，折射率就是负的，光会折到法线的同一侧。2001 年 Shelby、Smith 与 Schultz 用人工微结构在微波波段做出了这种「超材料」。四百年前的公式里那个 $n$，至今还在被人拿来改写。