勒内·笛卡尔

十七世纪中叶，欧洲的自然哲学家要是想讲清楚行星为什么绕太阳转、光为什么会拐弯、两个球撞了之后各往哪儿走，手边最完整的一套答案来自同一个人。那套答案后来几乎被逐条推翻：他的碰撞规则七条错了六条，他的涡旋被牛顿算垮，他对光速的判断也与实验相反。

可是推翻它的人，用的正是他开的路子——把自然看成物质按数学规律运动，把「运动的物体会一直沿直线走下去」当作第一条定律。笛卡尔以哲学家的名声留在教科书里，但在物理学史上，他是伽利略与牛顿之间最重要的那座桥。

布雷达街头的一位荷兰教师

笛卡尔生在法国中部一个外省法官家庭，在耶稣会的拉弗莱什学院受教育，又拿了法学学位。二十二岁那年，他以不领饷的志愿军身份去了荷兰布雷达的拿骚莫里斯军营。

1618 年 11 月，他在那里结识了比他大八岁的伊萨克·贝克曼。贝克曼是个中学教师，却有一本记了一辈子的日记，里面满是用微粒碰撞解释自然现象的想法，其中一条是：物体一旦运动起来，除非受到阻碍，就会一直运动下去。两人一起讨论落体、流体压力和弦的振动，笛卡尔为他写了一篇《音乐提要》当礼物。

据研究笛卡尔物理学的史家 Garber 的看法，笛卡尔后来那套「一切都是物质与运动」的机械论自然观，和他对惯性的理解，都能在这段交往里找到源头。十年后两人为谁启发了谁闹翻，笛卡尔在信里对贝克曼出言相当刻薄。

被收进抽屉的《世界》

1628 年底笛卡尔移居荷兰，此后二十年几乎一直住在那里。他开始写一部从光讲起、讲到天体与地球的大书，取名《世界》。

1633 年 11 月，书快写完时，他听说伽利略因为主张地动在罗马被定罪。他的宇宙里地球同样绕着太阳转，于是他把书稿收了起来。《世界》直到 1664 年才在他身后出版。

四年之后，他换了一种稳妥的方式：1637 年 6 月，在莱顿匿名出版《方法谈》，后面附上三篇「用这种方法得到的样品」——《折射光学》《气象学》和《几何学》。正弦折射定律、彩虹的定量解释和解析几何，就这样装在一本书里同时面世。

网球与正弦定律

《折射光学》开篇要解释透镜，先得说清光怎样折射。笛卡尔给出的规律是：入射角与折射角的正弦之比，对给定的两种介质是一个常数。

$$\frac{\sin i}{\sin r} = n$$

他的推导用的是一个比喻：一只网球斜着打穿一块布，穿过时速度变了，但沿着布面方向的那一份速度保持不变，于是方向就偏折了。按这套推理，光从空气进入水中偏向法线，说明它在水里「更容易」前进，速度更大。

这里有一层笛卡尔自己的讲究。他认为光的传播是瞬时的，是一种压力在充满空间的物质里一下子传过去；网球的速度只是用来类比光的「倾向」强弱。可是比喻里的结论——光在密介质中更快——后来成了他的光学最常被拿来检验的一点。

有了这条定律，他证明了双曲面和椭球面的透镜能把平行光严格会聚到一点，没有球面透镜那种像差，还设计了一台磨双曲面镜片的机器。据他 1638 年 3 月 31 日写给梅森的信，他承认光学上的第一位老师是开普勒，并说开普勒是在他之前对光学懂得最多的人。

斯涅尔定律还是笛卡尔定律

今天英语世界把这条定律叫斯涅尔定律，法国的教科书则叫「斯涅尔-笛卡尔定律」。两个名字背后是一桩三百多年的公案。

一方的材料是：莱顿大学的数学教授斯涅尔大约在 1621 年就得到了这条规律，写在一份没有出版的手稿里，1626 年他去世，手稿后来失传。据 Hentschel 与 Kwan 等人的综述，惠更斯在身后出版的《屈光学》里说他见过这份手稿，并暗示笛卡尔也可能见过；1662 年，学者 Isaac Vossius更直接地指控笛卡尔借用了斯涅尔的结果。笛卡尔 1628 年底移居荷兰，此后与莱顿的学者圈子有来往。

另一方的材料是：笛卡尔自己从未提到斯涅尔，也坚持是独立得到的；他 1629 年前后与巴黎磨镜工匠 Ferrier的通信，已经在讨论按双曲线磨透镜，而这种设计要用到正弦定律。据 Sabra 等学者的看法，他在巴黎时期（1626–1628）就已经掌握了这条规律，时间与斯涅尔相近，不必经过斯涅尔的手稿。

更早的人还有两位，都没有公开发表。据洛内与 Kwan 等人的考证，英国数学家哈里奥特在一页自署 1601 年 7 月的手稿里已经写出了正弦关系；据阿拉伯科学史家 Rashed 1990 年的研究，巴格达的伊本·萨赫勒在 984 年前后论取火透镜的著作里，用线段之比表达了同一条规律。笛卡尔是第一个把它印成书、公之于众的人，这一点各方都没有异议。

与费马的争论

《折射光学》出版前后，梅森把它寄给了图卢兹的法官兼数学家费马。费马回信说，笛卡尔把网球的运动拆成平行与垂直两份、断言平行那一份不变，这一步是任意设定的，推不出结论。笛卡尔回应得很不客气，争论随后又扩展到费马求切线与极值的方法，两人经梅森、Mydorge 等人转信，往复了一年多。

据 Sabra 的叙述，事情的第二回合在笛卡尔死后十二年。1662 年，费马从一个完全不同的前提出发——光从一点到另一点，走的是用时最少的路——算出来的也是正弦定律，但要求光在密介质里更慢，与笛卡尔的结论正好相反。费马自己说他对得到同一条定律感到惊讶。

笛卡尔的门人Clerselier替老师辩护：自然界不会「知道」哪条路最省时间，这种以目的解释物理的原则站不住脚；何况凭什么省的是时间，而不是路程。两方各有道理：笛卡尔一派反对的是把目的论引入物理，费马一派指出的是对方推导里有一个没有根据的假设。据 Sabra 记载，费马最后表示愿意把「物理上的胜利」让给对方，只要保住他的几何。

一百八十多年后，傅科在 1850 年测出光在水里比在空气里慢。这个结果支持了费马的前提，也支持了波动说；而费马的「最短时间」原理，后来成了最小作用量原理的先声。

彩虹：一根一根光线算出来的 42 度

彩虹为什么是圆弧、为什么总在背对太阳约 42 度的地方出现，十四世纪初弗赖贝格的狄奥多里克等人已经知道与水滴里的折射和反射有关，但没有人算出过这个角度。

笛卡尔拿一个装满水的大玻璃球当放大的雨滴，在阳光里找它发红的角度；然后取水的折射比为 250 比 187，把射到球上的平行光一根根用正弦定律追踪，列成表，从表里读出主虹最大角 41°30′、副虹最小角 51°54′，并驳掉了流传的 45 度。这是折射定律第一次被用来定量预言一个自然现象。他怎样算、颜色怎样留给了牛顿、几何光学又在哪里失灵，见发现页「彩虹的解释」。

惯性：写成自然律的第一条

1644 年，笛卡尔在阿姆斯特丹出版拉丁文的《哲学原理》。第二部分第 37 条写下他的第一自然律：每一件东西，只要在它自己的能力之内，总保持同一状态；因此一旦运动，就一直运动下去。第 39 条是第二自然律：一切运动就其本身而言都是直线的，做圆周运动的东西总倾向于沿切线离开中心。

这两条合起来，就是今天所说的惯性定律。伽利略在《两门新科学》里讲的，还只是光滑水平面上的运动会保持下去，他心里的「水平」是绕地球的圆；贝克曼的日记里也有类似想法，但没有发表。笛卡尔是第一个把「匀速直线运动」列为自然律的第一条、写进一整套物理体系里的人；据《斯坦福哲学百科》，早两年伽森狄在 1642 年的《论推动者传给物体的运动》里也已从船桅落物的讨论中引出了更一般的惯性原理。

他把这些定律的根据放在上帝的不变性上：上帝以同一种方式保持世界，所以运动的状态也不变。史家普遍认为，年轻的牛顿在 1660 年代读过《哲学原理》，他那条第一定律的措辞与笛卡尔的前两条自然律很相近；牛顿《自然哲学的数学原理》的书名，也常被看作对笛卡尔那本《哲学原理》的回应。

运动的量，与七条碰撞规则

《哲学原理》第二部分第 36 条说：上帝在创世时给了物质一定的运动，此后始终保持宇宙中「运动的量」的总数不变。一个物体的运动的量，是它的大小乘上它的速率。

这是第一次有人把一个力学量写成整个宇宙的守恒律。缺陷在于它不管方向：两个一样大、一样快、迎面相撞的物体，笛卡尔认为它们各自反弹、速率不变，这一条碰巧对了；但别的情形就出了问题。第 40 条的第三自然律与第 46–52 条的七条碰撞规则由此推出，其中第四条说：一个静止的物体只要比撞上来的物体稍大一点，不论来者速度多快，都推不动它，只会把来者弹回去。

这显然违背经验，笛卡尔的解释是规则针对的是理想情况，现实中物体都浸在流体里。1668–1669 年，沃利斯、雷恩与惠更斯应伦敦皇家学会之请，各自交上了正确的碰撞定律。据 Chareix 的研究，惠更斯早在 1650 年代就发现笛卡尔的规则不对；他指出守恒的不是笛卡尔那个只算快慢的量，而是带方向的「朝同一边的运动的量」，也就是今天的动量。

1686 年，莱布尼茨又从另一侧发难，写了《简要证明笛卡尔等人的一个显著错误》，主张自然中守恒的「力」是质量乘速度的平方，而不是笛卡尔的那个量。这场「活力之争」持续了半个多世纪，最后的结论是两者都对——动量与能量是两个不同的守恒量——而笛卡尔的那一个，恰好两者都不是。

涡旋宇宙与牛顿的反驳

笛卡尔不承认有真空，空间处处充满物质；也不接受隔着空间的吸引力，他认为那是回到经院哲学的「隐秘的质」。于是天体的运动只能由周围物质推着走。《哲学原理》第三部分的图景是：太阳处在一个巨大的旋转涡旋中心，涡旋里细微的物质带着行星绕太阳转，就像河里的漩涡带着树叶；每颗恒星都是另一个涡旋的中心，彗星在涡旋之间穿行。第四部分再用涡旋解释重物为什么下落。

这个图景还有一层用心：第三部分第 28–29 条说，地球相对于带着它的那一团涡旋物质是静止的，所以严格说地球「不动」。史家多认为，这是为了在接受日心体系的同时，避开伽利略所遭遇的那种罪名。至于重力，据 Aiton 的研究，笛卡尔及其后继者始终没能用涡旋给出一个自洽的定量解释。

这套理论在半个世纪里是欧洲最有影响的宇宙学。牛顿在 1687 年的《原理》第二卷第九章专门算了它：一个在流体中自转的球带动周围流体旋转，各层流体的周期与到中心距离的平方成正比；而开普勒第三定律要求的是距离的 3/2 次方。他的结论是，涡旋假说与天文现象完全冲突，它非但不能解释天体运动，反而会把它们搅乱。

但涡旋在法国又撑了几十年。1734 年伏尔泰在《哲学通信》里写道，一个法国人到了伦敦，会发现这里什么都变了：在巴黎，宇宙由细微物质的涡旋组成；在伦敦，没有这样的东西。直到 1730 年代莫佩尔蒂等人测量地球的形状，牛顿的引力说才在巴黎站稳。

坐标：把几何交给代数

《方法谈》后附的《几何学》，是今天所谓解析几何的起点。笛卡尔用代数方程表示曲线，把求曲线交点之类的几何问题变成解方程；用字母表末尾的 $x$、$y$、$z$ 表示未知量、开头的 $a$、$b$、$c$ 表示已知量，把指数写成 $x^3$ 这种样子，也都是从这本书流传开的。

与此同时，费马也独立得到了用方程研究轨迹的方法，他的手稿在 1636 年前后已在巴黎的数学家之间传阅，只是没有出版。两人的方法相通，笛卡尔的书更早印行，影响也更大。今天通用的直角坐标系是后人在此基础上整理出来的，名字叫「笛卡尔坐标」。

对物理学来说，这一步的意义在于：轨迹从此可以写成方程。《几何学》第二卷里的笛卡尔卵形线，就是为透镜设计求出的一族曲线——从一点发出的光经过这种曲面折射，会严格会聚到另一点。牛顿的《原理》表面上仍用几何语言写成，但从伯努利兄弟、欧拉到拉格朗日，力学一步步变成解方程的学问，走的都是笛卡尔铺下的这条路。

斯德哥尔摩的冬天

笛卡尔晚年仍在关心实验。1647 年 9 月他两度到巴黎拜访帕斯卡，谈真空与水银柱；在斯德哥尔摩时，他还参加了帕斯卡的姐夫佩里耶发起的气压逐日比对。这段往来与多姆山实验的优先权之争，站内帕斯卡的页面有详细记述。

1649 年秋，他应瑞典女王克里斯蒂娜之邀来到斯德哥尔摩。据他的早期传记，女王要他清晨五点讲哲学，他一生习惯晚起，又不耐北方的严寒，入冬后染上肺炎，1650 年 2 月 11 日去世，年五十三。

他留下的物理学，具体结论大多没有经受住检验：光在水中更慢，碰撞规则要改，涡旋要被引力取代。留下来的是问题的提法——用少数几条普遍的运动定律推出一切现象，把守恒量当作第一原理，把曲线写成方程。惠更斯、牛顿、莱布尼茨都是在反驳他的过程中，走到了他没能走到的地方。