彩虹的解释

当时的困境

彩虹是人人见过、却很难说清的东西。它总出现在背对太阳的方向，总是一段圆弧，圆心正好落在「太阳—眼睛」连线的延长线上；你往前走，它跟着退，永远够不着。有时外面还套着一道更淡、更宽的副虹，颜色的次序反过来——这一点亚里士多德在《气象学》里就记下了。约公元 200 年，他的注释者阿佛罗狄西亚的亚历山大又注意到，两道虹之间的天空比别处更暗，这条带子后来就叫「亚历山大暗带」。

亚里士多德的解释是视线被云反射：云像一面面小镜子，把太阳的颜色送回眼里。这套说法讲得出圆弧的形状，讲不出圆弧的大小。中世纪的学者一直在量这个大小：据 Boyer 的考证，罗吉尔·培根在 1260 年代用星盘测得主虹最高只能升到地平线上 42°。但测出来的数也不统一，到十六世纪，西西里的 Francesco Maurolico 又给出主虹 45°、副虹约 56°，这成了流传最广的说法。

真正的突破是把目光从云挪到一颗雨滴。十四世纪初，差不多同时而各自独立，德意志多明我会修士弗赖贝格的狄奥多里克写了《论虹》，波斯学者卡迈勒丁·法里西在注释海什木《光学之书》时也做了同样的事：都拿装满水的玻璃球当放大的雨滴，看出主虹是阳光在每一颗水滴里折射一次、在背面反射一次、再折射出来；副虹则在水滴里多反射一次，所以颜色倒过来。海什木本人写过一篇论晕与虹的专文，仍把虹归于云的反射，法里西是在他的光学框架里把这一步改对的。

光路找对了，可还差一件事：为什么偏偏是 42°？ 一颗水滴里，射在不同高度的光线出来的方向各不相同，照理应该把阳光均匀地散向四面八方，不该只在一个角度上亮成一圈。狄奥多里克与法里西都没有算出这个角度——那时手里还没有折射定律。1611 年，斯普利特大主教 Marco Antonio de Dominis 出版《论视线与光线》，再讲了一遍水滴里的折射与反射；牛顿后来在《光学》里把彩虹解释的首功记在他名下，但据 Boyer 的评价，德·多米尼斯的光路在细节上是错的，远不如三百年前的狄奥多里克。

洞见时刻

笛卡尔的办法分两步。第一步是实验：他往一个又大又圆、极透明的玻璃瓶里灌满水，站在阳光里，让瓶子上下左右移动。《气象学》第八讲写道：只要瓶子上那一点与眼睛的连线和「眼睛—太阳」的反方向成约 42°，那一点就通红，而且「比其余部分亮得无可比拟」；角度稍大一点，红色一下子消失；稍小一点，红色并不立刻消失，而是分出黄、蓝等颜色。转到约 52°，另一处也变红，但不如前一处亮。

第二步是计算。笛卡尔手里有正弦定律——同一本书里附的《折射光学》刚把它印出来，水的折射比他「尽可能准确地」测为 250 比 187。他把一颗水滴的半径等分成十份，从十个高度各射进一根平行于阳光的光线，每一根都用正弦定律追踪「折射—反射—折射」，算出它出来时与入射方向的夹角。第一张表里，偏转后的角度随入射高度先增大、后减小；于是他在最大值附近又加密到每百分之一半径一根，再算了十七根。

偏转角走到头的地方，就是虹。用今天的写法，一根光线在水滴里反射 $k$ 次之后的总偏转角是

$$D_k(i) = k \cdot 180^\circ + 2i - 2(k+1)\,r, \qquad \sin i = n \sin r$$

$i$ 是入射角，$r$ 是折射角。$D_k$ 随 $i$ 变化，在某个 $i_0$ 处取极值；极值附近 $D$ 几乎不随 $i$ 变，一大片入射高度不同的光线都挤到同一个方向出去，那个方向就特别亮。令导数为零，得到

$$\cos^2 i_0 = \frac{n^2 - 1}{k(k+2)}$$

$k=1$ 时分母是 3，主虹的角半径是 $180^\circ - D_1(i_0)$；$k=2$ 时分母是 8，副虹的角半径是 $D_2(i_0) - 180^\circ$。笛卡尔没有微积分，他是从表里直接读出来的：主虹方向的最大角 41°30′，副虹方向的最小角 51°54′；再按太阳视半径约 17′ 加减，得主虹外缘 41°47′、副虹内缘 51°37′。拿 $n = 250/187$ 代进上式，得 41.5° 与 51.9°，与他的表一致。

这同时解释了亚历山大暗带。一次反射的光最多只能偏到 42° 附近，不会出现在更大的角度上，于是主虹之内是亮的、之外骤然变暗；两次反射的光只能出现在 51° 之外。夹在 42° 与 51° 之间的那条带子，两路光都照不到，笛卡尔说那里「有影子从两边把光界住」。

他顺手把流传的 45° 驳了：若把水的折射率调小到让主虹真有 45°，副虹也会缩到 45° 上下，与肉眼看到副虹明显大得多相矛盾——「这说明不伴随真正原因的观测多么不可信」。几何光学的第一个定量预言，就这样落在了一个人人抬头可见的现象上。

颜色要等牛顿。 笛卡尔用一块三棱镜类比虹的颜色，把它归于微粒旋转的快慢，只是定性的。牛顿在 1704 年的《光学》第一卷第二部分命题 IX 里接着算：白光是各种折射率不同的光的混合，水对最红的光折射比为 108 比 81，对最紫的光为 109 比 81。每种颜色有各自的极值角，于是各自落在不同半径上：主虹的最大角，红光是 42°2′，紫光是 40°17′；副虹的最小角，红光是 50°57′，紫光是 54°7′。

主虹红在外、紫在内，副虹正好反过来——颜色次序就这样从折射率的一点差别里算了出来。牛顿又算出，若太阳只是一个点，主虹宽 1°45′、副虹宽 3°10′、两虹相距 8°15′；计入日面的半度，分别是 2°15′、3°40′ 与 8°25′。他自己量过：主虹最大半径约 42°，两虹最小间距约 8°30′。

涟漪效应

几何光学的边界。 主虹内侧常常还挨着几道淡淡的粉绿相间的窄带，叫附加虹。按笛卡尔与牛顿的理论，每种颜色只有一个亮的方向，附加虹根本不该存在。1803 年托马斯·杨在贝克讲座里给出答案：极值角两侧，各有两根入射高度不同的光线从同一方向出来，它们在水滴里走的路程不一样，会互相干涉，于是亮暗相间。他后来在《自然哲学讲义》里估计，造出常见附加虹的雨滴直径在百分之一到五十分之一英寸之间；雨滴大小不一时，条纹就互相抹平。

艾里积分。 1835 年，Richard Potter 在剑桥哲学会上指出牛顿式解释的漏洞：它说不出为什么雨滴大小会影响颜色——雾滴很小时，虹几乎是白的，这就是雾虹。1836 年与 1838 年，天文学家艾里（George Biddell Airy）分两次宣读了《论焦散线附近的光强》，用波动说把极值方向附近的光强写成一个积分，靠对数表手算了约九百项。结果与几何光学有一处根本不同：最亮的地方不在笛卡尔的几何虹上，而在它的亮侧，也就是主虹之内；几何虹之外光也不是一下子断掉，而是逐渐衰减。附加虹的间距随雨滴变小而变宽，大致与 $(\lambda/a)^{2/3}$ 成正比（$a$ 是雨滴半径），雨滴越小，各色条纹越互相重叠，颜色就越淡。1841 年，W. H. Miller 让一束狭缝光照在一根竖直的细水柱上，量出主虹与十来道附加虹的位置，与艾里的数比较，差别「不超出可以合理预期的范围」。这个积分后来被斯托克斯化成易算的级数，今天叫艾里函数，量子力学里线性势阱的波函数、光学里的焦散，都要用它。

完整的解。 艾里的理论仍是近似：它假定水滴远大于波长，只看极值方向附近。一个球对平面电磁波的散射，1908 年由 Gustav Mie 在研究胶体金溶液的颜色时从麦克斯韦方程组严格解出，这就是今天说的米氏散射；次年德拜为算球的光压也独立得到同一个解（丹麦的 Ludvig Lorenz 在 1890 年已用丹麦文发表过相当的结果）。这个级数对纳米颗粒几项就够，对毫米级的雨滴却要加几千项，直到有了电子计算机才真正用得上。1969 年，Herch Moysés Nussenzveig 用复角动量方法把 Mie 级数改写成少数几项物理意义清楚的贡献，彩虹、飞机下方云上的「光环」（glory）都在其中得到了定量解释。

分工上可以这样记：粒子远小于波长时，Mie 的解退化为天空之蓝的瑞利散射；与波长相当时，解释云为什么是白的；远大于波长时，就回到了笛卡尔的 42°。

如果没有它

雨滴会变成仪器。 笛卡尔的极值角只取决于折射率，艾里的附加虹间距只取决于液滴大小——反过来，量一量一片喷雾「虹」的角度与条纹，就能同时知道液滴的折射率（从而知道温度与成分）和直径。这就是燃烧与喷雾研究里的彩虹折射测量法。激光粒度仪把一束激光打进颗粒流，按 Mie 理论从散射图样反推粒径分布，药粉、水泥、墨粉的粒度都这样测；气象卫星与激光雷达反演云滴与气溶胶的大小，靠的也是同一套散射计算。

「虹」成了一个普遍的物理概念。 1959 年，Kenneth Ford 与惠勒把原子与原子核的碰撞散射做了半经典分析，发现偏转角对碰撞参数取极值时，截面上同样会出现一个尖峰和一串振荡，他们直接称之为「虹散射」。此后原子束、核反应里的「核虹」都借这个名字。2007 年，光学家做出了传播中自己弯曲的「艾里光束」，用的仍是艾里当年为彩虹写下的那个函数。

没有这一步，折射定律会晚一些找到它第一个漂亮的用处，而光学会少一块把几何光学、色散、干涉、电磁散射一层层串起来的试金石：每一代理论都拿彩虹来考自己，每一代又都在它身上看见上一代漏掉的东西。