当时的困境
牛顿的引力定律精确解出了两个天体的运动：轨道是圆锥曲线，而且永远重复。
太阳系里不止两个天体。行星之间也有引力，虽然比太阳的引力小得多（木星对土星的引力约为太阳对土星引力的百分之一），但它们一直在作用。
问题是：这些微小的摄动会不会累积？
如果某颗行星的轨道半长轴每一圈都增大一点点，哪怕增量微不足道，几百万年之后它也会脱离太阳系。反过来则会掉进太阳。
牛顿没有回避这个问题。他在《光学》的”疑问 31”里写道，行星与彗星的相互作用会使系统逐渐出现某些不规则性，这些不规则性会不断增长，直到这个系统需要被重新整理。他推测这项工作由神完成。
这不是虔诚的套话，是一个诚实的技术判断——他确实算不出来。
莱布尼茨为此嘲讽过他，说牛顿的上帝是个手艺不精的钟表匠，造出来的钟得时不时上门维修。
而观测提供了一个看起来很坏的证据。
大不等式
从开普勒时代起，天文学家就注意到：木星在缓慢加速，土星在缓慢减速。
哈雷 1676 年比较古代与当代的观测，确认了这个趋势。此后一个世纪，偏差越积越大——到十八世纪中叶，土星的实际位置与按牛顿理论算出的位置已经差了将近一度（两个满月的宽度）。
这被称作”大不等式”。如果它是单向的长期漂移，土星迟早会被甩出太阳系。
欧拉两次尝试，拉格朗日也做过，都没有结果。巴黎科学院两度把它设为悬赏题目。
另一处麻烦是月亮。哈雷发现月球的公转在长期加速；如果这是真的，月球最终会撞上地球。
洞见时刻
1785 年，拉普拉斯解决了大不等式。
关键是一个数字。木星的公转周期约 11.86 年，土星约 29.46 年。两者之比
非常接近 5∶2。
在通常情况下，两颗行星的相对位置在每一圈里遍历各种角度，摄动的效果正负相消，净效应几乎为零。但当周期之比接近一个简单的整数比时，它们会周期性地在大致相同的位置再度相遇，摄动因此不再相消，而是逐次累加。
这就是共振。
拉普拉斯把摄动展开到质量的更高阶（前人只算到一阶，那一阶里这项不出现），找到了这个几乎被漏掉的项。它的振幅很大——正是观测到的偏差量级。
但它的周期是约 929 年。
那不是漂移，是一次极缓慢的振荡。人类系统观测行星位置的一个多世纪，恰好落在振荡朝同一方向走的那一段上。再过几百年，木星会开始减速，土星会开始加速，一切回到原处。
同样的方法，他在 1787 年解释了月球的加速：那是地球轨道偏心率的长期变化引起的，同样是振荡的一部分。（这一条后来被证明只对了一半——1853 年亚当斯指出拉普拉斯的计算有误，这个机制只能解释约一半的观测值，另一半来自潮汐摩擦，那才是真正不可逆的。）
更一般的结论由他与拉格朗日共同建立：把摄动展开后，行星轨道的半长轴不含长期变化项——它只在一个平均值附近振荡。而偏心率和轨道倾角的变化，也被限制在有限的范围内来回摆动，不会单调增长。
行星不会飞走，也不会掉进太阳。
太阳系是稳定的。 牛顿留给神的那份工作，被收回到了方程里。
涟漪效应
这个结论的影响远超天文学。它是决定论世界观最有力的一次背书：连太阳系这样复杂的多体系统，长期行为也完全由方程和初始条件决定。拉普拉斯 1814 年那段关于”若有一个智者知晓一切”的著名论述，正写在这项工作的余荫里。
为了做这些计算，他发展出了整套势论：引力势满足 ，这条方程后来在静电学、流体力学、稳态热传导里反复出现。天体力学的技术需求，催生了此后一个世纪数学物理的主要工具。
同一本书里他还提出了星云假说：太阳系由一团旋转的星云在收缩中形成，因此所有行星几乎共面、同向公转。这个图像在细节上被修改了很多次，但基本框架至今成立。
然后它被推翻了一半。
1889 年，庞加莱在研究三体问题时发现，拉普拉斯与拉格朗日所依赖的那类级数展开并不收敛。稳定性的”证明”其实只证明了展开到某几阶时没有长期项，而级数本身在长时间尺度上失效。他还发现了一件更深的事：确定性的方程可以产生对初始条件极端敏感的行为。混沌由此进入物理学。
判决要等到计算机。1989 年，拉斯卡尔用数值积分把太阳系推演了两亿年，得到李雅普诺夫时间约 500 万年——初始位置上 15 米的误差，一亿年后会放大到 1 亿公里（约地球到太阳的距离）。
太阳系是混沌的。 它在几千万年的尺度上不可预测。
2009 年，拉斯卡尔与加斯蒂诺做了 2501 次数值实验，覆盖未来 50 亿年。结果：绝大多数情形下行星轨道仍大致维持现状，但约 1% 的情形里水星的偏心率被木星的共振驱动到失控，可能与金星相撞、撞向太阳，或者扰动地球与火星的轨道。
如果没有它
这不是一个已经关闭的问题，而是一个答案被精细化了的问题。
拉普拉斯错在把”没有一阶长期项”当作了严格的稳定性证明；但他对实际时间尺度的判断是对的——太阳系在几十亿年里大概率不会解体，而人类关心的任何时间尺度上，行星轨道都是可靠的。
星历表。今天喷气推进实验室发布的行星星历（DE 系列）是所有深空任务的基础，它用的正是摄动理论加数值积分。飞往木星的探测器要在几年航程后精确抵达一个几百公里的窗口，靠的就是这套计算。
引力弹弓。旅行者号 1977 年发射，利用了一次一百七十六年才出现一次的行星排列，连续借木星、土星、天王星、海王星的引力加速。这类轨道设计完全建立在多体摄动的精确计算之上。
共振本身成了工具。拉普拉斯发现的近共振机制，如今用来解释小行星带里的柯克伍德空隙、木卫一二三的拉普拉斯共振（周期比严格为 1∶2∶4，正是这个共振维持着木卫一的潮汐加热与火山活动）、以及大量系外行星系统的构型。
混沌。从庞加莱到拉斯卡尔的这条线索，起点就是拉普拉斯认为已经解决的那个问题。今天天气预报的可预测期限、湍流、种群动力学，用的是同一套语言。
一个人花四十年证明了世界是可预测的；他的方法一直有效，而他的结论被他自己开创的领域修正了。