基本粒子的对称性分类

当时的困境

1930 年代的粒子清单是一份越写越长的流水账：电子、质子、中子、光子、正电子，然后是宇宙线里冒出来的新东西。每发现一个，人们量出它的质量、电荷、自旋，记在表上。

但没有人说得清「基本粒子」这个词是什么意思。

这不是咬文嚼字。当时通行的做法是给每种粒子配一个波动方程：电子用狄拉克方程，光子用麦克斯韦方程，自旋为零的用克莱因-戈尔登方程。可这些方程是一个一个凑出来的，凑的依据是「它得是相对论性的」加上一点直觉。要是明天发现一种自旋 3/2 的粒子呢？该写什么方程？没有原则，只有先例。

更麻烦的是自旋。为什么自旋只能取 $0,\ \tfrac12,\ 1,\ \tfrac32,\dots$ 这样一串，中间没有别的值？为什么半整数自旋的粒子转 360 度之后波函数会变号？这些都是从实验里读出来、再硬塞进理论的事实。

洞见时刻

1939 年维格纳换了个问法。他不问「这种粒子该用什么方程」，而是问：

狭义相对论要求物理定律在庞加莱群下不变。这个群有哪些不可约的幺正表示？

庞加莱群就是时空平移加上洛伦兹变换——移动坐标原点、旋转、以及换一个匀速运动的参考系。任何一个孤立的量子系统，它的态空间必须承载这个群的一个表示：不然换个参考系描述它，理论就自相矛盾了。而「不可约」的意思是这个态空间不能再拆成互不混合的更小的部分——换句话说，它描述的是一个不可再分的东西。

这个纯数学问题的答案出人意料地简洁。群有两个卡西米尔不变量，它们在每个不可约表示上取常数值：

$$P^\mu P_\mu = m^2, \qquad W^\mu W_\mu = -m^2 s(s+1)$$

第一个给出质量，第二个（$W^\mu$ 是泡利-鲁班斯基矢量）给出自旋。两个数一定，表示就定了。

于是「基本粒子」有了定义：一种基本粒子就是庞加莱群的一个不可约幺正表示。 质量和自旋不是它的属性，而是它的身份证号。

顺带解决的问题不少。自旋只能取整数或半整数，是因为转动群的覆盖群 $SU(2)$ 的表示只有这些；半整数自旋转 360 度变号，是同一件事的推论。质量为零的情形要单独算，答案也不同：这时只剩一个螺旋度标签，而且它不能连续变——所以光子只有两个偏振态而不是三个，尽管它自旋为 1。

分类还给出了自然界不采用的那些格子：质量为虚数的（快子）、连续自旋的表示。它们在数学上存在，在物理上从未出现，这本身也是一条信息。

1948 年，巴格曼与维格纳把这个分类反过来用：给定 $(m, s)$，写出对应的波动方程。狄拉克方程、麦克斯韦方程、克莱因-戈尔登方程从此不再是各自凑出来的，而是同一张表上的几行。

涟漪效应

它是量子场论的出发点。 今天构造一个场论，第一步是列出场的内容，而列场的语言就是这套分类：这个场是标量、旋量还是矢量，说的正是它属于哪个表示。希格斯玻色子是 $(m, 0)$，光子是 $(0, 1)$，电子是 $(m, \tfrac12)$。

它让「找新粒子」变成了一件有格式的事。 大型强子对撞机的每一次新粒子报告，标题里的两个数总是质量和自旋。2012 年发现希格斯之后，实验组花了大量精力去确认它的自旋是 0 而不是 2——因为在这套分类里，那是判定它是不是那个粒子的关键。

它把对称性从工具升格为原理。 维格纳早年的另一条定理说，量子力学里任何保持跃迁概率的对称变换只能是幺正的或反幺正的。这一条加上这次分类，使得「先写下对称性，再看理论允许什么」成了标准做法。诺特定理给出守恒律，维格纳分类给出粒子谱，杨-米尔斯再给出相互作用——二十世纪后半叶的基础物理，基本是沿这条线展开的。

它也留下了一个尴尬。 这套分类的前提是平直时空。在弯曲时空里没有全局的庞加莱对称，「粒子」这个概念随之变得依赖于观察者——加速的观察者会在惯性观察者眼中的真空里看到热辐射（安鲁效应），黑洞视界附近的同一个机制给出霍金辐射。粒子不是绝对的，这一点最早就是从这个分类的适用条件里显露出来的。

1963 年的诺贝尔物理学奖授予维格纳，理由是「发现并应用基本对称性原理」。

如果没有它

抽掉它，粒子物理会退回到那份流水账：每种粒子配一个凑出来的方程，没有原则说明哪些粒子可以存在、哪些不能。自旋为什么量子化、光子为什么只有两个偏振、为什么没有自旋 1/3 的东西，都只能作为经验事实记下来。

它还改变了一种提问方式。物理学惯常的做法是先看实验、再造模型；维格纳这次是先问「什么样的对象在数学上是可能的」，然后发现自然界恰好用了其中一部分。这条路后来被走得越来越远，直到今天弦论那样几乎完全由自洽性驱动的构造。

他晚年那篇短文追问的正是这件事：数学是人按自己的趣味造出来的，凭什么它一次又一次正好是自然界用的语言。他没有给答案，只说这是一份我们既不理解、也配不上的厚礼。1939 年那篇论文，是他自己给这个疑问添的最有力的一个例证。