二次量子化与早期量子场论

当时的困境

1925 年诞生的矩阵力学与次年的波动力学，处理的都是粒子数固定的体系：一个氢原子里一个电子，一个氦原子里两个。写下哈密顿量之前，先得数清楚有几个粒子。

光偏偏不守这个规矩。原子发光，就是凭空多出一个光子；原子吸光，就是一个光子消失不见。一套只会描写「给定 $N$ 个粒子怎样运动」的理论，连「粒子数变了」这件事都写不出来。

更老的难题还悬着两个。一个是爱因斯坦 1909 年的涨落公式：空腔里一小块体积 $V$ 内、频率在 $\nu$ 到 $\nu + d\nu$ 之间的辐射能量，涨落的平方平均是

$$\langle \Delta E^2 \rangle = h\nu\,\langle E \rangle + \frac{c^3}{8\pi\nu^2 V\,d\nu}\,\langle E \rangle^2$$

第一项是一团独立粒子才有的涨落，第二项是随机叠加的波才有的涨落。爱因斯坦由此断言，将来的光的理论必须同时是波动论和粒子论，可谁也说不出这「同时」是什么意思。

另一个是 1917 年爱因斯坦为推出普朗克公式引入的自发辐射：处在激发态的原子，即便周围没有任何光，也会以一定的概率（系数 $A$）自己发光。这个系数是硬塞进去的。狄拉克 1926 年试过把原子量子化、而把电磁场仍当作经典的波，结果只推得出受激吸收与受激辐射的系数 $B$，推不出 $A$——经典的场在没有光的时候就是零，没有东西能「推」原子一把。

洞见时刻

约尔当的一节：把场也交给矩阵力学。 1925 年 11 月投出的「三人论文」末节，是玻恩、海森堡、约尔当三人里约尔当一个人的手笔。他拿一根两端固定的弦当空腔的简化模型，把弦的每个振动模式当成一个谐振子，按矩阵力学的规则量子化，再去算弦上一小段的能量涨落——爱因斯坦公式里的两项一起冒了出来。粒子项与波动项不再需要两套机制，同一个量子化的场就同时给出两者。

合作者并不买账。据邓肯（Anthony Duncan）与扬森（Michel Janssen）2008 年的考证，论文投稿前几周，海森堡写信给泡利：「约尔当声称干涉计算是对的，经典的项和爱因斯坦的项都对……我对此有点不开心，因为我懂的统计不够，判断不了它有没有意义；可我也批评不了它，因为问题本身和计算看上去都有道理。」1926 年斯梅卡尔（Adolf Smekal）撰文反对，说辐射不与物质相互作用就谈不上达到平衡、也测不到涨落；连约尔当自己都一度动摇，在 1927 年的综述里退回到「这个论证至少对有限的晶格成立」。

狄拉克的一篇：光子数成了算符。 1927 年 2 月 2 日，正在哥本哈根访问的狄拉克由玻尔转交，向英国皇家学会投出《辐射的发射与吸收的量子理论》。他把空腔辐射分解成一个个傅里叶分量，把每个分量的能量与相位当作一对正则共轭的量子变量；在另一种写法里，他把每个模式的振幅 $b_r$ 与它的共轭 $b_r^{*}$ 当成算符，要求

$$b_r b_r^{*} - b_r^{*} b_r = 1$$

由此推出模式 $r$ 里的光子数 $N_r$ 只能取 $0, 1, 2, \dots$。用今天的记号，$a$ 与 $a^{\dagger}$ 分别让光子数减一、加一：

$$a\,|N\rangle = \sqrt{N}\,|N-1\rangle, \qquad a^{\dagger}\,|N\rangle = \sqrt{N+1}\,|N+1\rangle$$

这就是湮灭算符与产生算符。原子往一个已有 $N$ 个光子的模式里发射，跃迁概率正比于 $(\sqrt{N+1})^2 = N+1$：其中 $N$ 那部分随已有的光增强，是受激辐射；剩下的「1」在一个光子都没有时也不为零，正是自发辐射。爱因斯坦的 $A$ 与 $B$ 第一次从同一个哈密顿量里一起推了出来，而且数值正确。

狄拉克还证明，这个量子化的波动场，与一群服从玻色-爱因斯坦统计、以光速运动的粒子，给出的是同一个哈密顿量——场里第 $r$ 个模式的量子数，恰好就是处在该状态的光子个数。他在引言里写道：「波动描述与光量子描述之间于是完全和谐。」被吸收的光子，他说可以看作跳进了一个能量为零的「零态」，发射就是从零态跳出来。

这篇论文的脚注里提到了「三人论文」的涨落计算。据约尔当 1973 年的回忆，玻恩最先收到狄拉克的抽印本，看着直摇头：「你看狄拉克先生现在干的事，他又把一个粒子的本征函数当成不对易的可观测量了。」约尔当答：「那是自然的。」——他说这正是自己一再主张的、从单粒子问题通向玻色多体问题的办法。邓肯与扬森提醒，这段回忆写于近半个世纪之后，恐怕有所润色。

约尔当的推广：物质波也量子化，费米子要反对易。 狄拉克在同一篇论文里明说，这种「强度代表粒子数」的波只在服从玻色统计的粒子身上出现，「因此电子没有这样的波」。约尔当不这样看：他主张光与物质应当一视同仁，都是量子化的场。1927 年他与奥斯卡·克莱因把薛定谔的物质波当作算符场，证明对有相互作用的玻色子，场的写法与 $N$ 体薛定谔方程完全等价，粒子之间的相互作用可以统一写成

$$H = \sum_{i,j} T_{ij}\, a_i^{\dagger} a_j + \frac{1}{2}\sum_{i,j,k,l} V_{ijkl}\, a_i^{\dagger} a_j^{\dagger} a_l a_k$$

第一项是粒子从态 $j$ 跳到态 $i$，第二项是两个粒子碰一下、一起换了态——粒子有几个不必事先写定。

电子却不能照搬。约尔当 1927 年先在一篇讨论气体简并的短文里尝试，1928 年与维格纳合作给出答案：描写费米子的算符不满足对易关系，而满足反对易关系。两种粒子的规则并排放着：

$$a_i a_j^{\dagger} - a_j^{\dagger} a_i = \delta_{ij}$$ $$a_i a_j^{\dagger} + a_j^{\dagger} a_i = \delta_{ij}$$

前一条管光子一类的玻色子，后一条管电子一类的费米子。由后一条马上得到 $(a_i^{\dagger})^2 = 0$：同一个态里产生两次电子，结果是零——泡利不相容原理从一条经验规则变成了算符代数的推论，每个态的占据数只能是 0 或 1。为了在格点上具体造出这样的算符，两人用自旋的 2×2 矩阵配上一串正负号拼出了它们，这个构造今天叫约尔当-维格纳变换。

骨架成形。 1928 年约尔当与泡利完成了自由电磁场的相对论性量子化；1929 年海森堡与泡利给出任意场的一般正则量子化方法，今天量子场论教科书的开头几章基本就是这套结构。1932 年，苏联物理学家福克（Vladimir Fock）把「零个、一个、两个……任意多个粒子」的态空间拼成一个整体，并证明位形空间的多体波函数与场算符的写法对两种统计都等价——这个空间后来就叫福克空间。

涟漪效应

「二次量子化」这个名字。 叫法的来历就有两种说法。据邓肯与扬森，库恩在 1960 年代为「量子物理史料」项目访谈约尔当时问起这个词是谁造的，约尔当说是他自己；而库尔曼（Meinard Kuhlmann）为《斯坦福哲学百科》写的量子场论史则说，这一做法源自约尔当 1927 年的几篇论文，「这个说法本身却是狄拉克造的」。能确定的是，福克 1932 年的论文已把「二次量子化」写进了标题。

名字的逻辑是：「一次量子化」把经典粒子换成波函数，「二次量子化」再把波函数本身换成算符。这让很多初学者以为是把已经量子化的东西又量子化了一遍——据施罗尔（Bert Schroer）记述，当年就有人挖苦：「已经是量子的东西，为什么还要再量子化一次？」实际情形是：

• 对光，被量子化的是经典的麦克斯韦场，只量子化了一次；
• 对非相对论性的多粒子体系，约尔当-克莱因的写法与 $N$ 体薛定谔方程完全等价，并没有引入新的物理，只是一种按占据数记账的方便记号。施罗尔因此认为，常被当作「场量子化开山之作」的约尔当-克莱因论文，其实只是多体量子力学的一种写法；
• 对相对论性粒子，并不存在一个前后自洽、可以先写下再「二次」量子化的单粒子波函数——狄拉克方程的负能解就是信号。温伯格的《量子场论》第 1 卷干脆换了出发点：从多粒子态与相对论出发直接引入产生湮灭算符，不讲「量子化什么」。

施罗尔转述数学家纳尔逊（Edward Nelson）的一句俏皮话：「一次量子化是个谜，二次量子化只是一个函子。」

功劳与记忆：两方的材料。 物理学界的通行记忆把量子场论的起点放在狄拉克 1927 年的那篇论文。1972 年狄拉克七十寿辰的会议上，佩尔斯说：「在这件事上，和在许多别的事上一样，第一步是狄拉克迈出的。」施温格说：「量子电动力学始于 1927 年那篇著名的论文。」施温格 1958 年编的《量子电动力学论文选》，第一篇就是它。这种记忆有它的根据：狄拉克的论文第一次处理了辐射与原子相互作用的完整体系，第一次推出了自发辐射系数；约尔当自己 1928 年也写道，场量子化的主张起初「或被搁置，或被拒绝」，直到「狄拉克一年后证明了爱因斯坦的发射与吸收定律也从这个图像中必然而精确地得出」，才被接受。

另一面的材料同样确凿。约尔当 1925 年就把场量子化了，比狄拉克早一年多；把这套办法推广到物质波和费米子、给出反对易关系的也是他。据他 1962 年致范德瓦尔登的信，哥廷根的同事如弗伦克尔（Yakov Frenkel）把他「电磁场与薛定谔场都得量子化」的主张看作「有点异想天开的夸张，或者发疯」。1948 年他写信给玻恩：「我们『三人论文』里对光量子问题的进攻长期被所有人拒绝……直到狄拉克拿起这个想法，从那以后，人们在这件事上只引用他一个人。」科学史家施韦伯称他是量子力学创立者中「未被传颂的英雄」；达里戈尔（Olivier Darrigol）1986 年的研究、施韦伯 1994 年的书与温伯格 1995 年教科书的历史一节，都给了约尔当应有的位置。邓肯与扬森则认为，约尔当的名字后来与纳粹党员身份绑在一起，对这一节被冷落的影响也许不大，更主要的是它一问世就遭到合作者的怀疑，那片疑云一直没有散去。约尔当的生平与政治，见他的人物页。

从这里到量子电动力学。 狄拉克 1927 年的第二篇论文《色散的量子理论》把光的散射拆成「先吸收、再发射」一类中间过程，据埃贝格尔（Markus Ehberger）2022 年的研究，这种按先后跃迁来想象电动力学过程的办法，塑造了整个 1930 年代的微扰计算，费曼图里一个个「发射」「吸收」的顶点就是它的后代。狄拉克自己没有把电子当作场，而用填满的负能海来安顿方程的负能解；1934 年 Furry 与奥本海默、海森堡各自用量子化的电子场重写了空穴理论，正电子成了电子场的另一种激发。可是场论一算高阶就得出无穷大，这笔账要到 1940 年代末的重正化才算清。至于为什么自旋决定该用对易还是反对易，1928 年还只是照实验挑选，要到 1940 年泡利的自旋-统计定理才有答案。

在凝聚态里，它是日常语言。 相对论里的场论是一个方向；另一个方向是固体与液体里的多体问题——这里粒子数很多但守恒，二次量子化的记号恰好最省事。1930 年塔姆用产生湮灭算符把晶格振动写成一团「弹性量子」，即后来的声子；超导的 BCS 理论、描写强关联电子的哈伯德模型、超流与磁性里的各种准粒子，今天都用 $a^{\dagger}$、$a$ 写成。约尔当-维格纳变换在 1961 年被 Lieb、Schultz、Mattis 用来精确求解一维自旋链，此后成为一维量子磁性的标准工具；到了量子计算时代，它又被用来把分子里的电子「翻译」成量子比特，是用量子计算机做量子化学模拟的第一步。

如果没有它

没有场的量子化，光子就只是一个方便的说法：原子发光时凭空多出来的那个东西，在理论里没有位置；爱因斯坦的涨落公式与自发辐射系数，只能继续作为两块互不相关的补丁挂在那里。

激光的原理就写在 $\sqrt{N+1}$ 这个因子里：模式里的光子越多，原子越倾向于往同一个模式里再发一个——这正是受激辐射放大的数学根源。没有它，激光器与量子光学缺一套能算的语言。

凝聚态理论的大部分教科书也无从下笔。三维固体里有 $10^{23}$ 个电子，逐个写出波函数、再做反对称化，是没法计算的；用产生湮灭算符只记「哪个态上有没有电子」，半导体、超导、磁性的理论才有了可以操作的形式。

量子电动力学、粒子物理的标准模型，都建在「粒子是场的激发」这块地基上。没有 1925 至 1932 年这几年的工作，二十世纪下半叶的理论物理，连提问的方式都会不一样。