帕斯夸尔·约尔当

量子力学的奠基者里，有一个名字几乎只出现在引文里：矩阵力学的开山之作署着玻恩与他两个人的名字，「三人论文」里有他一份，量子场论最早的几篇论文、费米子的反对易关系、后来以他命名的一类代数，都出自他手。可海森堡、狄拉克、泡利、玻恩先后拿了诺贝尔奖，帕斯夸尔·约尔当没有。

他也是这群人里唯一在 1933 年加入纳粹党的一位。科学史家施韦伯（Silvan Schweber）称他为量子场论「未被传颂的英雄」；另一些人更愿意先谈他的政治。这两件事缠在一起，是理解约尔当绕不开的地方。

汉诺威的口吃少年

约尔当 1902 年生在汉诺威，父亲是小有名气的肖像与风景画家。据家族传说，祖上是西班牙贵族帕斯夸尔·霍尔达（Pascual Jorda），拿破仑战争后随英王的汉诺威军队定居下来，名字里后来多了一个 n，家中长子一律叫帕斯夸尔。

他从小严重口吃，没准备的发言尤其结巴，这个毛病伴了他一辈子。1921 年他进汉诺威工业大学，同时念数学、物理和动物学——对生物学的兴趣后来一直没放下。

哥廷根：库朗的助手、玻恩的学生

1923 年他转到哥廷根，那里正是数学与物理的鼎盛时期。他先给数学家库朗当助手，参与了库朗与希尔伯特合著的《数学物理方法》；随后投入玻恩门下，1924 年以一篇关于光量子的论文取得博士学位。爱因斯坦认为这篇论文很巧妙，但不同意它的前提，专门在《物理学杂志》上写了一篇短文商榷——对一个二十出头的博士生来说，这已是莫大的注意。

扎实的代数功底，是约尔当日后最大的本钱。

二十二岁的矩阵力学

1925 年夏天，海森堡把一篇怪论文交给玻恩：原子里的物理量写成按能级编号的数表，这些数表相乘还与顺序有关。玻恩认出那是矩阵，也猜到了位置与动量之间应当满足的关系，但需要一个数学更强的年轻人合作。据施罗尔（Bert Schroer）的记述，泡利拒绝了，约尔当自告奋勇，几天之内就证明玻恩的猜想与运动方程自洽。

9 月 27 日，两人投出《论量子力学》。那条关系第一次出现在纸上：

$$pq - qp = \frac{h}{2\pi i}$$

哥廷根的年轻人拿 pq 与 Pascual 的发音开玩笑，有时就管它叫「约尔当关系」。11 月，玻恩、海森堡与约尔当又合写了续篇，即「三人论文」，矩阵力学从此成为一套完整的理论。

「三人论文」里的那一节

「三人论文」的最后一部分处理的是空腔里的电磁辐射，据玻恩与海森堡后来的说法，这部分出自约尔当。他拿一根两端固定的弦当空腔的简化模型，把每个振动模式看成一个振子，按矩阵力学的规则量子化，然后计算一小段里能量的涨落。

结果恰好是爱因斯坦 1909 年得到的那个公式：一项对应粒子，一项对应波。约尔当表明，只要把场本身量子化，两项就自然同时出现，不必再在波与粒子之间二选一。合作者起初并不买账，后来又有不少人认为计算里的无穷大使结论站不住；科学史家邓肯（Anthony Duncan）与扬森（Michel Janssen）2008 年重新检查后认为，约尔当算的是窄频段内的涨落，本身有限，论证虽不完整但基本成立。这一节今天常被看作量子场论的第一次亮相，它此后的遭遇与狄拉克 1927 年那篇论文的关系，见本站「二次量子化与早期量子场论」页。

压在箱底的费米统计

1925 年底，约尔当写了一篇论文，讨论服从泡利不相容原理的粒子该怎样统计——他称之为「泡利统计」，也就是今天的费米-狄拉克统计。

据施罗尔引述，玻恩晚年说起这件事：稿子交到他手上时，他正要动身去美国长途讲学，结果被压在箱底半年；等他回到德国发现时，费米和狄拉克已经各自独立发表了同样的结果。玻恩的原话大意是：「我讨厌约尔当的政治，但我永远无法弥补我对他做的事……约尔当是第一个。」这段轶事目前只见于玻恩自己的回忆，手稿本身没有流传下来。

变换理论与二次量子化

1926 至 1928 年是约尔当最多产的几年。1927 年初，他与狄拉克几乎同时、各自独立地提出了量子力学的变换理论，把矩阵力学与薛定谔的波动力学统一为同一套形式的不同表示；伦敦（Fritz London）也在同一时期得出了相近的结果。

随后他把目光转向「场」本身：1927 年与克莱因把薛定谔的物质波当作场来量子化；1928 年与维格纳给出费米子的反对易关系，泡利不相容原理成了算符代数的推论，今天凝聚态物理里常用的约尔当-维格纳变换即出于此；同年又与泡利完成了自由电磁场的相对论性量子化。这几篇论文与「二次量子化」这个叫法的来历、他与狄拉克之间的功劳之争，详见本站「二次量子化与早期量子场论」页。据霍华德（Don Howard）的评述，他也是最早碰到量子场论发散问题的人。

约尔当代数

1930 年代初，约尔当想找一套不依赖经典概念的量子力学表述。可观测量是厄米矩阵，两个厄米矩阵的普通乘积却不一定厄米，他于是只保留对称化的乘积 $A \circ B = \tfrac{1}{2}(AB+BA)$，看看仅凭它能走多远。

1934 年，他与冯·诺伊曼、维格纳在《数学年刊》上发表了这项工作的系统结果。作为物理学的新基础，它没有走通；但它开创的非结合代数——约尔当代数——后来在射影几何、李代数、数论与优化理论中都派上了用场。

纳粹党员：两面的材料

这一段历史，各方材料所讲的侧重点很不一样，下面分别列出。

不利于他的一面。 据 MacTutor 传记与德文维基百科所引的研究，约尔当从 1930 年前后起以笔名「恩斯特·多迈尔」（Ernst Domeier）在极右刊物上发表政论，这一点直到 1990 年代才被揭开。他在 1933 年 5 月 1 日加入纳粹党，11 月又加入冲锋队（SA），此后写过大量宣扬国家社会主义、主张扩军的文章，战时还多次向当局兜售新式武器的设想。据科学史家霍夫曼（Dieter Hoffmann）与沃克（Mark Walker）的研究，他是真心的支持者，并试图从内部影响政权。

对他有利或复杂的一面。 同样据这些材料，他反对勒纳德、斯塔克的「德意志物理学」，1936 年的科普书《二十世纪的物理学》照样肯定爱因斯坦等犹太物理学家的贡献；他反驳比伯巴赫的「德意志数学」，留下了本页开头那句关于机枪的话。据格林斯潘（Nancy Greenspan）的玻恩传记，1933 年 4 月弗兰克辞职抗议后，约尔当是少数登门探望弗兰克和玻恩的人之一，他对玻恩说，自己要是党员，也许能阻止这种事——两周后他入了党。他力图说服当局：现代物理，尤其是哥本哈根诠释，是对抗布尔什维克唯物论的利器。正因为他与犹太师友的往来，当局始终认为他「政治上不可靠」，他没有参与任何重要的战时科研项目，大部分军旅时间在做气象分析。

战后他在去纳粹化中失去教职两年，海森堡、泡利为他作证。据流传的轶事，泡利曾当面念出他的宣传文字，问他怎么写得出这种东西；约尔当反问：「泡利先生，您怎么读得下去这种东西？」

战后：汉堡与广义相对论

1947 年约尔当到汉堡大学任客座教授，1953 年恢复正教授待遇。战后他的主要精力转向纳粹时期受冷落的广义相对论。他在汉堡主持的相对论讨论班培养出埃勒斯（Jürgen Ehlers）、昆特（Wolfgang Kundt）、许金（Engelbert Schücking）等人，为德国重建了这个领域；埃勒斯后来成为马克斯·普朗克引力物理研究所的创始所长。

他自己沉迷于狄拉克 1937 年的大数假说：引力常数也许随宇宙年龄减弱。为此他发展了一种标量-张量引力理论，1952 年写进《引力与宇宙》；1961 年布兰斯与迪克提出的同类理论在论文中引用了他的工作，今天常被合称为约尔当-布兰斯-迪克理论。他还据此推论地球在变大，用来解释大陆漂移，1966 年出版《地球的膨胀》——这套说法在地质学家与物理学家中都没有得到认可，板块构造说确立后更被证伪。

联邦议院

泡利曾劝他别再碰政治，约尔当没有听。1957 年他以基督教民主联盟候选人当选联邦议员，任期到 1961 年。同年，包括玻恩、海森堡在内的十八位物理学家发表「哥廷根宣言」，反对联邦国防军装备核武器；约尔当撰文反驳，认为他们危害了和平与稳定。据施罗尔的记述，玻恩的夫人黑德维希为此写长信谴责他，并把他的政论汇编发表，题为《帕斯夸尔·约尔当：拿基民盟薪水的宣传员》。师生二人的关系就此破裂。

为什么没有诺贝尔奖

1932 年海森堡获奖，1933 年狄拉克与薛定谔，1945 年泡利，1954 年玻恩——矩阵力学与早期量子场论的主要创立者里，只有约尔当没有获奖。原因众说纷纭，各家说法如下：

• 据 MacTutor 传记，「如今多数人认为」是他的纳粹党身份所致。
• 据该传记转引的霍华德（Don Howard）的归纳，有人归咎他口吃、讲不好课，有人归咎他亲纳粹、战后又支持西德拥有核武器，也有人归咎玻恩弄丢了那份费米统计的手稿。
• 施罗尔写道，1920 年代中期爱因斯坦曾两次提名「三人论文」的作者；但诺贝尔奖提名档案的公开部分里，爱因斯坦作为提名人的九次提名都没有约尔当。
• 提名档案显示，约尔当在 1951 至 1973 年间获得过 12 次物理学奖提名，提名人包括延森等人。施罗尔还说维格纳 1979 年提名过他，这一年的档案按五十年保密期尚未公开，无法核对。

这些说法彼此并不排斥，档案也没有给出委员会的理由。能确定的只是结果：约尔当 1980 年在汉堡去世，他的名字留在了约尔当代数、约尔当-维格纳变换与约尔当-布兰斯-迪克理论里。