斯特藩-玻尔兹曼定律

当时的困境

一块烧热的东西放在那里，它凉下来有多快？这个问题比看上去难得多。

1701 年，牛顿在《哲学汇刊》上匿名发表了一份温度表，里面用到一条假设：物体散热的快慢与它比周围高出的温度成正比。温差不大时它很好用，今天仍叫牛顿冷却律。可它把传导、对流、辐射混在一起，温差一大就失灵。

1817 年，杜隆与珀蒂把温度计泡放进抽空的铜球里，想只看辐射。他们从 0 °C 到 280 °C 之间的测量里拟合出一个指数式：外壳温度为 $\theta$、温度计高出 $t$ 度时，冷却速度

$$v = m\,a^{\theta}\left(a^{t} - 1\right),\qquad a \approx 1.0077$$

这个式子在测量范围内拟合得很好，却没有任何理论根据；推到高温后，它会像所有指数函数一样发散得离谱。拿太阳一试就露了馅：据斯特藩后来的整理，普耶用杜隆-珀蒂式从太阳辐射推算出的表面温度只有 1461 °C 到 1761 °C，而按牛顿的线性律则是八百四十多万度，两者相差数千倍。

1859 年，基尔霍夫又证明，一个只吸收不反射的「黑体」辐射多少能量，只由温度与波长决定，与材料无关。这让问题有了一个明确的目标——那个普适函数长什么样——却也让手头的数据显得更加不够用：没有人真正拥有一个黑体。

洞见时刻

1879：从旧数据里读出四次方

1879 年 3 月 20 日，维也纳帝国科学院的秘书斯特藩提交了《论热辐射与温度的关系》。据站内斯特藩人物页对原文的整理，他几乎没做新实验，而是把别人的数据一组组重算。

最先触动他的，是 Wüllner 教科书里引述的丁达尔实验：一根通电的铂丝从约 525 °C 的暗红烧到约 1200 °C 的白炽，辐射强度从 10.4 涨到 122，约 11.7 倍。而这两个绝对温度之比的四次方是

$$\left(\frac{1473}{798}\right)^{4} \approx 11.6$$

他接着回头检查杜隆与珀蒂的数据。他们的铜球里还剩两三毫米汞柱的空气，扣除空气散热时是按气压外推的；可斯特藩刚用自己的「透热温度计」证明过，气体导热与压强无关，所以扣掉的只是对流，导热那一份还留在「辐射」里。数据本身既然有百分之几的不确定，指数式就没有特权：用 $(273+t)^{4} - 273^{4}$ 乘一个常数，同样能对上 80 °C 到 240 °C 的九个数据。德雷珀 1847 年的铂丝数据、埃里克森的铁块量热实验，也都更接近四次方而不是指数。

于是他写下：一个物体放出的热，与它绝对温度的四次方成正比。用今天的写法，

$$j = \sigma T^{4}$$

论文最后，他用新公式重算太阳：普耶的数据给出约 5586 °C；用 Soret 对太阳与烧红锆片的比较测量交叉核验，得到 5307 °C 到 5565 °C。与此前一千多度和八百多万度的两种估算相比，这是第一次落在今天数值附近的结果。

数据有问题，结论却对了？

这组铂丝数据后来受到质疑，两方的材料都在。

一方：Dougal 1979 年在纪念四次方定律一百周年的文章里，转引了 Worthing 与 Halliday 1948 年《热学》的一段脚注——后来的测量表明，铂在这两个温度下的辐射之比更接近 18.6，而不是 11.6；铂也远不是黑体，本不该指望它服从黑体的规律。照这一说法，斯特藩的出发点是一组偏差不小的数据。

另一方：据站内斯特藩人物页对原文的整理，斯特藩只说铂丝数据「最先促使」他提出假设，论证的主体是重新分析杜隆-珀蒂的冷却数据；他还在文中写明，高温观测「尤其是温度的测定」很不可靠，不适合作决定性检验。

前者说的是数据的质量，后者说的是这组数据在论证里占多大分量。本页把两方都列在这里，不作裁决。

1884：学生用热力学证明

五年后，在格拉茨任教的玻尔兹曼连着在《物理与化学年鉴》上发了两篇短文。

第一篇的缘起是一篇书评。Eddy 发表文章，说辐射热是热力学第二定律的例外；玻尔兹曼写书评时，经 E. Wiedemann 提醒，读到了意大利物理学家 Bartoli 1876 年的一本小册子。据玻尔兹曼的转述，Bartoli 设想了这样一台装置：一端是冷的黑面，一端是热的黑面，中间是两块完全反光、可以移动的活塞。把冷面发出、充满圆筒的辐射用活塞压缩，推进热面——如果辐射对活塞没有压力，这个过程就不花功，而热量却无补偿地从冷处流到了热处，第二定律被打破。要保住第二定律，辐射就必须对物体施加压力。

玻尔兹曼把 Bartoli 的过程改造成一个可逆循环——一段等温、一段绝热，相当于一台以辐射为工作物质的卡诺热机——由第二定律推出辐射压强与能量密度之间必须满足的一个关系。

第二篇把麦克斯韦的电磁理论接了上来。麦克斯韦 1873 年在《电磁通论》里算出：一束垂直射到平面上的光，对单位面积的压力等于单位体积里的电磁能量。玻尔兹曼仿照 Krönig 处理气体的办法，把空腔想成一个立方体，三分之一的辐射沿每个坐标轴传播，于是各向同性的辐射对器壁的压强是

$$p = \frac{u}{3}$$

把它代入第一篇的热力学关系，用今天的写法就是

$$\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T} = T\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{V} - p \quad\Longrightarrow\quad u = \frac{T}{3}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}T} - \frac{u}{3}$$

整理得 $T\,\mathrm{d}u/\mathrm{d}T = 4u$，积分就是 $u = aT^{4}$。空腔里辐射的能量密度正比于绝对温度的四次方；从小孔射出去的功率 $j = cu/4$，自然也是四次方。

玻尔兹曼称这是「一个诚然值得注意的结果」，但紧接着补了一句：谁也不会看不出这里的计算在许多地方带有暂定性质。他还指出这条路可以倒着走：承认第二定律与斯特藩定律，也能反推出辐射压强等于能量密度的三分之一。第一篇里他还顺带提到，自己早已开始用四周等温的空腔上开的小孔来代替黑体做实验——十一年后，维恩与卢默正是用这个办法造出了实验室里的黑体。

推导给了定律理论地位，也划定了它的范围。斯特藩原文说的是「一个物体」；玻尔兹曼的推导只对空腔辐射，也就是黑体成立。今天对普通物体写成 $j = \varepsilon\sigma T^{4}$，发射率 $\varepsilon$ 介于 0 与 1 之间，还随温度和波长变化——铂丝的麻烦正在这里。

涟漪效应

实验上的验证来得比理论晚。1897 年，柏林帝国物理技术研究院的卢默与普林斯海姆用加热的空腔做黑体，测了从 373 K 到 1561 K 的十三个温度。他们在论文开头指出，此前所有检验斯特藩-玻尔兹曼定律的实验都没有用真正的黑体。结果大多与四次方相差几个百分点；剩下的一点系统趋势，把指数换成 3.96 就几乎消失。他们的结论是：这条定律在 290 K 到 1560 K 之间可以视为已被证实。定律的双名，在这篇论文里已经这样写了。

它给量子论提供了一个数。 1898 年，Kurlbaum 测出黑体在 100 °C 与 0 °C 时每平方厘米辐射功率之差为 0.0731 瓦，折合 $\sigma \approx 5.30 \times 10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$，比今天的值低约百分之七。1901 年，普朗克发表他的辐射公式时，正是拿 Kurlbaum 这个数与卢默-普林斯海姆测的位移常数，第一次算出了两个新常数：$h = 6.55 \times 10^{-27}$ 尔格·秒，$k = 1.346 \times 10^{-16}$ 尔格每度。

它被普朗克定律吸收。 维恩 1893 年推位移定律时，已经把四次方当作前提；1900 年的普朗克公式对全部频率积分，得到的仍是四次方，而且连常数都给了出来：

$$\sigma = \frac{2\pi^{5}k^{4}}{15\,c^{2}h^{3}} \approx 5.670 \times 10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$$

2019 年国际单位制改用固定的 $h$、$k$、$c$ 来定义之后，$\sigma$ 也随之成了一个精确的数。一条从别人旧数据里读出来的经验律，最后变成了由基本常数拼成的等式。

今天，四次方出现在所有要从「热」反推「温度」或从「温度」反推「热」的地方：

• 恒星。 一颗恒星的光度是 $L = 4\pi R^{2}\sigma T^{4}$。国际天文学联合会 2015 年给出太阳的标称光度 $3.828 \times 10^{26}$ 瓦与半径 $6.957 \times 10^{8}$ 米，代入即得有效温度约 5772 K——斯特藩 1879 年的估算离它只有几百度。反过来，测出一颗恒星的光度和温度，就能算出它有多大。
• 地球。 地球接收的太阳辐照约为每平方米 1361 瓦，扣掉约三成反射，均摊到整个球面后，要与 $\sigma T^{4}$ 的向外辐射相平衡，得到 $T \approx 255\ \mathrm{K}$，约零下 18 °C。而地表的实际平均温度约 15 °C，多出的三十多度来自大气的温室效应。这道算术是气候模型最基本的起点。
• 测温。 红外测温枪与热成像仪从物体的辐射反推温度；它们多半只测一段红外波段，用的是普朗克定律在该波段的积分，但仪器上那个要手动设置的「发射率」，正是斯特藩的「一个物体」与玻尔兹曼的「黑体」之间的那道差距。
• 航天器。 太空里没有空气，卫星和空间站多余的热只能靠辐射散掉。四次方意味着散热板温度稍低一点，就要大得多的面积——这是热控设计绕不开的约束。

如果没有它

没有四次方，维恩 1893 年的位移定律只能把黑体曲线沿横轴平移，纵轴该放大多少则无从确定——他当年正是用斯特藩定律补上这一个因子。普朗克 1900 年凑出新公式之后，也需要实测的 $\sigma$ 才能从公式里把 $h$ 与 $k$ 算成数字；没有 Kurlbaum 的那个测量，普朗克常数在一开始就只是一个符号。

更长远地看，没有一条从温度直通辐射总量的定律，我们估算太阳、恒星与地球温度的办法，可能仍停留在杜隆-珀蒂式给出的一千多度，或者牛顿式给出的八百多万度之间。斯特藩手里的数据并不干净，玻尔兹曼自己也说推导是暂定的；可一条经验律加一段热力学论证，就把「热」和「光」接在了同一个方程里。