图：佚名，1893 年刊于《维也纳帝国科学院年鉴》的肖像版画（公有领域，维基共享资源）

约瑟夫·斯特藩

Josef Stefan

1835–1893 · 生于奥地利帝国克恩滕，克拉根福近郊圣彼得 · 奥地利

热学与统计电磁学

从别人的旧数据里读出「热辐射正比于温度四次方」，又教出了玻尔兹曼的维也纳物理学家

「高温下的热辐射观测本来就很少，结果——尤其是温度的测定——又很不可靠，恐怕不适合用来对一个假说作决定性的检验。」
—— 斯特藩 1879 年论文《论热辐射与温度的关系》第 420–421 页，本站据德文原文译；他写下这句话时，正要引出启发他的那组铂丝数据

1879 年 3 月 20 日，维也纳帝国科学院的秘书在例会上宣读了一篇自己写的论文。论文里几乎没有新实验：他把杜隆与珀蒂六十年前的冷却数据、丁达尔的铂丝数据、德雷珀和埃里克森的测量一组组拿出来重算，最后写下一句话——物体辐射出的热量，与它绝对温度的四次方成正比。

这位秘书叫约瑟夫·斯特藩。五年后，他的学生玻尔兹曼从理论上证明了这条定律；它成了黑体辐射问题的第一个定量台阶，今天叫斯特藩-玻尔兹曼定律。

克恩滕的穷孩子

斯特藩 1835 年 3 月 24 日生于克拉根福近郊的圣彼得，那里当时属奥地利帝国克恩滕公国。据《斯洛文尼亚人物传记辞典》，他的母亲 Marija Startinik 直到 1844 年 8 月才与他的父亲 Aleš Stefan 正式成婚，他此后才随父姓；中学的学籍册上，他被登记为「生为斯洛文尼亚人」。德语的《德意志人物总传》说他的父母「非常贫穷」。

他在克拉根福读完小学与文理中学，七、八年级都是全年级第一，物理老师是斯洛文尼亚人 Karel Robida。1848 年起，学校为斯洛文尼亚学生开设母语课，任课的是 Anton Janežič。据《斯洛文尼亚人物传记辞典》，他写诗的冲动来自歌德，也受到 Stifter 与斯洛文尼亚诗人 Levstik 的影响。

用斯洛文尼亚语写诗的少年

中学的斯洛文尼亚学生办了一份刊物，他的处女作就登在上面。此后几年，他的抒情诗、爱国诗、从俄语与捷克语翻译的民歌，陆续出现在卢布尔雅那与克拉根福的斯洛文尼亚语杂志上；他还写过游记《塞尔维亚剪影》，以及《海绵》《我们呼吸的空气》《蓝天》这样的科普短文。《斯洛文尼亚人物传记辞典》的评价是：在当时一批年轻作者里他年纪最小，却最有天分。

但到了 1855 年，他得出结论说自己「什么也没写出来」，决定不再以文学为业。1859 年以后，再没有他的斯洛文尼亚语作品。1859 年他在一篇文字里感叹：自己站在斯洛文尼亚读者面前，背着「一筐德国学问，握着一把斯洛文尼亚词」。他的一首《夜露》，1891 年还被误当作 Levstik 的作品，收进了 Levstik 的文集。

维也纳：从实科学校教师到研究所所长

1853 年，斯特藩进入维也纳大学，跟随 Petzval 与 Ettingshausen 学数学和物理。1857 年他已在大学给药学学生讲实验物理，同年通过教师资格考试，到一所私立实科学校教书；1858 年获博士学位并取得讲师资格。1860 年，二十五岁的他成了帝国科学院的通讯院士；1863 年升任正教授。Ettingshausen 退休后，他接掌维也纳大学物理研究所（《斯洛文尼亚人物传记辞典》记作 1865 年，一般记作 1866 年），一直做到去世。

研究所当时挤在维也纳埃德贝格区的一处简陋房舍里。1866 年，玻尔兹曼在这里获得博士学位。多年后玻尔兹曼回忆，他与斯特藩熟络起来之后，斯特藩做的第一件事，是把麦克斯韦的论文塞到他手里，又因为他「一个英语词也不懂」，外加一本英语语法书。

让空气「导热」

一团静止的气体到底能不能导热、导多少，在 1870 年前后是一桩悬案。气体导热太弱，一点对流就能把它盖住——柏林的 Magnus 做过这项测量，有几次甚至算出空气的导热系数是负的。而麦克斯韦的气体动理论预言了一件违反直觉的事：气体的导热本领与压强无关。

斯特藩用来解决它的仪器，玻尔兹曼称为「简单得不可思议」。他管它叫「透热温度计」：一个双层壁的圆筒，内筒本身就是温度计，两壁之间是一薄层被测气体。把它加热后埋进冰里，看内筒降温有多快。热量既靠气体传导，也靠辐射散出；他换用不同厚度的夹层来测——传导的部分随层厚而变，辐射的不变——两者就分开了。1872 年的结果：空气确实能导热，据《德意志人物总传》，铜的导热本领约为空气的两万倍；他还用一个实验证实了导热与压强无关，正如麦克斯韦所料。到 1879 年，他已把这项检验做到从两个大气压一直降到 4 毫米汞柱，导热系数始终不变。

玻尔兹曼还提到一个副产品：斯特藩用这台仪器发现，羊毛织物的导热与空气差不多——衣服保暖，靠的不是纤维本身导热差，而是纤维之间关住的空气不流动。

杜隆与珀蒂的「真空」里还有空气

气体导热的研究，直接把他引向了热辐射。

1817 年，杜隆与珀蒂把温度计放进抽成近乎真空的铜球里，测它冷却有多快，得出辐射随温度按指数增长的经验公式。它只在 0 到 280 °C 之间测过，却被推广到远高得多的温度，普耶还用它推算太阳温度，只得到一千四百多到一千七百多度。

斯特藩 1879 年的论文从这里下刀。杜隆与珀蒂的铜球里还剩 2 到 3 毫米汞柱的空气，他们在较高气压下测出空气的冷却作用，再按气压外推到 2 毫米，当作可以忽略的小量扣掉。可斯特藩自己刚证明过：空气的导热与压强无关，2 毫米的稀薄空气导热与一个大气压下一样多。气压外推扣掉的只是对流那一份，导热那一份原封不动地留在了「辐射」数据里。按他的估算，这会让表中的冷却速度有 5% 到 9% 的不确定。

也正因为这组数据本身靠不住，他并不认为指数式有什么特权。他注意到，用

(273 + t)^{4} - 273^{4}

除以一个常数，同样能复现杜隆与珀蒂 80 °C 到 240 °C 的九个数据。他坦白承认，杜隆-珀蒂的指数式在这一段拟合得「更好一些」，但四次方式的偏差也不大，而且更简单、在理论上更有优势。

1879：四次方

真正让两个公式分出高下的是高温。斯特藩在论文里说明，最先促使他提出四次方假设的，是 Wüllner 在教科书里对丁达尔实验的一段评注：一根通电加热的铂丝，从约 525 °C 的暗红到约 1200 °C 的白炽，辐射强度从 10.4 涨到 122，约 11.7 倍。而这两个绝对温度之比的四次方，正好是 11.6。

他又拿来德雷珀 1847 年的铂丝数据：按四次方式，800、1200、1600 K 下的辐射之比应为 1 比 5 比 16，数据大体如此；按杜隆-珀蒂的指数式，则应是 1 比 21.5 比 462.2，完全对不上。埃里克森用大铁块做的量热实验，经他扣除支脚导热之后，也与四次方式相符。

这就是 1879 年 3 月 20 日提交科学院的那篇《论热辐射与温度的关系》。

太阳有多热

论文最后一节，他把新公式用在了太阳上。

普耶测出太阳每平方厘米每分钟放出的热量，再代入杜隆-珀蒂式，得到太阳温度 1461 °C 到 1761 °C，按后来 Violle 测得的更大的太阳辐射修正，最多也只到两千度出头。若按牛顿的线性冷却律算，则是八百四十多万度。两种算法相差数千倍。

按四次方律，同一组数据给出约 5586 °C。他又用 Soret 的另一种测量交叉验证：温度计对着太阳与对着一块烧红的锆片，扣除大气吸收后接收到的热约为 43.5 比 1，于是

T_{\odot} = \sqrt[4]{43.5}\ T_{\text{锆片}} \approx 2.57\,T_{\text{锆片}}

锆片约 2173–2273 K，太阳便在 5307 °C 到 5565 °C 之间。今天测得的光球有效温度约为 5500 °C。《斯洛文尼亚人物传记辞典》称这是第一个正确的太阳表面温度估计。常被引用的「5430 °C」，本站查阅原文第 426–427 页时没有找到这个数，原文给的是上面这两个结果。

数据错了，结论却对了？

这组铂丝数据后来招来了质疑，两方说法都有据可查。

一方：Dougal 1979 年在纪念四次方定律一百周年的文章里，转引了 Worthing 与 Halliday 1948 年教科书《热学》的一段脚注——后来的测量表明，铂在这两个温度下的辐射之比更接近 18.6，而不是 11.6；而且铂的辐射远不是黑体辐射，本不该期望它服从黑体定律。照这个说法，斯特藩最初的灵感建立在一组偏差不小的数据上。

另一方：斯特藩原文本身交代得很清楚，铂丝数据只是「最先促使」他作出假设，论证的主体是对杜隆-珀蒂冷却数据的重新分析；他还专门写明，高温观测「尤其是温度的测定」很不可靠，不适合作决定性检验。换句话说，他自己并没有把定律压在这组数据上。

两方并不直接冲突：前者说的是数据的质量，后者说的是数据在论证里的分量。另外要注意，斯特藩的表述是「一个物体」放出的热量，没有把适用范围限定在黑体；把它限定为黑体定律，是五年后玻尔兹曼推导之后的事。

1884：学生给出证明

斯特藩的定律一开始并没有被普遍接受。1884 年，已在格拉茨任教的玻尔兹曼发表了一篇四页的短文，标题就叫《从电磁光理论推导斯特藩关于热辐射随温度变化的定律》。

他把一个装满辐射的空腔当作热机的工作物质，借用意大利物理学家 Bartoli 从热力学论证的光压，再用麦克斯韦电磁理论给出的光压与能量密度的关系，让这台「辐射热机」走一个卡诺循环。热力学第二定律要求的结果是：空腔里的辐射能量密度正比于绝对温度的四次方。

这条推导只对理想黑体成立，却使四次方从经验规律变成了热力学的必然结论。此后，维恩 1893 年的位移定律与 1896 年的分布公式，都以它为已知前提；到 1900 年，普朗克公式对全部波长积分，给出的仍是这个四次方。

冰有多厚：斯特藩问题

晚年的斯特藩转向一类新问题：一块冷却中的水，边冷边结冰，冰与水的分界面自己在移动，移动多快又取决于分界面上放出多少潜热。1889 年他就此一连发表四篇论文，谈导热、扩散、结冰与蒸发。

其中最有名的是冰的那篇，他用英国历次北极探险的冰厚记录，和德国第二次北极探险 1869–1870 年的冰层温度测量来检验理论。最简单的情形给出一条漂亮的规律：气温恒定时，

h^{2} = \frac{2 K a t}{\lambda \rho}

冰厚与时间的平方根成正比。据 Vuik 的考证，这些北极数据来自寻找西北航道的探险队，本来就不是为了研究结冰而记录的。

今天，凡是边界随时间移动、需要靠潜热条件定出边界位置的扩散问题，都叫「斯特藩问题」，从金属凝固、冻土到晶体生长都用得上。Vuik 也指出，类似的问题早在 1831 年就有拉梅与克拉珀龙讨论过地壳在熔融球体上的凝结，斯特藩文中的那个精确解，弗朗茨·诺伊曼约在 1860 年已经得到。

埃德贝格精神

斯特藩几乎研究过物理学的每一个分支。他在 1871 年给出多组分气体扩散的方程，与麦克斯韦的结果合称麦克斯韦-斯特藩方程；他把液体的蒸发当作蒸气向上扩散来计算；1887 年他给出高频交流电集中在导线表层的趋肤效应公式。据玻尔兹曼说，在欧洲大陆，最早看出麦克斯韦电磁理论意义的只有两个人：亥姆霍兹与斯特藩。

他在行政上也身兼数职：1869–1870 年任哲学院院长，1876–1877 年任维也纳大学校长，1875–1885 年任科学院数学-自然科学部秘书，1885 年起任副院长；1883 年维也纳电工学会成立，他是首任会长。1885 年在维也纳召开的国际标准音高会议由他主持，会议把标准音 A 定为每秒 435 次振动。

1893 年 1 月 7 日，斯特藩因中风去世。两年后维也纳大学为他立碑，致辞的是玻尔兹曼。他在演说里讲起埃德贝格那栋破旧的研究所：麦克斯韦曾写信给在那里作客的洛施密特，称赞这里学生的实验工作，说英国在实验物理教学上落后了——玻尔兹曼说，这份称赞主要该归斯特藩；而他自己后来在格拉茨把研究所办得有了生气，戏称它为「小埃德贝格」。

如今漂亮的仪器摆在周围，人们却在想能拿它们做点什么。我们那时从来不缺主意，发愁的只是仪器从哪里来。

这是玻尔兹曼在 1895 年说的，说的是斯特藩的研究所。

代表方程

斯特藩定律（1879）

j = \sigma T^{4}

物体单位面积辐射出的总功率，与绝对温度 $T$ 的四次方成正比。斯特藩原文说的是「一个物体」，没有限定黑体；1884 年玻尔兹曼的推导只对黑体成立，今天课本里的 $\sigma \approx 5.67 \times 10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$ 也是黑体的常数。温度翻一倍，辐射变成 16 倍。

改写杜隆-珀蒂的冷却数据

v \propto (273 + t)^{4} - 273^{4}

杜隆与珀蒂 1817 年测过温度计在 0 °C 外壳里冷却的速度 $v$ ，拟合成指数式 $m\,(a^{t}-1)$ 。斯特藩发现，把 $(273+t)^{4} - 273^{4}$ 除以一个常数，80 °C 到 240 °C 的九个数据也能对上，误差与指数式相当——而四次方式在高温下不会像指数那样发散。

太阳表面温度估算

T_{\odot} = \sqrt[4]{43.5}\ T_{\text{锆片}} \approx 2.57\,T_{\text{锆片}}

Soret 让同一个温度计分别对着太阳和一块在氢氧焰里烧红、视大小与太阳相同的锆片，扣掉大气吸收后，接收到的热约为 43.5 比 1。按四次方律，太阳的绝对温度就是锆片的 $\sqrt[4]{43.5} \approx 2.57$ 倍。锆片约 2173–2273 K，于是太阳约 5580–5838 K，即 5307–5565 °C。此前按杜隆-珀蒂式得出的只有一千多度，按牛顿的线性律则是八百多万度。