丹尼尔·伯努利

伯努利家族三代出了八个数学家，也出了这门学科史上最难看的几场家庭内斗。丹尼尔的父亲约翰与伯父雅各布是兄弟，两人曾为「谁先解出等时降落曲线」互相攻击了十几年；等丹尼尔长大，父亲把同一套做法用在了自己儿子身上。

父亲最初的安排是让他去做生意。谈不成，改学医：巴塞尔、海德堡、斯特拉斯堡转了一圈，1721 年在巴塞尔拿到医学博士，论文题目是呼吸——他把肺当成一套力学装置来算，这是头一回有人这么干。医学教席没等到，1725 年他和哥哥尼古拉二世一起被新建的圣彼得堡科学院聘走。

俄国的七年他过得并不好。哥哥到任八个月就死于热病；气候、语言、朝廷的脾气，他在信里抱怨了个遍。但正是这七年里，他写完了《流体动力学》，还写下了圣彼得堡悖论——一场期望值无穷大、却没人愿意为它下大注的赌局，他的解法是「人在意的不是钱的数目，而是钱带来的效用，而效用随财富增长得越来越慢」。两百年后，这成了经济学里期望效用理论的第一块砖。

1727 年，二十岁的欧拉来了。是丹尼尔替他争到了位置，也是丹尼尔和赫尔曼一起把他从生理学部门要到了数学物理部门。两人同住一处，欧拉替他从瑞士捎茶叶、咖啡和白兰地。1733 年丹尼尔回巴塞尔，接他数学首席教席的正是欧拉。

流得快的地方，压得轻

《流体动力学》1738 年在斯特拉斯堡印出来，书稿其实 1733 年离开俄国时就已完成。书名里那个词是他造的：hydrodynamica，把此前分家的「流体静力学」与「流体动力学」合成一门。

他的办法不是牛顿的。他用莱布尼茨的活力原理——今天叫能量守恒——加上一条简化假设：把管里的水看成一片片平行推进的薄层。这套路子是从惠更斯处理复摆学来的：不追每一小块水受什么力，只算整团水「下落了多少」与「获得了多少活力」，两边配平。

由此他得到那条定理：水流得快的地方，对管壁的压强更低，差值正好是被拿去当动能的那一份。他还给出了两种演示——在水平管上竖一根细管，或让水从管上的小孔向上喷，两种情况下水位都明显低于上游水面。

但他写下的东西，和今天课本上那一行并不是一回事。第一，他讲的是管壁受到的压强，不是流体内部的压强；第二，他的自变量不是速度，而是管截面与出水孔截面之比。把它整理成压强、动能、势能三项相加为常数，让它成为流体运动方程沿流线的积分——那是欧拉 1755 年的工作。丹尼尔给出的是物理，欧拉给出的是形式。

第十章：一百年后才被听懂的那一章

同一本书的第十章讲的是「弹性流体，尤其是空气」。他在那里做了一件与流体力学关系不大、却更超前的事：把气体设想成一大群极小的微粒，在容器里高速乱撞，压强就是这些微粒不断打在活塞上的合效果。

顺着这个图像，他算出压强与微粒速度的平方成正比；加热使微粒跑得更快，于是压强升高。玻意耳定律——等温时压强与体积成反比——第一次有了机械解释，而不再只是一条实验曲线。他甚至注意到微粒本身要占地方，于是给体积配了一项修正；范德瓦尔斯一百三十多年后写下的那个 $b$，雏形就在这里。

这一章随后就沉了下去。十九世纪上半叶赫拉帕思和沃特斯顿试着重提，都没被学界接受。直到 1850 年代，克勒尼希、克劳修斯在德国，焦耳、麦克斯韦在英国，才把气体动理论重新建立起来——那时距他写下这一章已经过了一百二十年。

父亲

1734 年，巴黎科学院的悬赏题父子同时投了稿，评委判两人并列获奖。这件在旁人看来的喜事，父亲认为是奇耻大辱：儿子怎么可以和自己平起平坐。

此后是那件事。父亲写了一本《流水力学》，内容与《流体动力学》大量重合，而书的卷首把成书年份标成 1732——早于儿子的 1738，看上去倒像是儿子抄了父亲。实际印行时间各家断代不一，1739、1742、1743 三说并存，但比 1732 晚是确定的。丹尼尔在给欧拉的信里说，自己十年劳作的果实被夺走了。

平心说一句：父亲那本书并非全无价值。他放弃了活力原理，改为直接套牛顿定律，因此不得不引入一个新东西——对流导数，也正是靠它把伯努利定理推广到了非定常流动。方法上父亲走的那条路，后来才是主流。但抢先的做法，替他自己在科学史上定了性。

回到巴塞尔

1733 年底他就任的是解剖学与植物学教席，1743 年把植物学换成生理学，1750 年才终于拿到物理学教席，一直教到 1776 年。他在课上做演示实验，自己攒了一间物理仪器室，据说学生挤到窗台上。

那些年里他几乎什么都算：航海计时器的走时、船上沙漏的均匀性、罗盘与磁倾角、潮汐、洋流、船的推进与纵横摇摆、锚的最优形状。巴黎科学院的悬赏他前后拿了十次，除了欧拉没人比他更多。1753 年他在柏林的两篇论文里主张，弦的任何一种往复运动都可以看成无穷多个简正振动的叠加——欧拉和达朗贝尔都不同意，认为初始形状可以是任意曲线，凭什么一定展得开。半个世纪后傅里叶证明他是对的。

1760 年他向巴黎科学院提交了一份天花分析：按年龄分组算死亡率，再定量比较接种的风险与收益。今天回看，那是最早的传染病数学模型之一，也是第一次有人用微分方程替公共卫生政策算账。

1782 年 3 月 17 日他在巴塞尔去世。「我是丹尼尔·伯努利」那个故事，是他自己讲的：旅途中与人同座，对方问起姓名，他答了，对方回一句「那我是伊萨克·牛顿」。他说这是他一生听过最悦耳的赞美。