亨德里克·克拉默斯

量子力学的教科书里，他的名字几乎每一章都会出现一次：讲近似方法时有 WKB 里的那个 K，讲光学时有克拉默斯-克勒尼希关系，讲时间反演时有克拉默斯简并，讲统计物理时有克拉默斯速率与克拉默斯-万尼尔对偶。可是很少有哪一章是以他开头的。

亨德里克·克拉默斯一辈子站在别人的大发现旁边半步远的地方——康普顿效应、矩阵力学、重整化，每一次他都比别人早看到一点，又每一次都没有成为那个被记住的人。

不请自来

克拉默斯 1912 年进莱顿大学，那里的理论物理教授刚从洛伦兹换成埃伦费斯特。1916 年拿到相当于硕士的学位之后，他本想去哥廷根跟玻恩，但一战把路封死了。中立的丹麦还能去。于是这个 21 岁的荷兰学生没有预约，直接敲开了哥本哈根玻尔的门。

玻尔收下了他。那时还没有后来那座研究所，玻尔身边只有这一个年轻人。克拉默斯做的是最吃力的活：把旧量子论的规则逐条算到氢原子上，算出精细结构与斯塔克效应各个分量的相对强度。1919 年他以这篇论文在莱顿拿到博士学位，同年成为玻尔的第一位正式助手，在哥本哈根一待就是十年。

差一点的光子

1923 年康普顿用光量子的动量守恒解释了 X 射线散射后的频率变化，一举让光子成为实在。克拉默斯的传记作者德累斯登在 1987 年的书里提出，克拉默斯在 1921 年春天可能已经用光子的能量与动量守恒算出过同样的结果，但玻尔极其反感光量子，反复与他争论，直到他放弃；此后他病倒住院，出院时已彻底放下了光子的念头。

这件事没有克拉默斯本人的手稿留下来，德累斯登自己的措辞也是「种种迹象表明」；更早的特哈尔在 1967 年的书里也有类似说法。它应当被当作一个有根据的推测来读，而不是定论。但不论细节如何，接下来几年里克拉默斯确实站在反对光子的一边。

BKS：拿守恒律去赌

1924 年初，玻尔、克拉默斯与刚到哥本哈根的美国人斯莱特联名发表了 BKS 理论。为了保住光的连续波动图像，他们设想原子里有一组「虚振子」，以跃迁频率振荡，向外发出经典的电磁波；原子的跃迁只是按概率发生——代价是能量与动量在单次过程里不必守恒，只在统计平均上成立。

这是一次极冒险的押注，一年之内就输了：博特与盖革、康普顿与西蒙的符合实验都表明，每一次康普顿散射里能量与动量都逐次守恒。玻尔公开认输。

色散公式：通往矩阵力学的最后一级台阶

BKS 本身死了，但克拉默斯从里面带走了一件真正有用的东西。1924 年他在《自然》上发表了原子的量子色散公式：原子对光的响应写成一组虚振子之和，每个振子对应一次跃迁，向上跃迁贡献正项，向下跃迁贡献负项——后者是经典理论里完全没有的「负色散」。

这个公式里没有电子轨道，只有跃迁的频率和强度。1924–1925 年冬天，年轻的海森堡来到哥本哈根，与克拉默斯一起把它推广到散射光频率发生改变的情形，1925 年联名发表。拉曼 1928 年看到的那种频率改变的散射，在这篇论文里已经有了对应的项。

几个月后，海森堡在黑尔戈兰岛上写出了矩阵力学的第一篇论文。它的出发点正是色散理论里已经证明行得通的那条原则：只用可观测的量——跃迁频率与强度——来写物理。后来的史家普遍把克拉默斯的色散理论看作矩阵力学最直接的前身。

半个量子从哪来

1926 年薛定谔方程发表后，克拉默斯几乎立即做了一件实用的事：在波长远小于势能变化尺度的地方近似求解它，并且解决了近似在经典转折点失效的问题——他给出两侧解如何衔接的公式。结果是旧量子论里的索末菲条件自动带上了一个 $\tfrac12$：

$$\oint p\,dq = \left(n + \tfrac{1}{2}\right) h$$

同一年文策尔与布里渊也各自独立得到了这套方法，所以它叫 WKB；数学家杰弗里斯 1924 年已经在一般的二阶方程上处理过类似问题。在量子隧穿、α 衰变、半导体里的势垒穿透这些问题上，WKB 至今仍是算出第一个可信数字的办法。

折射与吸收的一对等式

1926 年克勒尼希、1927 年克拉默斯分别证明：一种介质对光的折射与吸收并不独立。知道了所有频率上的吸收，就能用一个积分算出任一频率上的折射率，反过来也一样：

$$\chi'(\omega) = \frac{1}{\pi}\,\mathcal{P}\!\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\chi''(\omega')}{\omega' - \omega}\,d\omega'$$

克勒尼希只写出了由吸收求折射的那一条；克拉默斯在 1927 年 9 月的科莫会议上断言这个积分是精确的，并看出它是复频率半平面上解析函数的实部与虚部之间的关系，补上了反方向的那一条。两人都是从原子色散模型出发的，都没有提到因果；把它认作「响应不能早于扰动」的普遍推论，是克勒尼希 1942 年的事。这段历史、求和规则，以及它后来如何走进光谱学、电路与 1950 年代粒子物理的「色散关系」，另见发现页「克拉默斯-克勒尼希关系」。

奇数个电子

1930 年克拉默斯证明了一条后来非常有名的定理：一个含奇数个电子的体系，无论放进多么不对称的静电场，每个能级都至少保持二重简并。只有磁场才能把它劈开。

两年后维格纳指出，这条定理背后是时间反演对称：对自旋一半的粒子，时间反演做两次会得到一个负号，这逼得每个态都必须有一个与之不同的伙伴。今天的拓扑绝缘体表面态之所以受保护，靠的仍是这对「克拉默斯伙伴」。

莱顿的教授

1926 年克拉默斯回到荷兰，任乌得勒支大学教授。1933 年埃伦费斯特自杀，第二年克拉默斯回莱顿接替了老师的讲席。

这一时期他的兴趣越来越宽。1934 年他提出磁性离子可以借中间的非磁性离子间接耦合，这就是后来安德森发展起来的超交换。1937 年他系统使用了电荷共轭变换。1940 年他把化学反应看作粒子在热涨落推动下越过势垒的布朗运动，算出的逃逸率今天叫克拉默斯速率，从化学动力学一直用到蛋白质折叠。

1941 年他与学生万尼尔注意到，二维伊辛模型的高温展开与低温展开可以一一对上。若相变只有一处，它就只能落在两者重合的地方：

$$\sinh\frac{2J}{k_B T_c} = 1$$

三年后昂萨格给出了这个模型的精确解，所用的转移矩阵正是克拉默斯与万尼尔引入的，定出的居里温度也与他们的一致。

占领时期

1940 年德国占领荷兰。莱顿大学的犹太教授被解职，学生抗议，占领当局在 1941 年关闭了大学。同年秋天荷兰皇家科学院开始排斥犹太院士，克拉默斯随即退出以示抗议。

据派斯的回忆，1943 年派斯躲藏在阿姆斯特丹期间，克拉默斯常去看他；有一次盖世太保搜查，克拉默斯恰好在场。派斯后来被捕，克拉默斯曾写信给海森堡请他出面说情。

重整化的先声

从 1930 年代后期起，克拉默斯一直在想电子与自身电磁场的相互作用为什么会给出无穷大。他在 1938 年的专著里提出：电子的一部分质量本来就来自这种相互作用，实验上量到的只是「裸质量加电磁质量」之和，理论应当只用这个观测质量来写。

1947 年 6 月的谢尔特岛会议上，兰姆报告了氢原子能级的那个微小偏差，克拉默斯再次讲了这个想法。据后来的回顾，贝特在会后返程的火车上正是按这条思路，用观测质量减掉发散的部分，算出了与实验相近的兰姆位移——这是重整化第一次对上了数字。完整的理论随后由朝永、施温格、费曼做成，功劳落在了他们身上。

身后

战后克拉默斯做了许多组织工作：1946 年任联合国原子能委员会科学技术委员会主席，主持过国际纯粹与应用物理联合会，参与创建荷兰物质基础研究基金会与阿姆斯特丹的数学中心。他的学生里有后来获诺贝尔经济学奖的库普曼斯——库普曼斯定理最初就是他在物理学时期的工作。

他是出色的大提琴手，也弹钢琴、写诗，会好几种语言。1952 年 4 月，他在莱顿近郊去世，终年 57 岁。他从未获得诺贝尔奖。