克劳德-路易·纳维

1822 年 3 月 18 日，一位三十七岁的路桥工程师在法兰西科学院宣读了一篇论文，在欧拉的流体方程右边添了一项，系数记作 $\varepsilon$。这一项此后再没有被拿掉过。

古怪的是，他得到它靠的既不是「摩擦」，也不是「剪应力」——剪应力这个概念要到同一年晚些时候才由柯西造出来。纳维脑子里的图像是分子：流体由互相排斥的分子堆成，两个分子彼此靠近时排斥得比距离不变时更用力一些，多出来的那一点正比于靠近的速度。这套图像今天已经没有人用了。方程却一字未改地留着。

航空史家安德森说得更直白：纳维既没有剪应力的概念，也压根不是奔着「描述有摩擦的运动」去的，可他偏偏得到了这类方程的正确形式。

孤儿、垫底生、路桥工程师

纳维 1785 年生于第戎，父亲是勃艮第高等法院的律师、革命期间的国民议会议员，1793 年去世。母亲回了娘家沙隆，八岁的他被留在巴黎，交给母亲的叔父——也就是他的叔外公——埃米朗·戈泰。戈泰是当时法国最重要的桥梁工程师之一，与妻子把这个孩子当亲儿子养，后来正式收养了他。

1802 年他考进巴黎综合工科学校，名次几乎垫底；一年之后已经排进全校前十，第二年被挑去布洛涅做野外实习。1804 年进路桥学校，两年后以最好的几个学生之一毕业。1806 年戈泰去世，路桥工程师团把他从外地工地召回巴黎，交给他一件事：整理出版戈泰的全集。

这件事干了十几年，也决定了他往后的样子。戈泰的书是经验传统的代表——尺寸、做法、成例。纳维在编订时一点点往里加分析的成分，又另外为在职工程师写教科书。他还修订过贝利多尔的《水力建筑》，那是当时水利工程师案头最流行的实用手册。一个把分子力函数积到底的人，同时是在修订一本施工手册。

先有弹性体，才有流体

纳维不是从流体出发的，他是从固体搬过去的。

1821 年 5 月 14 日，他向科学院宣读《论弹性体的平衡与运动定律》。方法来自两个人：物理图像来自拉普拉斯的分子纲领——物体由彼此靠得很近的分子构成，分子之间有吸引与排斥两种力，平衡时互相抵消；数学手法来自拉格朗日的《分析力学》，用虚功与力矩求和，他特别欣赏这个方法能把边界条件一并给出来。两样凑在一起，他得到了各向同性弹性体的普遍方程，全式只有一个弹性常数。

第二年他把同一套推理原样搬给流体：把弹性体的位移换成流体微团的速度，把弹性常数换成他称之为「黏附常数」的 $\varepsilon$。方程就出来了。比斯塔法的说法是，纳维「以弹性固体的方程为起点，写下了黏性流体的运动方程」——斯托克斯二十多年后走的是反过来的路，先做流体再推弹性体，也因此得出弹性体需要两个常数的结论。

一个后来被抛弃的图像

整篇推导的物理假设只有一条，就是页首那段引文：分子互相靠近时多推一点，互相远离时少推一点，多出来或少掉的那一部分正比于接近或远离的速度。

从这一条出发，对分子力函数积分，他得到系数 $\varepsilon$；把它代回运动方程，右边就多出一项 $\varepsilon\Delta\mathbf{v}$。式子是对的——今天的 $\mu\nabla^{2}\mathbf{v}$ 与它一模一样。物理却不是今天这一套：没有应力张量，没有剪应力，没有「黏性应力正比于应变率」这个概念，因为这些东西当时都还不存在。

他也没能把 $\varepsilon$ 跟任何可测的量对上。它是分子层面的一个积分，他没有去定它的数值，也没有解释它究竟对应实验里的什么。方程里最要紧的那个系数，在提出者手里是个说不清的东西。

壁面上到底滑不滑

流体贴着管壁的那一层，到底动不动？这个问题纳维回答了两次，而且两次不一样。

1822 年 3 月那一篇（刊在《化学与物理年鉴》上的摘要版）里，他和吉拉尔一样假设壁面速度为零，也就是今天的无滑移条件。但吉拉尔的细管实验是他全部对照数据的来源，而那些数据说：同样的管径，玻璃管和铜管的流量不一样。无滑移解释不了这件事——壁面材料根本不该进入答案。

于是他换掉了这个条件。同年 12 月 16 日宣读的第二篇里，他从流体分子与壁面分子之间的力算出一个新的边界条件：壁上的切向应力正比于流体相对壁面滑动的速度，比例系数由壁面材料决定。用柯西后来的应力语言说，这就是「切向应力与滑移速度同向且成正比」。达里戈尔的评价是，纳维把「流体会在固体表面打滑」这个古老的想法，正式建进了黏性流体理论。

这一步在当时是为了迁就实验，二十世纪的大半时间里也一直被无滑移条件压着。直到微流控、纳米流道与稀薄气体的计算兴起，这个条件才重新被人用起来，名字就叫纳维滑移，式子里 $\varepsilon/E$ 那个长度被称作滑移长度。

写完就撂下了

方程写完之后，纳维再也没有回来过。

原因是他自己知道它对不上。工程上量得最多的是大管道里的水头损失，实测近似正比于流速的平方，而他的公式给出正比于一次方。他的处理办法是干脆不去取大管道的极限，只声明那种情形下流动显然已经不是他假设的那种（准）直线流动。十几年后在路桥学校的水力学讲义里，他只提了毛细管那条公式，紧接着写道：这套理论「不能适用于通常的应用情形」，因为流体在那些情形下更复杂的运动「尚未被纳入计算，经验的结果是我们唯一的向导」。

科学院这边也没给他任何回音。第一篇的评审是泊松与傅里叶，第二篇是吉拉尔、傅里叶与夏尔·迪潘——三份评审报告一份都没有写出来。唯一公开的评论来自数学家库尔诺在《费吕萨克通报》上的一篇书评，他指出纳维一边承认与欧拉、拉格朗日相同的流体平衡方程、一边又得出不同的运动方程，这与达朗贝尔原理相抵触，「这件事似乎并非没有晦暗之处」。

达里戈尔给这一节起的标题，就叫「一个没有用的方程」。

与泊松的两年

真正上心的人是泊松。

1828 到 1829 年，两人在《化学与物理年鉴》上一来一往地吵了好几轮，还各自写信给主编阿拉戈请他裁断。争的是分子求和该怎么做才算严格：泊松认为必须对离散的分子逐个求和，纳维那种把求和换成积分的做法不成立；纳维则坚持自己的推导。附带地，两人对弹性体该有几个常数也谈不拢——纳维、泊松、柯西的分子路线都给出一个常数，而格林在 1837 年、斯托克斯在 1845 年从连续介质出发主张两个，理由很实在：橡胶和果冻抗剪切远比抗压缩弱，一个常数描述不了。这场「单常数派与双常数派」的争论贯穿了整个十九世纪，起点就是纳维 1821 年那条式子。

两人的过节不止于此。1831 年他们还在综合工科学校为傅里叶的热理论该怎么教吵过一架——傅里叶是纳维在综合工科学校第一年的分析老师，此后终身照拂他的职业生涯，纳维也一直是傅里叶热理论的公开维护者。

圣维南那条更干净的路

纳维之后，同一条方程被不同的人用不同的理由重写了好几遍。其中最该被记住、也最少被提起的是圣维南。

1834 年 4 月 14 日他向科学院递交了一篇流体动力学论文，1837 年改定，1843 年在《科学院通报》上发表了一则补记。他的做法既不用分子，也不用纳维那套假设：只要求介质各向同性，再假设切向压强与「滑移率」成比例，直接得到应力与应变率的线性关系。这比斯托克斯 1845 年的宣读早了两年，路数也更干净。更有意思的是，他允许那个系数随位置和流动情形变化——因为他相信迪比阿的管道实验要求一个变系数。这个念头实际上预示了后来的湍流黏度。

方程最终挂的却是纳维和斯托克斯两个人的名字。至于这个双名最早是谁、在哪一年叫起来的，这一轮没有查到出处：史料里只能确认它在十九世纪后期已经通行，具体的首次使用尚待考证。

安万里桥

1826 年 9 月 6 日夜里，塞纳河边香榭丽舍一侧的一条水管破裂，水淹了纳维那座悬索桥的锚碇竖井。回填土失去支撑，锚碇转动、位移，塔架朝河心倾了过去。第二年春天，工程被取消，还没完工的桥被拆掉，材料转用到别处。

这座桥是他的心血：1821 年构思，1823 年设计完成，单跨 155 米跨越塞纳河，1824 年夏天与塞甘兄弟的桥同时开工。他去英国看过两次悬索桥，写了专著，还特地宣称这座桥要证明科学知识对建造术的贡献。

出事的原因，两百年来有两种讲法。路桥工程师团当时的报告说修复并不困难，MacTutor 与《科学传记辞典》都采这一说，并认为真正的原因是巴黎市议会从一开始就不支持这个项目，水管事故只是他们等来的借口。另一说把责任放回设计：塞纳河岸是冲积土，承不住这座桥传给锚碇的拉力——纳维大量借鉴了特尔福德，却忘了特尔福德的梅奈桥及其锚碇坐在威尔士的坚硬花岗岩上。持这一说的研究者给出的判语相当锋利：外省的承包商塞甘用一个数学上错误的模型造出了技术上成立的桥，而他声名赫赫的对手恰好相反。

但对纳维打击最大的既不是甲说也不是乙说，是舆论。1832 年 1 月 20 日，斯特凡·弗拉沙在《环球报》上写道：

安万里悬索桥的倒掉不需要别的解释。犯下这个建造错误的工程师，同时是科学院最杰出的成员之一；他的能力、他对科学的天赋，谁都不会怀疑。他那本论悬索桥的专著本身就是一部极有价值的科学著作；可是他不是建造者，他不是实干家。……他被安万里桥的特许公司选中来施工，而他失手了。

他自己宣称这座桥要证明理论的用处，工地的放弃于是成了反面的铁证——「理论救不了实践」。

《讲义摘要》

被舆论嘲笑的那些年，他正在做一件影响更久的事。

1819 年起他在路桥学校讲应用力学，1830 年正式受聘为教授。他没有照着旧教纲讲，而是把重心整个挪到物理与数学分析上。1826 年出版的《路桥学校讲义摘要》第一部分——材料强度、土工、圬工与木构建造——通常被算作结构工程的第一本现代教科书：梁、柱、拱的尺寸从此由弹性理论算出来。第二、三部分 1838 年出版，讲流体的运动与阻力、导水与配水，以及机械的建立。

他还有一面今天很少被提起：他给出了最早的公共设施「效用」计算方法之一，比较一吨石头走一公里公路与走一公里运河的成本差；又把铁路的年度建设、管理与维护总成本拆成机车、货车、仓储、发运各项，被视为成本会计的先驱。他受孔德与圣西门影响，主张用科学技术建设工业社会，还把孔德聘为自己在综合工科学校的助教。

1864 年，圣维南出了《讲义摘要》的第三版，加上了长篇历史评注。这件事本身就是一句评语：纳维的教科书在他死后二十八年仍是要用的书，而给它作注的是把他那条方程写得更干净的那个人。

七十二个名字之一

1831 年柯西因为拒绝向七月王朝宣誓而辞职去了都灵，纳维接下他在综合工科学校的分析与力学教席，一直讲到 1835 年。1836 年 8 月 21 日，他卒于巴黎，终年 51 岁，葬在拉雪兹神父公墓。次年普罗尼在《路桥年鉴》上写了那篇传略。

半个世纪后，埃菲尔把七十二个法国科学家与工程师的名字刻在了铁塔一层的檐壁上，纳维是其中之一。巴黎十七区有一条纳维街，第戎有一座纳维码头。

历史学家蒙泰尔提醒过一件事：把纳维当作「工程师-学者」的典型，其实是个误会。在他那个年代，一个既推导分子力函数、又修订施工手册的人是孤例；欣赏他学术产出的同代人极少，绝大多数对此视而不见。他名字里那一半光亮，是后来人给的。