乔治·加布里埃尔·斯托克斯

翻开任意一本流体力学、矢量分析或荧光显微的教科书，都会撞见同一个姓。纳维-斯托克斯方程、斯托克斯定律、斯托克斯定理、斯托克斯位移、斯托克斯参量、斯托克斯漂移——六个概念分属三个互不搭界的领域，却出自同一个爱尔兰人。

有意思的是，其中至少两个他并不真的算「第一个」：那条方程在他之前已被纳维、柯西、泊松、圣维南写出过，而那条定理是威廉·汤姆森在一封信里告诉他的。斯托克斯的本事在别处——他把别人写下的式子弄懂了、算到了底、并且让它们真能对上实验。

斯克林的牧师之子

1819 年 8 月 13 日，他生在爱尔兰西北角斯莱戈郡的斯克林，父亲是爱尔兰教会的牧师，一家人用的是极简朴的日子和极严格的经文。16 岁那年他离开爱尔兰去英格兰念布里斯托尔学院，1837 年考进剑桥彭布罗克学院。

1841 年毕业时他是 Senior Wrangler——数学荣誉学位考试的第一名，同年又拿下史密斯奖。在当时的剑桥，这两样加起来意味着一条已经铺好的路：留校、做研究员、等一把讲席。八年后那把椅子来了，而且没再离开过他。

1845：把黏性写进方程

欧拉 1757 年写下的流体方程漂亮得近乎残忍：它假设流体没有内摩擦。于是水管里的水一旦流起来就永不停歇，球在流体中匀速前进居然一点阻力都不受（达朗贝尔佯谬）。

斯托克斯 1845 年那篇《论运动流体的内摩擦理论》做的事，是从连续介质的应力假设出发，把黏性写成一项 $\mu \nabla^{2}\mathbf{v}$ 补进方程右边：

$\rho\left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^{2}\mathbf{v} + \mathbf{f}$

他在论文里坦率地写明，自己得到的结果泊松已经发表过，纳维在不可压缩的情形下也得过同式。这组方程后来被数学史家称为「至少被重新发现了五次」的方程——纳维（1822）、柯西、泊松、圣维南、斯托克斯各写过一遍。留下「纳维-斯托克斯」这个双名，是因为斯托克斯这一版的物理假设最清楚，也因为他紧接着就拿它去算了具体的东西。

而这组方程本身至今还欠人类一个答案：给定光滑的初始条件，三维不可压缩的解会不会在有限时间内变成无穷大？这是克莱数学研究所七个千禧年难题中唯一一个物理味道这么重的。

一颗球在黏液里慢慢走

他真正拿这组方程算的第一个问题，来自钟摆。摆在空气里摆动会慢慢停下来，要算清空气拖了它多少，就得算清一个物体在黏性流体里受多大阻力。斯托克斯把方程里的惯性项整个丢掉——流动足够慢的时候它们确实小得可以不管——剩下的线性方程他解出来了，得到半径 $a$ 的球以速度 $U$ 前进时受到的阻力：

$F = 6\pi\mu a U$

阻力正比于速度，而不是日常经验里的速度平方。三分之一来自球前后的压强差，三分之二来自贴着表面的摩擦。

代价是这条定律有个明确的适用范围：丢掉惯性项的前提是雷诺数极小，$Re \ll 1$。工程上常拿 $Re < 1$ 当十个百分点误差以内的判据。雨滴大到一定程度就不服从它了，但烟尘、花粉、胶体颗粒、细胞、还有密立根那些油滴，全都稳稳落在这个区间里。

密立根 1909 年量电子电荷靠的正是这条定律的推论：油滴太小，没有秤称得动，可它下落的快慢会出卖自己的半径——$v_t$ 正比于 $a^{2}$。半径给出体积，体积给出质量，质量再回代到电场与重力的平衡里，电荷就出来了。

圆柱的那个例外

同样的近似用到二维圆柱上却算不出解——满足无穷远边界条件的慢流方程无解。这件事后来被叫作斯托克斯佯谬。斯托克斯自己的处理很干脆：他断言圆柱周围那种定常的慢流在自然界里根本不存在。

这个结论对了一半。1910 年 Oseen 把远处的惯性项做线性化处理，才给出一个能用的改进解。今天回头看，佯谬本身指出了一件更普遍的事：低雷诺数近似在二维和三维里的行为并不一样，而这类「维数敏感」的毛病后来在湍流理论里反复出现。

那条定理其实是汤姆森给他的

1850 年 7 月 2 日，26 岁的威廉·汤姆森——后来的开尔文勋爵——给斯托克斯写信，信的末尾附了一条公式：一条闭曲线上的环量等于它张开的曲面上旋度的通量。

$\oint_{\partial S} \mathbf{F}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \iint_{S} (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}$

两人谁都没有发表它的证明。它进入数学史是因为 1854 年 2 月，斯托克斯把它设成了史密斯奖考试的第 8 题——要求考生当场证出来。那一年的考生里有 麦克斯韦。从此这条定理被叫作「斯托克斯定理」，而学生们要背的，是一位主考官的名字。

麦克斯韦后来在《电磁通论》里用它把安培环路定律写成了微分形式；今天电磁学、微分几何与拓扑里那一整套「边界上的积分等于内部的积分」的说法，都以它为最熟悉的入口。

「荧光」这个词是他造的

1852 年的《论光的折射率改变》是他在光学上最漂亮的一击。他拿紫外光去照奎宁溶液、照萤石，看见它们发出蓝光；换一盏灯、换一种波长的入射光，发出来的蓝光颜色纹丝不动。赫歇尔此前描述过这现象，管它叫「epipolic dispersion」（表层色散）。斯托克斯做的是两件事：说清它是吸收之后的重新发射，而且发射的能量总比吸收的低。

正文里他给这现象起的名字是「色散反射」。真正留下来的词躲在一条脚注里：

我几乎想造一个词，把这种现象叫作「荧光」，取自萤石——就像「乳光」一词取自蛋白石那样。

这就是 fluorescence 的第一次出场。至于以他命名的「斯托克斯位移」，名字是后人给的；拉曼 1928 年发现散射谱线分裂时，那条波长变长的支系也顺理成章地被叫成了「斯托克斯线」。今天荧光蛋白标记、荧光显微、荧光定量 PCR、验钞灯，全都建在这一条「发出来的光更红」的规律上。

四个数就能说清一束光的偏振

同在 1852 年，他还解决了一个当时相当棘手的记账问题：部分偏振的光该怎么描述？一束光可以完全偏振、完全不偏振，也可以是两者的任意混合，而偏振态本身又有线偏与圆偏之分。

斯托克斯的答案是四个可以直接测量的强度量，今天写成 $(I, Q, U, V)$：总强度、两个方向上的线偏振差、圆偏振差。它们满足

$I^{2} \ge Q^{2} + U^{2} + V^{2}$

等号成立时是完全偏振光。这套记法的好处是全都由「拿偏振片和四分之一波片测几次强度」定义，不依赖任何关于光是什么的理论——所以一百七十年过去，介质换了、理论换了，它照旧在用：射电天文的偏振测量、宇宙微波背景的 $Q$/$U$ 图、光纤通信里的偏振态监控，说的都是斯托克斯参量。

卢卡斯讲席上的五十四年

1849 年他接下剑桥卢卡斯数学教授的位子——牛顿、后来还有狄拉克与霍金坐过的那一把。他在上面待了 54 年，是这把椅子有史以来最长的任期。

代价是钱。讲席的薪俸相当有限，他有好些年要到伦敦的政府矿业学校兼一份物理课来补收入。1857 年他在阿马结婚，按彭布罗克学院当时的章程，结婚就得辞掉研究员席位——12 年后章程改了，他才被重新选回去。

行政上他越走越深：1854 年起任皇家学会秘书，一口气做了 31 年；1885 至 1890 年任会长；1887 至 1892 年作为剑桥大学选区的议员进了下议院；1889 年受封从男爵。1899 年 6 月 1 日，剑桥为他就任讲席 50 周年办了一场庆典，欧美各大学都派了代表来。1902 年他当选彭布罗克学院院长，第二年就去世了，讲席仍在任上。

做秘书的那三十年也是他学术产出下滑的三十年。但那些年他的信件成了另一种贡献：他与汤姆森往来数百封，为皇家学会审阅、修改、劝说过大量稿件——瑞利 和麦克斯韦都受益于他这种近乎逐行的批读。

血液里的那一笔

1864 年，他往一个完全不相干的方向丢了一篇论文：《论血液色素的还原与氧化》。用的还是老办法——看光谱。他发现血红蛋白有两种可逆的氧化态，吸收谱不同，而且能被还原剂来回切换。

这在生理学上是一条关键的早期证据：输氧不是溶解，而是一个可逆的化学结合。一位以流体和光学著称的数学物理教授，顺手给血液化学立了一块界碑——靠的仍旧是他最拿手的那件事，把一束光穿过某种东西之后的变化看清楚。

今天它们还在哪里

数值天气预报与洋流模式，每一步都在解纳维-斯托克斯方程；飞机绕流、血管里的血流、喷墨打印的墨滴，用的是同一组式子。沉降分析、离心分离、气溶胶与雾霾颗粒的落速，用斯托克斯定律。荧光显微、绿色荧光蛋白标记、荧光定量 PCR、拉曼光谱的斯托克斯支，用他 1852 年那条规律。射电与微波偏振测量用他的四个参量。而斯托克斯定理，是每一个学过电磁学的人绕不过去的那一页。

他自己大概不会觉得这算什么统一的事业。在他看来，这些都只是同一种工作：一件东西在动、或者一束光穿过了什么，那就把它算到底。