路德维希·普朗特

1904 年 8 月，海德堡第三届国际数学家大会。一位 29 岁、在汉诺威教机械的工程师上台，讲了十分钟，讲稿印出来只有八页。台下是数学家，听懂的人不多。

他讲的是：一个物体在黏性极小的流体里运动，黏性并不是处处可以忽略——紧贴物面有一层很薄的流体，速度从零陡增到外面的流速，黏性在这一层里始终要紧；出了这一层，就可以放心地当理想流体来算。这一刀切下去，流体力学在理论与实验之间裂了一百五十年的口子，开始合拢。后来的机翼、螺旋桨、涡轮叶片与汽车外形，都在这一刀的延长线上。

弗赖辛的工程师之子

路德维希·普朗特生于慕尼黑北边的小城弗赖辛。父亲亚历山大是当地农学院的教授，研究乳业，常带儿子在野外看东西、问为什么。母亲在失去两个孩子之后精神崩溃，1888 年住进了精神病院；他实际上是由姑妈带大的。据 MacTutor 的传记，他四岁会数到十，五岁识字，钢琴从九岁学起，一辈子没丢下。

1894 年他进慕尼黑工业大学学机械工程，1898 年起给力学教授 August Föppl 当助手。1900 年的博士论文研究的是一根细高的梁在侧向怎么突然扭倒——一个弹性失稳问题，与流体毫无关系。据马普所依 Eckert 传记的说法，当时慕尼黑工大还不能授博士学位，他的学位是在隔壁的慕尼黑大学拿的。1909 年，他娶了 Föppl 的女儿格特鲁德。

一台抽风机与「分离」

1900 年元旦，他去了纽伦堡的机械厂（后来的 MAN）当工程师，任务之一是设计一套抽吸装置。他发现一件怪事：气流进入一段逐渐扩张的管道，本该减速、增压，可它偏偏不肯贴着管壁走，而是在某处「脱开」，在壁边留下一团乱涡，白白耗掉能量。

这就是后来叫作流动分离的现象。当时的流体理论解释不了它——欧拉方程里没有黏性，物体表面的流体可以无阻碍地滑过去，于是不会有分离，也不会有阻力，这就是困扰了人们一个半世纪的达朗贝尔佯谬。另一边，把黏性写进去的纳维-斯托克斯方程又太难，几乎没有非平凡的解。工程师只好各做各的实验、各用各的经验公式，「水力学」与「理论流体力学」成了两门几乎互不往来的学问。

1901 年他受聘为汉诺威工业大学的力学教授，据马普所的说法，26 岁的他是当时普鲁士最年轻的教授。他在那里造了一个手摇的小水槽：一米半长，靠人摇动叶轮让水循环，水里撒上细小的示踪颗粒，拍照看流体怎样绕过障碍物。

1904：八页纸的边界层

海德堡报告里的论证只有几步。流体紧贴物面的一层必须随物面一起不动（无滑移条件）；外面的流速却很大。于是在一个很薄的层里，速度差极大，黏性力再小，乘上这个陡峭的梯度也不能忽略。他把这个层叫作「过渡层」或「边界层」，并给出了层内简化后的运动方程：

$$u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{\rho}\frac{dp}{dx} + \nu\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$$

这个方程比纳维-斯托克斯方程好对付得多：垂直于物面的压强不变，由外面的理想流动直接给定；层内只剩一个方向的黏性项。它让「解出贴壁流动」第一次变得可行。

更要紧的是它解释了分离。沿着物面往后，外面的压强如果回升（比如机翼上表面后半段、扩张的管道），层里本来就慢的流体顶不住逆压，会先停下、再倒流，把边界层从物面上掀起来——他在 MAN 抽风机里看到的正是这件事。分离后的涡区压强低，前后压差就是阻力。达朗贝尔佯谬从此有了答案：黏性再小，也在那一薄层里决定了整个流场的样子。

报告当时并未引起多大注意。据谷一郎的统计，此后十年里的七篇边界层论文全出自哥廷根；据 Anderson 的回顾，德国以外要到 1920 年代才真正接受这套理论。1928 年美国国家航空咨询委员会出了英译本。

哥廷根与学生们

报告讲完没几个月，数学家菲利克斯·克莱因就把他请到了哥廷根。克莱因一直想在大学里给应用数学和工程科学安一个家，普朗特正是他要的人。1904 年秋，普朗特出任哥廷根大学技术物理所的负责人，第二年又和卡尔·龙格一起主持新成立的应用数学与力学研究所。

他很快带出了一批学生。1908 年，布拉修斯在博士论文里把边界层方程用在平板上，化成一个常微分方程，给出了第一个具体的解，今天叫布拉修斯解。同一年，来自布达佩斯的西奥多·冯·卡门在他门下取得博士学位，留下当助手。1911 年，冯·卡门在研究圆柱后面为什么老是甩出一左一右交替排列的涡时，算出了这种涡列只在特定间距下稳定——这就是卡门涡街。

1914 年他解决了一桩国际官司：巴黎的埃菲尔与哥廷根测出的圆球阻力对不上。他在球面前部绕上一圈细铁丝作「绊线」，阻力竟然骤降——细丝把边界层提前扰成湍流，湍流边界层更能顶住逆压，分离点后移，尾迹变窄。两地数据的差别，出在雷诺数与来流扰动不同，让球刚好落在了这个转变的两边。

冯·卡门后来到亚琛任教，1930 年移居美国加州理工学院。师生二人在湍流问题上竞争了一辈子，互相敬重，也互不相让。

机翼：升力线理论

飞机刚上天，没人能算一副机翼到底有多大升力、多大阻力。1918—1919 年，普朗特与学生 Albert Betz、Max Munk 一起发表了《机翼理论》两部分。他把一副有限翼展的机翼看成一根沿翼展分布着「环量」的涡线——升力线：环量产生升力（这一步是库塔与茹科夫斯基在二维情形下已经给出的），而环量在翼尖不能突然消失，就从翼尖拖出一对尾涡，把机翼身后的空气整体往下压。

这股「下洗」让来流方向变了一点，升力随之后倾，产生一项不来自黏性的阻力——诱导阻力。他算出，升力沿翼展呈椭圆分布时诱导阻力最小：

$$C_{D,i} = \frac{C_{L}^{2}}{\pi \Lambda}$$

展弦比 $\Lambda$ 越大，诱导阻力越小。英国的兰彻斯特在此之前已有过相近的想法，但写成可以设计飞机的定量理论，是在哥廷根。1920 年这两部分就译成英文，1921 年普朗特又亲自为美国国家航空咨询委员会写了一份长篇综述，这套理论随即成为各国设计机翼的标准工具。

这也给「伯努利原理」那个著名的错误讲法一个正确的替代：升力来自机翼周围的环量，上下表面的流速差与机翼把空气向下推，是同一件事的两种说法。

湍流：混合长度

边界层里、管道里的流动，大多不是层流而是湍流。1883 年雷诺用染料实验找到了层流与湍流的分界，并把湍流的平均运动写成多了一项「雷诺应力」的方程；可这一项没法从方程本身算出来。

1925 年，普朗特借用气体动理论的图像补上了它：一团流体在湍流里被横着甩出一段距离 $l$，带着原来的速度撞进新的一层，再和周围混匀——这就像分子带着动量走过一个平均自由程。于是湍流切应力可以写成

$$\tau_{t} = \rho\, l^{2} \left|\frac{d\bar{u}}{dy}\right| \frac{d\bar{u}}{dy}$$

再假定贴近壁面时 $l$ 与离壁距离成正比，就推出了壁面附近平均速度随距离呈对数分布。他的学生 Johann Nikuradse 在光滑管与砂粒粗糙管里做了大量测量，把这些规律钉牢；冯·卡门 1930 年从相似性论证独立得出了同样的对数律，两边为此较了好几年的劲。另一个学生 Walter Tollmien 1929 年算出了边界层从层流失稳的扰动波，这种波后来以他和 Hermann Schlichting 命名。

混合长度今天看是个粗糙的模型，但它是第一个能算的湍流模型，工程软件里至今还在用它的变种。更早，1910 年他在一篇讨论传热与流动阻力关系的论文里，推广了雷诺关于两者相似的想法，引入了比较动量扩散与热扩散快慢的无量纲数——后人称为普朗特数。

可压缩流与超声速

飞行速度接近声速时，空气会被压缩，低速的结果需要修正。普朗特在 1920 年代的讲课里给出了一个简单的换算：亚声速时翼型上的压强系数大约要乘以 $1/\sqrt{1-M^{2}}$，$M$ 是马赫数。英国人格劳特 1928 年正式发表了推导，这条规则因此叫普朗特-格劳特法则。1939 年，冯·卡门的学生钱学森给出了一个在更高马赫数下更准的修正，即卡门-钱公式。

超声速一侧，他与学生 Theodor Meyer 1908 年算出了超声速气流绕外凸拐角时的膨胀波（普朗特-迈耶流），1929 年又与 Adolf Busemann 一起提出了设计超声速喷管的特征线方法。超声速风洞与火箭喷管，都从这里起步。

哥廷根的风洞

普朗特的理论总是和实验一起长出来的。1908 年，哥廷根的「飞艇模型试验所」建成了一座回流式风洞，由他主持；第一次世界大战期间它扩建成大型的空气动力试验所，即后来的 AVA。1925 年，在它旁边又落成了威廉皇帝流体力学研究所，由他任所长，直到 1946 年退休——今天的马克斯·普朗克动力学与自组织研究所就是它的后身。

以他命名的东西远不止边界层。测飞机空速的「普朗特管」（皮托静压管的一种标准形制）、材料力学里扭转应力的「肥皂膜比拟」（1903）、塑性力学里的普朗特-罗伊斯方程、解释干摩擦的普朗特-汤姆林森模型（1928）都出自他手。他的《流体力学概论》从 1931 年起一版再版，是几代工程师的入门书。

纳粹年代：两份材料

1933 年纳粹上台时，普朗特已是世界公认的空气动力学权威。他所在的领域正是新政权重整空军最看重的，这使他在第三帝国的处境与理论物理学家截然不同。关于他在这十二年里的立场，史料里有两组彼此冲突的记录，这里分列出来，不下结论。

一组显示他为理论物理与同事出面。 据马普所依据 Eckert 传记写的说明，1933 年《重设职业公务员法》颁布后，普朗特曾出面反对解雇犹太同事和其他「不受欢迎」的同事，但没有成功。他反对勒纳德、斯塔克的「德意志物理学」，称这种对理论物理的排斥是对下一代物理学家的威胁。据 Hentschel 编的史料集，1938 年 7 月 12 日他致信希姆莱，为正遭党卫队周刊围攻的海森堡说话；7 月 21 日希姆莱回信给他，同一天另致信海德里希处理此事，对海森堡的攻击随后停止。1941 年 4 月 28 日，他又致信戈林，附上长篇材料，抨击对所谓「犹太物理」的围攻损害了德国的理论物理教学。

另一组显示他对政权的认同。 同一份马普所说明写道：他从未入党，也自称「对政治不感兴趣」，但在私人信件里对国家社会主义表示同情，并使用纳粹的说法与反犹措辞；在与外国同行通信时，他为纳粹德国辩护、拒绝批评。据 Eckert 的研究，他在写给英国流体力学家泰勒的一封信里说，德国「不幸不得不」进行的反犹斗争是它自我保存所必需的。Eckert 还引过他 1937 年写给美国国家航空咨询委员会一位代表的话：意大利的法西斯主义与德国的国家社会主义是「新思想与新经济的很好的开端」。马普所的说明也指出，他为海森堡写给希姆莱的那组信，本身就带有明显的反犹言辞。

战争爆发后，据同一说明，他按「战争相关性」审查研究所的课题，削减了包括湍流理论在内的基础研究，把经费转给军工项目；1942 年起他主持帝国航空部下属的「航空研究领导」机构，直接对戈林负责。战后的去纳粹化审查没有对他提出异议。马普所的说明认为，他战后的信件里看不到悔意，他始终把自己看作一个「研究组织者」。

1945 年的一张合影

1945 年 5 月，德国投降后不久，美国陆军航空队的科学顾问团来到哥廷根调查德国的航空研究。团里有两个熟人：他当年的学生冯·卡门，和冯·卡门的学生、身着美军军服的钱学森。三代师生在哥廷根合了一张影。十年之后，钱学森回到中国，主持起新中国的火箭与导弹事业。

普朗特 1946 年退休，此后仍在研究所做研究，晚年关心的是气象学里的流动问题。1950 年 11 月他第一次中风，一侧手脚无力，康复后走路微跛；1953 年 8 月再次中风，15 日在哥廷根去世。

为什么是他

回头看普朗特的几项主要工作，用的是同一种本事：看出一个复杂问题里哪些东西可以扔掉。边界层扔掉了薄层之外的黏性，升力线把一副机翼扔成一根涡线，混合长度把湍流扔成一次次「搬运」。每一次扔掉之后，剩下的问题都恰好能算，而且算出来的东西能在风洞里核对。

冯·卡门、钱学森之后的整个航空工程学，基本就是在这套「该扔什么、留什么」的判断上搭起来的。