奥斯本·雷诺

把一根玻璃管横放在水箱里，让水慢慢流过，再从管口注入一缕染过色的水。流得慢时，那缕颜色笔直一条，像画在管子里的一根线。把阀门一点点开大，它依旧笔直——直到某一刻，在离入口很远的地方，颜色一下子散开，把后半截管子染成一团均匀的雾。

1883 年，曼彻斯特的工程学教授奥斯本·雷诺把这个现象量清楚了：什么时候散，取决于流速、管径与黏度拼成的一个纯数。今天这个数叫雷诺数，工程师、气象学家、生物学家每天都在用它。

学徒出身的数学家

雷诺 1842 年生于贝尔法斯特，父亲是牧师兼校长，自己主要在家里受教育。十九岁时他没有直接上大学，而是去斯托尼斯特拉特福德一家造船作坊当了一年学徒。他后来在求职信里说，那段日子让他发现：要解释车间里看到的种种机械现象，非懂数学不可。

于是他去了剑桥女王学院，1867 年以数学荣誉学位考试第七名毕业，又在伦敦做了一年排污工程。1868 年，二十五岁的他当选曼彻斯特欧文斯学院新设的工程学教授。这个位子他一直坐到 1905 年。

这种「先车间、后剑桥」的履历在当时很少见。他一生的论文题目五花八门——螺旋桨空转、雨滴成形、锅炉传热、船舶转向、雷击树干——几乎都是先在现实里看到一件怪事，再回到方程里找原因。

一缕颜色的突变

十九世纪的水力学有一个老难题：管道阻力有时与流速成正比，有时却与流速的平方成正比。泊肃叶在毛细管里量到的是前者，达西在城市供水管里量到的是后者。理论只能解释前一种。

雷诺的切入点是一个日常观察：清澈水面有两种样子，一种像平板玻璃，倒影不走样；一种像粗糙的窗玻璃，倒影「皱成一团、龇牙咧嘴」。他猜这对应着水里两种不同的运动——他叫它们直行的（direct）与曲折的（sinuous），也就是今天说的层流与湍流。

为了看见水的内部，他造了那套著名的装置：玻璃水箱里横放玻璃管，入口做成打过清漆的木喇叭口，染料从一根细管注入。他记下了第一次看到颜色散开时的情形：水箱水面每分钟下降一英寸，管内流速约每秒 0.63 米；阀门稍稍关小，那条色线就重新出现。借一道电火花的闪光去看那团「雾」，它其实是一串清晰的小涡旋。

一个没有单位的数

临界速度跟什么有关？雷诺的第一条线索是温度：水温从 5 °C 升到 45 °C，运动黏度减半，而他注意到，水越热越容易打旋。黏性在压制涡旋。

第二条线索来自方程。他写道，运动方程「已被斯托克斯教授如此仔细地审视过，几乎不可能再从中发现新的或错误的东西」，但也许其中藏着一条被忽视的线索。消去压强之后，加速度项分成两类，一类带因子 $U^2/c^3$，一类带 $\mu U/\rho c^3$，二者之比正是

$$\frac{\rho U c}{\mu}$$

他不需要解方程就断定：如果涡旋来自同一种原因，它的出现必定取决于这个组合的某个确定值。实验随后证实了这一点——几根粗细不同的管子，在不同水温下，临界速度与管径成反比，与黏度成正比。

这个组合的相似性，斯托克斯在 1850 年研究摆在空气中的阻尼时其实已经注意到。据罗特（Nicholas Rott）1990 年的考证，瑞利 1913 年就把这层发现归给斯托克斯；但把它变成判别流动状态的判据、并用实验定出临界值的，是雷诺。「雷诺数」这个名字是索末菲 1908 年在罗马国际数学家大会上起的，普朗特 1910 年代开始采用，此后传遍流体力学。

两个临界值

雷诺其实量到了两个数。

水箱里的水静置多时、入口精心打磨之后，层流能一直坚持到雷诺数约一万三千才崩溃。可另一组实验——先让管里的水充分湍动，再慢慢降速，看阻力什么时候回到正比律——给出的是约 2000。他 1895 年总结说：圆管中的定常直行运动「随 $\rho U_m D/\mu$ 大于 1900 或小于 2000 而不稳定或稳定」。

两者的差别他自己看得很清楚：临界速度「对水进入管道之前的扰动非常敏感」，只有极小心地保持水温均匀、水面静止，结果才能一致；这说明「在远未达到临界速度之前，定常运动对大的扰动就已经不稳定了」。

这句话预告了一个世纪的难题。1910 年，瑞典海洋学家埃克曼专程到曼彻斯特，用雷诺的原装置、把喇叭口打磨得更光滑，把临界值推到了四万四千。今天普遍的看法是：圆管里的层流对无穷小扰动或许永远稳定，湍流的出现靠的是有限大小的扰动。2011 年，阿维拉（Kerstin Avila）等人用长管实验和数值模拟把「湍流能自己维持下去」的门槛定在约 2040——离雷诺的 2000 只差百分之二。

雷诺的装置至今保存在曼彻斯特大学。后人用它重做演示时发现，窗外的汽车交通让临界值明显低于一万三千。

把湍流拆成平均加涨落

1883 年的论文广受好评，审稿人斯托克斯和瑞利都在公开演讲里称赞它。但瑞利也指出：实验结果固然宝贵，理论解释还欠着。

雷诺用了十年还这笔账。1894 年 5 月他在皇家学会宣读新论文，次年发表。核心想法是：湍流中的每个速度分量都写成「平均值」加「涨落」，再对运动方程取平均。平均流的方程里于是多出一项，由涨落速度的乘积构成——涨落把动量从快的流层搬到慢的流层，效果如同一种额外的应力。这就是雷诺应力。

他接着写出了涨落动能的收支：平均流通过雷诺应力把能量输给涨落，黏性再把涨落的能量耗散成热。两者谁大，决定湍流能否维持。对两块平行平板之间的流动，他由此估出雷诺数（按板间距计）不能低于 517。这比实验值小得多，他自己也承认，只说实际临界值必在其上。

据朗德（Brian Launder）2015 年根据皇家学会公开的审稿档案所作的梳理，这篇论文的审稿并不顺利：75 岁的斯托克斯回信含糊其辞，第二位审稿人、雷诺在欧文斯学院的同事贺拉斯·兰姆也看不明白论证的主线，论文是凭着雷诺的声望才勉强通过的。它发表后多年少有人问津。

后来的发展证明了它的分量。「涡黏度」的想法早在 1877 年就由布西内斯克提出，雷诺之后被用来近似雷诺应力；G. I. 泰勒 1915 年研究大气中的涡旋输运，普朗特 1925 年提出混合长假设——都是在给雷诺留下的那一项找近似。今天几乎所有工程湍流计算解的仍是「雷诺平均方程」。1923 年，海森堡在索末菲门下的博士论文题目也正是层流的稳定性与湍流。

一层油膜托起一根轴

1883 年，工程师托尔（Beauchamp Tower）受英国机械工程师学会委托测轴承摩擦。他在一次实验里偶然发现：轴颈整个泡在油浴里转动时，轴承顶部的油压比油浴高出每平方英寸 625 磅——油膜在把整根轴托起来。

雷诺读到报告后想到：既然油膜足够厚、两块金属从不接触，摩擦就应该能直接从流体力学方程推出来。1886 年他写出了今天称为「雷诺方程」的润滑方程：转动的表面把油拖进一道逐渐变窄的楔形缝隙，油来不及流走，压强便升起来。他的计算与托尔的数据吻合。

这篇论文开创了流体动力润滑理论。1904 年，在亚琛教应用力学的索末菲写了一篇长文，把雷诺的方程解到完整的轴颈轴承上——四年后正是他给雷诺数起了名字。

踩下去，沙子变干

1885 年，雷诺在《哲学杂志》上描述了一个很多人在海滩上见过、却没想过的现象：退潮后的沙滩湿而结实，一脚踩上去，脚周围的沙子反而发白、变干；抬起脚，脚下又湿了。

他的解释是：密实堆积的沙粒被剪切时，颗粒要互相爬过才能移动，整体体积反而变大，孔隙变多，需要更多的水来填，一时补不上，表面就干了。他把这个性质叫作剪胀性（dilatancy）。它后来成为土力学的基本概念：密砂受剪会膨胀，松砂受剪会压缩，地基和边坡的稳定都与此有关。

波群、锅炉与热功当量

雷诺留下的名字不止这几个。

1874 年，他在一篇讨论锅炉受热面的短文里提出：流体从壁面带走热量，与它带走动量服从同一种机制——都靠近壁处的内部扩散。据此可以用管道阻力去估算传热，这就是雷诺类比，至今是换热器设计的出发点之一。

1877 年，他在英国科学促进会上解释了一件船员熟悉的事：深水里一群波浪前进得比其中每一个波都慢，前面的波不断消失，后面的波不断生出。他进一步论证，波的能量是以这个较慢的「群速度」传递的。

1879 年，他发表长文研究气体透过多孔板的「热流逸」，用分子的平均自由程与孔隙尺寸之比来解释克鲁克斯辐射计为什么会转——这也是他后来寻找流体「尺度性质」的起点，他在 1883 年的论文里自己说过这层渊源。麦克斯韦同时在研究同一问题，雷诺在论文集里专门附了一篇短文比较两人的方法。

1897 年，他与合作者穆尔比用大型制动器装置重测了焦耳的热功当量，作为皇家学会的贝克讲座发表。五年前，他还为曼彻斯特文学与哲学学会写过焦耳的纪念传记。

学生汤姆孙

雷诺在欧文斯学院最有名的学生是 J. J. 汤姆孙。汤姆孙十四岁进欧文斯学院，原本打算当工程师，1873 年拿了学院的工程学奖学金。他的传记作者、第四代瑞利男爵写道，汤姆孙在那里「从雷诺身上学到了很多」。

1884 年底，剑桥卡文迪什物理学教授出缺，老师和学生都报了名。当选的是汤姆孙。12 月 26 日，雷诺给他写信：

我不愿让这个时刻就这样过去，而不向你致以祝贺——尽管我们不能同时坐上那把椅子，这份祝贺并不因此减少半分真诚。

十三年后，汤姆孙在卡文迪什发现了电子。

晚年

1902 年，雷诺向皇家学会提交了他最后一部大作《宇宙的亚力学》，次年出版。他设想整个空间充满紧密堆积的微小刚性颗粒，物质只是这种颗粒介质里的某种缺陷——剪胀性被他推到了宇宙尺度。这部书几乎没有读者。

此时他的身心都已开始衰退。1905 年他退休，晚年在萨默塞特郡海边的沃切特度过，1912 年 2 月 21 日去世。

他留下的最广为人知的东西，是一个他自己从没这样叫过的数。