赫尔曼·外尔

外尔 1904 年到哥廷根念书，第一学期就去听了希尔伯特的课。他后来写道，那种感觉像是打开了一扇通往新世界的门，而他对这位老师抱着一种「盲目的崇拜」。1908 年他在希尔伯特手下拿到博士学位。

1913 年他去了苏黎世联邦理工。同一栋楼里，爱因斯坦正在跟广义相对论的方程较劲。两个人成了同事，这件事决定了外尔后半生做什么。

一个漂亮但是错的理论

1918 年，广义相对论刚满三岁。它说引力就是时空的弯曲：一个矢量沿闭合回路平移一圈回来，方向会变。外尔想，为什么只有方向会变，长度不会变？

他于是允许长度的标度在时空每一点独立选取。要维持这套自由，方程里必须多出一个矢量场——算出来的形式恰好是电磁势。引力与电磁在同一个几何框架里被统一了。他给这个想法起名 Eichinvarianz，字面是「刻度不变性」，中文译作规范不变性。

爱因斯坦当场看出了毛病，而且是一个用不着算的毛病：如果长度依赖于走过的路径，那么两个原本一样的原子，沿不同路线走一圈之后大小就会不同，它们发出的谱线也就不会一样齐。可我们看到的氢原子谱线，处处一样。

外尔没能答上来。这个理论就此作废。

十一年后，把「尺度」换成「相位」

1925 年之后，量子力学告诉了所有人一件 1918 年谁也不知道的事：电子由一个复数波函数描述，而复数有相位。

1929 年外尔回到这个想法，把当年那个实的标度因子 $e^{\lambda(x)}$ 换成一个纯相位因子 $e^{i\alpha(x)}$。相位是量不到的，改变它不改变任何概率，所以爱因斯坦的反驳失效了。而结构原封不动地保留了下来：要求相位可以在每一点独立选取，就必须引入一个补偿场；那个场就是电磁场，它的方程就是麦克斯韦方程组。

这是物理学思路上的一次调转。此前，相互作用是观测到之后写进理论里的；此后，它可以从一条对称性的要求里被推出来。1954 年杨振宁与米尔斯把这套做法推广到不可对易的对称群，标准模型的全部相互作用都由此而来。

名字则留下了一个化石：今天说的「规范场」「规范玻色子」「规范不变性」，用的都是外尔 1918 年为一个错误理论取的那个词。

群论瘟疫

1927 年他写了《量子力学与群论》。当时的物理学家对此的反应，大致可以用一个流传的说法概括：群论瘟疫。原子光谱里那些看起来杂乱的选择定则、能级的简并度与分裂方式，外尔和维格纳指出，全都是转动群与置换群的表示论的直接推论——用不着解方程，写下对称性就够了。

一批物理学家不喜欢这套抽象。泡利后来倒是改了口。到五十年代，群论已经是粒子物理写理论的第一语言。

1930 年他接任希尔伯特在哥廷根的讲席。三年后他离开了德国：妻子海伦是犹太人。他起初拒绝过普林斯顿高等研究院的邀请，因为不想离开故土；等到形势明白，他改了主意。此后他在普林斯顿待到退休。

同一篇 1929 年的论文里还有另一件事，当时看不出分量：他指出零质量的费米子只需要两个分量，方程会按左旋右旋裂成两半。那个方程在此后八十六年里没有对应的粒子——直到它在一种晶体里，以另一种形式出现。