威廉·罗恩·哈密顿

翻开任何一本量子力学教科书，第一章就会出现一个字母 H。薛定谔方程写作

$$i\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t} = H\psi$$

其中 H 叫哈密顿量。

这个记号来自一位十九世纪的爱尔兰天文学家。他写下它的时候，量子力学还要过九十年才出现。

二十二岁的皇家天文学家

哈密顿三岁被送到叔父家抚养，那位叔父是语言学者。据家人记载，他十三岁时已经接触过十余种语言，包括波斯语与梵语。

转折是十三岁那年他去看一位美国速算神童的表演。他与对方比试心算，输了。据说这件事让他把兴趣从语言转向了数学。

1827 年，还没从三一学院毕业的他被任命为爱尔兰皇家天文学家和天文学教授，时年二十二岁。这个职位主要的工作是观测，而他对观测并不擅长，也没什么兴趣——他把大部分时间用在了数学上。

一束光变成一个圆锥

1832 年他做了一件让他名声大噪的事。

他从自己的光学理论出发，推出一个奇怪的结论：一束光以特定方向射入双轴晶体时，不会分成两束，而会散开成一个空心的光锥，从另一面出来时是一个圆环。

这在当时听起来荒谬——没有人见过这种现象，也没有人预期它。他把预言交给同事洛伊德，洛伊德做了实验，看到了那个圆环。

这是科学史上早期最漂亮的「理论先行」范例之一。它也让哈密顿意识到自己的光学方法可能有更普遍的意义。

把力学和光学写成同一件事

哈密顿注意到，光线在介质中传播遵循费马原理（走光程最短的路），而质点运动遵循最小作用量原理（走作用量取极值的路）。两者的数学形式惊人地相似。

顺着这条线索，1834 与 1835 年他发表了两篇论文，把拉格朗日的力学改写成一种新的形式。

拉格朗日用坐标和速度描述体系。哈密顿改用坐标和动量，并引入 $H = \sum_i p_i \dot q_i - L$ 这个量（多数情形下就是总能量）。这样一来，原本一个二阶方程变成两个一阶方程，而且位置与动量在方程里地位完全对等：

$$\dot q = \frac{\partial H}{\partial p}, \qquad \dot p = -\frac{\partial H}{\partial q}$$

一个变化率由 H 对另一个的偏导给出，另一个的变化率由 H 对第一个的偏导给出，只差一个负号。

运动因此变成了「相空间」里的一条流线。这套写法在当时的实际计算中并不比拉格朗日方法省力，它的价值几十年后才显现。

九十年后

1925 年之后，量子力学的建立者们发现，他们需要的正是哈密顿的语言。

海森堡的矩阵力学里，位置与动量的对易关系 $[q,p] = i\hbar$ 直接对应哈密顿力学里的泊松括号；狄拉克明确指出了这个对应，并以此建立了量子化的一般规则。薛定谔方程里的 H 就是哈密顿量。费曼的路径积分则回到了更早的一层——哈密顿-雅可比理论与作用量。

一个为了统一光学与力学而设计的形式，成了描述原子世界的语法。

桥上的那一刻

哈密顿后半生的执念是四元数。

他想把复数推广到三维空间，试了十多年。1843 年 10 月 16 日，他和妻子沿都柏林皇家运河散步，走到布鲁厄姆桥时忽然想通：要让乘法成立，需要的不是三个分量而是四个，而且必须放弃乘法交换律。

他当场用小刀把那行公式刻在桥的石头上。今天桥上有一块纪念牌，每年 10 月 16 日有人从三一学院走到这里，称作「哈密顿散步」。

他此后二十年几乎全部投入四元数，写成两部厚重著作，同时代人多数不感兴趣——吉布斯与亥维赛后来从四元数中提取出更好用的矢量分析，把它挤出了物理学。

不过四元数没有消失。它描述三维旋转时没有欧拉角的万向节死锁问题，今天电脑图形学、机器人学和航天器姿态控制用的都是它。